Introduzione al calcolo dei limiti - TED

Teorema sul limite di una somma
Se lim f x   l1 e lim g x   l2 allora lim  f  x   g  x   l1  l2
x  x0
x  x0
x  x0
Il teorema vale anche per i casi in cui x tende a più infinito oppure a – infinito. La dimostrazione è
analoga a quella vista qui sopra. Tutti e tre i teoremi possono essere enunciati in un modo unico e
significativo:
IL LIMITE DI UNA SOMMA È UGUALE ALLA SOMMA DEI LIMITI
……………………………………………………………………………………………………………
Teorema sul limite di un prodotto
Se lim f x   l1 e lim g x   l2 allora lim f  x   g  x   l1  l2
x  x0
x  x0
x  x0
IL LIMITE DI UN PRODOTTO È UGUALE AL PRODOTTO DEI LIMITI
……………………………………………………………………………………………………………
Teorema sul limite di un rapporto
Se lim f x   l1 e lim g x   l2 allora xlim
x
x  x0
x  x0
0
f  x  l1

g  x  l2
IL LIMITE DI UN RAPPORTO È UGUALE AL RAPPORTO DEI LIMITI
……………………………………………………………………………………………………………
I teoremi sui limiti visti pocanzi permettono di calcolare i valori di combinazioni di funzioni in modo
semplice.
Esempi:

3x  5 lim 3x  lim 5
lim 3  lim x  5
3x  5 lim
3  4  5 17
x4
x4
lim

 x4
 x4 x4

  17
x4 2 x  7
lim 2 x  7 lim 2 x  lim  7 lim 2  lim x   7 2  4  7 1
x4



x4
x4
x4
x4
lim x 2  6 x  7  lim x 2  lim  6 x   lim 7  lim x  lim x  lim  6  lim x  7  5  5  6  5  7  2
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
x 5
Nello svolgere i due esempi si sono applicati i teoremi sui limiti in tutti i passaggi. Nel calcolo rapido
però i passaggi si saltano e per fare i calcoli basta sostituire direttamente il valore a cui tende x nella
funzione.
3x  5 3  4  5 17


 17
x 4 2 x  7
24  7 1
 lim


lim x 2  6 x  7  52  6  5  7  25  30  7  2
x 5
1
Si devono però fare delle considerazioni per i casi in cui in alcuni dei limiti compaiono infinito o zero:
QUATTRO CASI DELLA SOMMA:
l    
l    
(In tutti questi casi
l
è un numero qualsiasi finito)
     
     
Queste 4 proprietà sono tutte dimostrabili col metodo usato per il teorema del limite della somma. Sono
anche comprensibili in modo intuitivo se pensiamo a infinito come a un numero molto grande.

forma indeterminata della somma
Un limite di questo tipo può dare qualsiasi risultato, va valutato caso per caso.
(In tutti questi casi p  0 e n  0 )
CASI DEL PRODOTTO:
p     
p     
             
n     
n     
             
Queste proprietà sono tutte dimostrabili col metodo usato per il teorema del limite del prodotto. Sono
anche comprensibili in modo intuitivo se pensiamo a infinito come a un numero molto grande. Per il
segno vale sempre la regola del segno nel prodotto.
0
forma indeterminata del prodotto
Un limite di questo tipo può dare qualsiasi risultato, va valutato caso per caso.
……………………………………………………………………………………………………………
(In tutti questi casi l  0 )
CASI DEL RAPPORTO:
l
0

0
0

l

0


0
Queste proprietà sono tutte dimostrabili col metodo usato per il teorema del limite del rapporto. Sono
anche comprensibili in modo intuitivo se pensiamo a infinito come a un numero molto grande. Per il
segno vale sempre la regola dei segni nel rapporto.


1a forma indeterminata del rapporto
0
0
2a forma indeterminata del rapporto
Limiti di questi due tipi possono dare qualsiasi risultato, vanno valutati caso per caso.
2