Metodi quantitativi per l’analisi dello sviluppo
Prova del 20/12/2005
Esercizio 1
In una piantagione in Africa sono presenti 5000 piante di cui: 2500 sono alberi che producono
banane, 2000 producono noci di cocco e 500 ananas.
Considerando a caso un albero qual è la probabilità che questo sia:
a) un albero di banane
P(banane)=2500/5000=1/2
b) un albero di noce di cocco o di ananas
P(cocco U ananas)=2000/5000 + 500/5000 =1/2
c) Due eventi sono stocasticamente indipendenti se:
1)P(A∩B)=P(A)*P(B)
2) P(AUB)=
3)P(AUB)=P(A)+P(B)
4)P(A∩B)=1
Esercizio 2
a) Supponiamo che il tasso di analfabetismo in una città sia 0,3. Si scelgono casualmente 4
individui. Calcolare la probabilità che nessuno sia analfabeta
P(X=0) = 40 *0,30*0,74=0,2401
b) al massimo una persona sia analfabeta
P(X1)=P(X=0)+P(X=1)= 0,2401+ 14 *0,31*0,73=0,2401+0,4116=0,6517
c) Il valore atteso e la varianza di una binomiale sono:
1) E(X)=p
2) E(X)=np
3) E(X)=p
4) E(X)=np
V(X)=q
V(X)=np
V(X)=npq
V(X)=npq
Esercizio 3
a) La spesa familiare per beni alimentari in un Paese segue una distribuzione Normale, con media
=3500 e scarto quadratico medio =1400.Si estrae un campione casuale di numerosità n=50, qual
è la probabilità che la spesa media del campione sia superiore a 4000?
æ s2ö
La media campionaria si distribuisce come X : N çççm, ÷÷÷÷
çè n ÷
ø
P( X >4000)=P(Z>
4000 3500
1400 / 50
)=P(Z>500/198)=P(Z>2,53)= 1-0,9943=0,0057
b) Studiando il fenomeno della malnutrizione in una popolazione è risultato che il 45% della
popolazione è malnutrita. Si estrae un campione di 200 individui e si vuole calcolare che
proporzione di individui malnutriti è compresa tra 0,5 e 0,6. Per risolvere questo problema:
1) posso utilizzare esclusivamente la distribuzione Binomiale di parametri n=200 e p=0,45;
2) essendo n sufficientemente grande, grazie al teorema centrale del limite posso sfruttare
la convergenza alla normale della distribuzione della proporzione campionaria p̂ ~N
(p; p(1-p)/n)
3) essendo n sufficientemente grande, grazie al teorema centrale del limite posso sfruttare la
convergenza alla normale della distribuzione della proporzione campionaria p̂ ~N (p; np)
4) utilizzo la binomiale perché n doveva essere para almeno a 500 per poter utilizzare
l’approssimazione alla Normale.
Esercizio 4
Si supponga che il reddito delle aziende agricole di un paese del sud America sia distribuito
secondo una Normale, con media e varianza incognite. Volendo analizzare questa variabile si
effettua un’indagine campionaria su 150 aziende dalla quale si ottiene x =10000 e s=3000.
a) quale numerosità campionaria è necessaria se si vuole costruire un intervallo di confidenza
al 95% con un errore pari a 300?
e= z /2*s/ n
n= (z /2*s/e)2
n=(1,96*3000/300)2385
b) Quando calcoliamo un intervallo di confidenza possiamo dire che:
1) con un grado di fiducia pari a 1- la media è compresa nell’intervalllo
2) la media è sicuramente compresa nell’intervallo
3) La probabilità che cada nell’intervallo è pari a
Esercizio 5
Un’azienda che coltiva caffè ha acquistato una macchina per il confezionamento del caffè in sacchi
da 500 kg l’uno. Si sono considerati 150 sacchi, ed il peso medio riscontrato è stato di 490 kg con
un scarto quadratico medio s=30.
a) Sulla base dei dati possiamo dire che il peso medio dei sacchi è diverso da quello che dovrebbe
essere? (considerare un livello di significatività pari a 0,05)
H0:=500
H1:500
n=150; x =110;s=30
zoss=
| x 0 |
s
n
| 490 500 |
30
4,1
150
zoss >1,96 Rifiuto H0
d) Cos’è ?
1) La probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla H0 quando essa è falsa
2) La probabilità di non rifiutare l’ipotesi nulla H0 quando essa è vera
3) La probabilità di non rifiutare l’ipotesi nulla H0 quando essa è falsa
4) La probabilità di rifiutare l’ipotesi H0 quando questa è vera
Esercizio 7
Si vuole studiare la relazione tra anni di lavoro (X) e stipendio percepito in un anno (Y) espresso in
migliaia di euro. E’ stata effettuata un’indagine campionaria e si è stimata la retta di regressione di
Y su X ottenento b=1,275
a) questo coefficiente ci dice che:
1) Per una variazione di 1,275 anni di anzianità lo stipendio aumenta in media di 1000 euro;
2) Per una variazione di un anno di anzianità lo stipendio è esattamente di 1275 euro;
3)Per una variazione di un anno nell’anzianità lavorativa lo stipendio percepito in
media cresce di 1,275 migliaia di euro;
4) Per una variazione inferiore a 1,275 anni di anzianità lo stipendio resta invariato.
b) Se il risultato fosse stato b=0 significava che:
1) c’è dipendenza tra X e Y;
2) c’è indipendenza tra X e Y
3) per un aumento dalla X la Y diminuisce in modo proporzionale;
4) una variazione nella Y determina un incremento in media pari a 0,5
c) Si considerino le ipotesi di base del modello di regressione. Quale delle seguenti
affermazioni è corretta:
1) le X sono stocastiche e le Y sono non stocastiche
2) le X sono non stocastiche e le Y sono stocastiche
3) le X e le Y sono non stocastiche
4) le X e le Y sono stocastiche
