Distribuzioni di probabilità
Sia X una variabile aleatoria discreta
definita su uno spazio campionario S :
f (x) = P (‘X=x’ )
f (x )
P(‘XA’)= x
A
Valore atteso di una variabile aleatoria discreta
n
E (X ) x i P (' X x i ')
i 1
Esempio: Distribuzione di probabilità del
numero di episodi di otite media nei primi 2 anni
x
0
1
2
3
4
5
6
P(‘X=x’) .129 .264 .271 .185 .095 .039 .017
E(X)=0(.129)+1(.264)+2(.271)+3(.185)+4(.095)
+5(.039)+6(.017)=2.038
Varianza (della popolazione) di una variabile
aleatoria discreta
n
2
Var (x ) (x i )2P (' X x i ')
i 1
n
x i2P (' X x i ') 2
i 1
Esempio:
2
2
2
2
Var (x ) 0 (.129) 1 (.264) 2 (.271) ... (2.038)
6.12 (2.038)2 1.967
1.967
Funzione di distribuzione cumulativa
La funzione di distribuzione cumulativa (c.d.f.)
di una variabile aleatoria è indicata con F(X )
ed è definita da
F(x ) = P(‘X x’)
Esempio
F(x) = 0
se x < 0
F(x) = .129
se 0 x < 1
F(x) = .393
se 1 x < 2
F(x) = .664
se 2 x < 3
…………..
…………….
Rappresentazione grafica della c.d.f.
cdf. per numero episodi otite media nei primi 2
probabilità
anni
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
numero episodi
Funzione a scalino = step function
8
Distribuzione di probabilità continua
Si riferisce a una variabile aleatoria continua
definita su un sottoinsieme S di R:
f (x ) 0, x S
P (' X A ') f (x )dx
A
= area sotto il grafico di f di base A
f ( x )dx 1
S
Distribuzione normale: formula
1
f (x )
e
2
( x )
2
indica la media della popolazione
indica la deviazione standard della
popolazione
2
2
Distribuzione normale: 3, 1
La probabilità che cada in un intervallo
centrato sulla media di raggio z volte la
deviazione standard dipende solo da z, da
cui segue la regola empirica.
z non è necessariamente un intero.
Esempio: la media della altezza di un
uomo adulto è 70 inches e =4.0 inches.
In base alla regola, 0.95 è la probabilità
che un uomo adulto scelto a caso abbia un
altezza compresa fra 62 e 78 inches.
Sia X una v. a. continua normale con media e
deviazione standard :
1
P( -z < X < +z )=
2
z
e
z
( x )2
2 2
dt
Funzione di distribuzione cumulativa
(t )2
2 2
1 x
F (x )
e
2
P (' X x ')
1. 0 F(x) 1;
2. Monotona crescente
dt
0,997
0,954
0,6827
0
0
1
2
z
3
Quando trattiamo un campione di dati provenienti
da una serie di misure e riteniamo che i dati
siano distribuiti secondo una normale, se
decidiamo di associare alla nostra stima una
incertezza pari a una deviazione standard
confidiamo che l’effettivo valore della grandezza
misurata giaccia nell’intervallo da noi definito con
una probabilità del 68%.
Distribuzione binomiale
Si applica a variabili aleatorie che possono
assumere solo 2 valori: ad esempio, un
certo evento si verifica oppure no. Possono
quindi essere codificate con 0 e 1. La
distribuzione binomiale descrive il possibile
numero di volte che la variabile assume il
valore 0 (rispettiv. 1) in una sequenza di
osservazioni, sapendo che la probabilità di
verificarsi di 0 in una osservazione è p.
Distribuzione binomiale
La probabilità di k successi in n
prove indipendenti sapendo che
la probabilità di successo in 1
prova è p:
n k
P (' X k ') p (1 p )n k
k
Lancio della moneta
Ad esempio, lanciando 4 volte una moneta
equa sappiamo che
P(‘Zero T’)=1/16
P(‘esatt. 1 T’)=4/16
P(‘esatt. 2 T’)=6/16 P(‘esatt. 3 T’)=4/16
P(‘esatt. 4 T’)=1/16
Se la moneta non è equa ma T ha
probabilità p:
n k
n k
P(‘k T su n prove’)= p (1 p )
k
Distribuzione binomiale: grafico
Esempio
Nell’emocromo si misura anche il numero di
globuli bianchi. Questi si dividono in 5 categorie:
neutrofili, linfociti, monociti e basofili. Interessa la
distribuzione di neutrofili k su 100 globuli bianchi.
Qual è la probabilità che su 5 cellule 2 siano
neutrofili sapendo che la probabilità che 1 cellula
sia un neutrofilo è 0.6?
5
2
3
.6
.4
.230
2
Ricordiamo che
n n
k n k
In quanto ad ogni sottoinsieme di k oggetti è
associato il suo complementare che ha n-k
oggetti. Qui i sottoinsiemi di k oggetti sono tanti
quanti quelli di n-k oggetti.
5 0 5
P (' X 0') .6 .4 .0102
0
5 1 4
P (' X 1') .6 .4 .0768
1
5 2 3
P (' X 2') .6 .4 .2304
2
5 3 2
P (' X 3') .6 .4 .3456
3
5 4 1
P (' X 4') .6 .4 .2592
4
5 5 0
P (' X 5') .6 .4 .0778
5
Quando una statistica eseguita su una
campione stima un parametro della
popolazione, la stima dipende dal
campione e ci si pone la domanda quanto
la stima è prossima al valore del
parametro della popolazione.
Così la media campionaria, una
proporzione campionaria sono variabili
aleatorie e possiedono una distribuzione:
sampling distribution
la proporzione di individui che votano per
la lista A
la percentuale di donne facenti parte di
una giuria
il numero medio di carcerati già
condannati ad una pena detentiva su un
campione di 100 detenuti del carcere XY
Distribuzione campionaria di medie
campionarie
La media Y è una variabile che
cambia da campione a campione.
La media della distribuzione
campionaria è uguale a , cioè,
misurandola su campioni di dimensione
n al tendere del numero dei campioni
all’infinito la media delle medie
campionarie tende alla media della
popolazione .
Errore standard
La deviazione standard Y della distribuzione
campionaria di Y si chiama errore standard.
Vale la formula:
Y
n
Errore di campionamento
-Y
Teorema centrale del limite
La distribuzione campionaria di Y un
campione random tende ad una
distribuzione normale al tendere della
dimensione del campione all’infinito.
Osservazioni:
La approssimata normalità della
distribuzione campionaria delle medie si
applica indipendente dal tipo della
distribuzione della popolazione!!!
