FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 APPELLO – 18 Luglio 2013 1) Un corpo di massa m = 500 g scende lungo un piano scabro, inclinato di un angolo = 45° . Prosegue poi lungo un tratto orizzontale di lunghezza BC = 1m, con il medesimo coefficiente di attrito del piano. Sale quindi lungo un piano liscio, inclinato di un angolo = 30° ed urta, in modo completamente anelastico, con un corpo di massa 2m posto in in D, a quota hD = 30 cm rispetto al piano orizzontale (si veda disegno). a) Determinare il coefficiente di attrito affinchè il corpo scenda lungo il primo piano inclinato con velocità costante v = 7 m/s. Calcolare la velocità del corpo nel punto C, al termine del tratto orizzontale BC. b) Determinare la velocità del corpo nel punto D, immediatamente prima dell’urto anelastico, e la velocità del sistema dei due corpi, immediatamente dopo l’urto. Facoltativo: Calcolare l’energia dissipata durante l’urto completamente anelastico. 2) Una carica positiva Q = 6 C è posta in O = (0,0), ed una seconda carica positiva 4Q è posta in A = (d,0), con d = 1m. Nel punto P = (d/3,0) è posta una carica positiva q0 = 2 pC. Si determini : a) Il campo elettrico e l’energia potenziale nel punto P; b) Il lavoro fatto dal campo elettrico delle due cariche (Q e 4Q) per spostare la carica q0 dal punto P al punto P’ = (5/3d,0), lungo la semicirconferenza di raggio 2/3 d, con centro in A (come indicato in figura). [Nota: 0 = 8.85 10-12 C2/Nm2 ] 3) Una zattera di legno (densità 0.5 g/cm3 ) che ha dimensioni (2m x 3m x 30 cm) viene posta in acqua. Si calcoli: a) lo spessore della zattera senza carico che risulta, all’equilibrio, immersa in acqua. b) il massimo volume di alluminio ( densità 2.7 g/cm3 ) che può essere caricato sulla zattera senza che si bagni (piano superiore della zattera a filo dell’acqua). 4) Una massa di 10g di un gas perfetto biatomico ha peso molecolare 2. Nello stato iniziale A , la pressione pA = 2 atmosfere e il volume VA = 2 litri . Compie poi il ciclo costituito dalle seguenti trasformazioni: A- B isobara con VB = 2VA B-C isoterma con pC = (1/2) pB C-D isocora con pD = (1/2) pC D-A isoterma a) Si disegni il ciclo in un diagramma (V, p), si calcolino le coordinate termodinamiche di tutti i punti e la quantità di calore scambiata in ogni trasformazione specificando se è assorbita o ceduta. b) Si determini la variazione di energia interna relativa ad ogni trasformazione e il rendimento del ciclo. [Nota: 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol] SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega, www.mi.infn.it/~sleoni SOLUZIONE ESERCIZIO MECCANICA a) Il corpo scende con velocità costante lungo il piano inclinato se la forza risultante che agisce sul corpo m è nulla: Fnet = Fg + N + fd = 0 ove Fg, fd e N sono la forza peso, la forza di attrito e la forza normale. Proiettando l’equazione vettoriale sugli assi x e y (x parallelo al piano e y perpendicolare), si ottiene: asse x : - fd + mgsinq = 0 asse y : N - mgcosq = 0 con fd = N = mg cos = tg tg1.0 Giunto alla base del piano inclinato il corpo procede lungo il tratto BC orizzontale scabro. La velocità alla fine del tratto BC si ottiene applicando il teorema lavoro-energia cinetica, dove l’unica forza che compie lavoro è la forza di attrito: 1 1 DK = mvC2 - mvB2 = fd × BC = -m mg | BC | 2 2 1 2 1 mvC = -m mg | BC | + mvB2 2 2 vC = vB2 - 2m g | BC | = (7m / s)2 - 2 ´1.0 ´ 9.8m / s 2 ´1m = 5.4 m / s 2 b) La velocità del corpo m immediatamente prima dell’urto si ottiene dal teorema di conservazione dell’energia meccanica, tra il punto C ed il punto D: 1 2 1 2 mvC = mvD + mghD 2 2 vD = vC2 - 2ghD = (5.4m / s)2 - 2 ´ 9.8m / s 2 ´ 0.3m = 4.8m / s La velocità immediatamente dopo l’urto anelastico si ottiene dalla conservazione della quantità di moto: mvD = (m + 2m)V V= vD = 1.6 m / s 3 Facoltativo: L’energia dissipata durante l’urto completamente anelastico è pari alla differenza di energia cinetica: 1 1 Ediss = mvD2 - (3m)V 2 2 2 1 = m(vD2 - 3V 2 ) = 3.84 J 2 SOLUZIONE ESERCIZIO ELETTROSTATICA a) Il campo elettrico nel punto P è dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici prodotti dalle cariche Q e 4Q, entrambi diretti lungo l’asse x e con versi opposti: E(P) = E Q (P) - E 4Q (P) =k æ 9 4´9ö Q 4Q -k = kQ ç 2 =0 2 ÷ d 2 2 2 è ø d 4d ( ) ( d) 3 3 Il campo elettrico in P è quindi nullo. Analogamente, l’energia potenziale è data dalla somma delle energie potenziali: b) Il lavoro fatto dal campo elettrico delle due cariche è dato dalla differenza di energia potenziale tra i punti P e P’, indipendentemente dal percorso. In particolare, la variazione di energia potenziale associata al campo prodotto dalla carica 4Q è nulla, in quanto i punti P e P’ sono equidistanti dalla carica: Qq0 Qq 3Qq0 1 -k 0)=k (1- ) 5d d d 5 3 3 12Qq0 6 ´10 -6 ´ 2 ´10-12 =k = 9 ´10 9 ´12 J = 2.6 ´10-7 J 5d 5´1 = -(k SOLUZIONE ESERCIZIO FLUIDI a) All’equilibrio la spinta Archimedea uguaglia la forza peso agente sulla zattera senza carico. Indicata con d z la densità della zattera e con dH2O quella dell’acqua, data la condizione di equilibrio delle forze agenti si ha : dz Vz g = dH2O Vimm g dove Vimm è il volume immerso in acqua della zattera . Risulta pertanto : V imm/ Vz = dz / dH2O = 0.5. Pertanto lo spessore della zattera immerso in acqua è 15 cm. b) Il massimo carico di alluminio che non si bagna si ottiene scrivendo la condizione di equilibrio per il peso totale ( zattera + alluminio) e la spinta Archimedea relativa alla zattera con l’intero volume immerso nell’acqua. Indicata con dAl , la densità dell’alluminio si ha: (dz Vz g + dAl VAl g ) = dH2O Vz g da cui si ricava VAl / Vz = 0.185 e pertanto VAl = 0.333 m 3 SOLUZIONE ESERCIZIO TERMODINAMICA a) Il numero di moli del gas è n= 10/2 = 5 Coordinate termodinamiche di A, B, C, D. pA = 2 atmo = 2.026 10 5 N/ m2 ; VA = 2 10 -3 m 3 ; TA = pA VA / n R = 9.75 K pB = pA = 2 atmo = 2.026 10 5 N/ m2 ; VB = 2VA= 4 10 pC = (1/2) pB = 1.013 10 5 N/ m2 ; VC = 2 VB = 8 10 pD = (1/2) pC = 0.507 10 5 N/ m2 ; VD=VC= 8 10 -3 -3 -3 m 3 ; TB = pA 2VA/ nR = 2 TA = 19.5 K m 3 ; TC = TB = 19.5 K m 3 ; TD = TA = 9.75 K Inoltre QAB = n cp ( TB-TA) = 5 (7/2) R TA = 1418 J assorbita QBC = n R TB ln ( VC/VB)= 5 8.31 19.5 ln ( 2) = 562 J assorbita QCD = n cv ( TD-TC) = 5 (5/2) R (- TA ) = - 1013 J ceduta QDA = n R TA ln ( VA/VD)= 5 8.31 9.75 ln (1/4) = -562 J ceduta b) EAB = n cv ( TB-TA) = 1013 J EBC = 0 J E CD = n cv ( TD-TC) = -1013 J EDA = 0 J Il rendimento del ciclo è = Lciclo / Q assorb = Qciclo / Q assorb = 405 J / 1980 J = 0.2