Domande matematica quinta
1)
Calcolare il perimetro Pn di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio r noto.
Mostrare poi che
2)
lim Pn 2r
n
Calcolare l’area An di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio r noto.
Mostrare poi che
lim An r 2
n
3)
Considerata la generica parabola P di vertice V, e presi due punti generici A e B simmetrici rispetto all’asse,
mostrare che il vertice è punto medio dell’altezza del triangolo che ha come lati AB e le tangenti a P in A e in B.
4)
Spiegare come mai se f(x) < g(x), allora loga f(x) < loga g(x) se a >1, mentre loga f(x) > loga g(x) se 0 < a < 1.
5)
Risolvere graficamente l’equazione ex - |x| > 0 . Ricavare poi le soluzioni con un’approssimazione minore di 1/100
applicando uno dei metodi numerici conosciuti. Scrivere un programma per il calcolo di tali soluzioni.
6)
Spiegare utilizzando la definizione di limite perché
7)
Calcolare
8)
L’annullarsi della derivata prima costituisce sempre un criterio esauriente per il calcolo dei punti estremanti ? Illustra
fornendo esempi esaurienti.
9)
Data y= f(x) , illustra il legame che può intercorrere tra il dominio di f e il dominio della sua derivata prima,
spiegando cosa accade quando i due non coincidono.
(ln
2
lim tgx
x
non esiste.
x ln x )dx
10) Una funzione y = f(x) è tale che in una punto x0 si annullano tutte le derivate fino all’ordine 3, mentre fIV(x0) è
positiva. Cosa si può dire per il punto x0 ?
11) Dai la definizione di funzione derivabile in un punto, fornendo un esempio. Cosa si intende per punto angoloso ?
Dai un esempio di funzione con punto angoloso mostrando cosa accade in esso.
12) Una funzione con un punto angoloso è necessariamente continua ? Discuti e illustra con esempio.
13) y = f(x) è tale che in x = 3 ha una discontinuità di 2° specie, in x = 0 ha una discontinuità di prima specie, mentre è
continua in tutti gli altri punti del suo dominio. Senza disporre di ulteriori informazioni, essa può avere un punto
angoloso ? La funzione è derivabile in x = 0 ?
14) Il teorema di Rolle può essere visto come un caso particolare del teorema di Lagrange ? Spiega motivando.
15) Dai la definizione di probabilità classica, di evento certo e impossibile.
Dato un mazzo di 40 carte trova la probabilità per i seguenti eventi:
A : una carta estratta è pari
B : una carta estratta è rossa
C : una carta estratta è pari o rossa
Puoi affermare che P(C) = P(A) + P(B) ? Motiva. Esistono casi in cui la relazione precedente è vera ? Dai un
esempio.
16) Cosa si intende per probabilità condizionata ? Qual è la differenza tra P(A|B) e P(B|A) ?
Un’urna contiene 6 palline rosse e 4 nere. Ne vengono estratte 5.
Calcola la probabilità di estrarre 3 palline rosse e 2 nere richiedendo che le prime 3 estratte siano le rosse.
Calcola la probabilità di estrarre 3 palline rosse e 2 nere richiedendo che le prime 2 estratte siano le nere.
Si ottiene lo stesso risultato ?
17) Ricorrendo alla definizione, calcolare la derivata di
y 2x 3
18) Dato un quadrato Q0 di lato a , si consideri il quadrato Q1 che ha per vertici i punti medi del quadrato Q0, poi il
quadrato Q2 avente per vertici i punti medi di Q1, e così via. Determinare la somma dei perimetri dei quadrati così
costruiti e calcolarne il limite.
19) Dato un polinomio y = f(x), dimostrare che se x0 è uno zero doppio per f(x) l allora x0 è uno zero di f’(x) , ma non di
f’’(x).
20) Usando il teorema della funzione inversa, calcolare la derivata di y = ln x quale funzione inversa di y = ex
21) Determinare il centro e il rapporto dell’omotetia di equazioni
x' 2 x 4
y' 2 y 6
Calcolare gli elementi uniti della trasformazione.
22) Enunciare il teorema del valor medio per gli integrali, darne un’interpretazione geometrica, e applicarlo alla
funzione
1
x 1 x
y
nell’intervallo [9, 16]
23) Spiegare il significato del simbolo
n
e dimostrare che vale
k
n
n!
k k! n k !
24) Quanti flessi può avere al massimo una funzione polinomiale di terzo grado ? Illustrare con un esempio e poi
generalizzare.
25) Calcolare
lim
x 0
ln( x 1) ln( 1 x )
cos x 1
26) Delle due funzioni f(x) = 2x 3 – 3 x 2 g(x) =
3
x 2 1 una non verifica in [ - 1, 2] il teorema di Lagrange. Quale ? Per
l’altra determinare il valore di c indicato dal teorema.
27) Dimostrare che , dati due numeri positivi x e y, con xy = costante, la loro somma è minima quando essi sono uguali.
28) Dimostrare che
1 cos x 1
1 cos3 x
. Utilizzare il risultato per calcolare lim
x 0
x 0
x2
2
sen 2 x
lim
29) Scrivere una funzione f(x) definita per x 1 passante per (1, 0 ) e tale che abbia limite infinito per x tendente a
infinito.
30) Determinare per quale valore di k f(x) = ( x 2 – kx + 2) e – x non ha nel suo dominio punti estremanti
31) Stabilire se l’equazione ln x + x – 2 = 0 ha soluzioni e in caso affermativo determinarle con uno dei metodi numerici
studiati.
32) Dopo aver dato la definizione di asintoto orizzontale,
a)
trovare quello di
b)
spiegare perché
f ( x)
3x 3 ln x
x 2 5x 4
senx
g ( x)
cos x 1 non ha asintoti
x
33) Scrivere una f(x) definita in tutto R , sempre > 0 , decrescente e tendente a 1 per x tendente all’infinito.
34) Calcolare
lim 3x 1 3 x 2 1
35) Calcolare
lim
x
x
x 2
2 cos 2 x cos x 1
36) Calcolare i punti che verificano il teorema della media integrale per
1
37) Studiare la discontinuità di
ye
x 2 1
e di
y
x
1 sen
x
2
y x 2 2 x x 1 in [- ½ , ½]
38) Y = f(x) è definita in [a, b] e assume valori di segno opposto in a e in b. Si può dedurre che f si annulla in almeno un
punto di [a, b ] ?
39) Enunciare il teorema degli zeri e risolvere e x + 2x = 0 graficamente spiegando perché deve esserci
necessariamente almeno una soluzione.
40) I vertici del triangolo ABC sono A(2,4) B(-1, 2) C(0,6). Determinare l’area di ABC e ,scritta l’omotetia di centro
D(-1, -2) e rapporto k = -1, calcolare l’area del triangolo trasformato.
x' 2 x y 4
calcolare gli elementi uniti e classificare la trasformazione
y ? x 2 y 6
x 31 x k x 2 0 dimostrare che essa ha 2 radici reali indipendenti da k.
41) Data la trasformazione
42) Data l’equazione
Vi è qualche valore di k per cui le radici sono uguali ?
43) Calcolare la derivata di
y x 3 ln x . Cosa si può dire circa la derivata in x
1
3
e
?
44) Data la parabola P’ passante per A(0,12) B(1,6) C(2,2) e la parabola P’’ passante per C, per D(0,49 e con vertice
di ascissa 25/8
a) scrivere le equazioni di P’ e P’’
b) trovare le coordinate dei punti comuni e le equazioni delle rette tangenti comuni
c)
si sottoponga P’ alla trasformazione
x ax '
y bx ' y ' c
con a > 0. Si trovino a, b, c in modo che la
trasformata di P’ coincida con P’’
45) Sono dati due eventi indipendenti tali che P(A) = 0,5 P(B) = 0,6 e P(B|A) = 0,53. Calcolare P(A|B)
46) Senza calcolare l’integrale, provare che
2
2
0
0
senx dx cos x dx
47) Un rettangolo ha un vertice in (0,0), il vertice opposto sulla funzione
y
4
x4
e due lati consecutivi sugli assi
cartesiani. Dimostrare che la sua area è decrescente al crescere di x.
48) Sia f’(3) = 0 e f’(x) > 0 negli intervalli (1, 3 ) e (3, 4). Cosa si può dire che la funzione presenta in x = 3 ?
49) La funzione
a)
b)
c)
d)
y 5 x2
non ha né massimi né minimi perchè la sua derivata non si annulla mai
ha un massimo in x = 0
ha un minimo in x = 0
ha un flesso a tangente orizzontale in x = 0
Una sola delle risposte è corretta. Dire quale motivando adeguatamente
50) La funzione
a)
b)
c)
d)
y5 x
non ha flessi perchè la sua derivata seconda non si annulla mai
ha un flesso a tangente orizzontale in x = 0
ha un flesso a tangente verticale in x = 0
ha un flesso a tangente obliqua in x = 0
Una sola delle risposte è corretta. Dire quale motivando adeguatamente
51)
52)
53)
54)
Tra tutti i coni aventi superficie laterale costante a2 qual è quello di volume massimo ?
Tra tutti i coni inscritti in una sfera di raggio r noto, qual è quello di superficie laterale massima ?
Determinare il punto delle parabola 4y + x 2 = 10x – 5 per cui è massima la somma delle sue coordinate
Inscrivere nel segmento parabolico delimitato dall’asse x e dalla parabola y = 4x – x 2 il rettangolo di perimetro
massimo
x2 a
non ha massimi o minimi per – 9 x
x2 2x 3
x2
y 2
e si determini per quali a la funzione
x ax 1
55) Verificare che la funzione
56) Si consideri la funzione
y
-1
a) ammette un massimo e un minimo relativi
b) ammette solo un minimo
c) non ammette asintoti verticali
57) Sono date le due curve a) e b) di equazioni
a)
y
x 1
3
x x2
y
b)
x 2 5x
x 2 (5 3k ) 15k
Si trovi il valore di k nella b) in modo che le due curve abbiano un asintoto in comune
58) Tra le primitive di
y sen 2 x cos x trovare quella il cui grafico passa per , 1
6
59) Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false , giustificando la risposta
y e 2 ln x
a)
il grafico di
b)
x R risulta
è una parabola
log 1 e x 2 log 1 e x
2
log 2 sen 2 x 2 log 2 sen 2 x
x
Dimostrare che per qualsiasi numero reale x si ha 1 x e
c)
2
x R risulta
60)
61) Sia f una funzione 2 volte derivabile per x = 0 e tale che f(0) = 0 , f’(0) = ½.
Calcolare , applicando due volte il teorema dell’Hopital e giustificando i passaggi
lim
x0
f ( x ) 2
sen (2 x 2 )
62) E’ data la funzione
1 cos x
x
f ( x)
e x c
2
x0
Dire per quale valore di c essa è continua in x = 0
x0
Quesiti di maturità (tradizionale)
62) Considerata una funzione reale f(x) si prendano in esame le seguenti 2 proposizioni
a) condizione necessaria e sufficiente affinché f(x) sia definita in un punto a è che sia continua in a
b) condizione necessaria e sufficiente affinché f(x) sia continua in un punto a è che sia derivabile in a
Una sola della seguenti combinazioni di risposte è corretta, stabilire quale fornendo motivazioni adeguate
a) vera – vera b) vera – falsa c) falsa – vera d) falsa – falsa
63) Si consideri il cubo di spigoli AA’ , BB’, CC’, DD’, in cui 2 facce opposte sono i due quadrati ABCD e A’B’C’D’.
Indicato con E il punto medio dello spigolo AB, sia CF la retta perpendicolare a DE condotta per C. I piani DD’E e
C’CF dividono il cubo in quattro parti. Calcolare a quale frazione del cubo equivale ciascuna di esse.
64) Calcolare se esiste un numero naturale n tale che risulti
n
n
k 0
k 1048576
65) Dimostrare che la derivata di y = ax è y’ = ax ln a
66) Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima
1
67) Una primitiva della finzione f(x)
è
x2
+ 2x. Se è possibile, calcolare
x
f 2 dx , determinando il valore
0
dell’integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è possibile.
68) In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali, sia T un trapezoide di base [a, b] relativo alla funzione
f(x) , continua in [a, b]. Dimostrare la formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando
ruota di un giro completo attorno all’asse x.
69) Calcolare la derivata di y = sen 2x ricorrendo alla definizione.
70) Considerata la funzione f(x) , derivabile almeno due volte in un dato punto a, affinché la funzione f(x) abbia in a
un punto di flesso la condizione f’’(a) = 0 è
a) necessaria e sufficiente
b) necessaria ma non sufficiente
c) sufficiente ma non necessaria
Una sola delle risposte è corretta. Individuarla e dare una spiegazione adeguata.
71) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale continua in R e tale che f(0) = 2. Calcolare
x
f (t )dt
lim
x 0
0
2 xe x
72) Si consideri il cubo di spigoli AA’ , BB’, CC’, DD’, in cui 2 facce opposte sono i due quadrati ABCD e A’B’C’D’.
Indicato con E il punto medio dello spigolo AB, i piani DD’E e AC’CA dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare
chela parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.
73) Un tronco di piramide ha basi B e b e altezza h. Dimostrare col metodo preferito che il suo volume V è
V
1
h B b Bb
3
. In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione
74) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in [a, b] e tale che, per ogni punto di tale intervallo, risulti
f’(x) = 0. Dimostrare che f(x) è costante in [a, b].
75) Dimostrare che si ha
n n 1 n 1
k k k 1
ove n, k sono numeri naturali qualsiasi con n>k>0.
76) Fra i triangoli inscritti in un semicerchio, quello isoscele ha:
a) area massima e perimetro massimo
b) area massima e perimetro minimo
c) area minima e perimetro massimo
d) area minima e perimetro minimo
Una sola risposta è corretta, trovarla e dare una esauriente spiegazione
77) Considerata la funzione f(x) = ax3 + 2ax2 – 3x ove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui
essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui f(x) non ha punti estremanti.
78) Si consideri la funzione
y
x senx
x cos x
Studiare se si può calcolarne il limite per x + e spiegare se il calcolo si
può effettuare ricorrendo al teorema dell’Hopital.
Quesiti di maturità (PNI)
79)
80)
81)
82)
Provare che una sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro circoscritto
Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione xex + xe- x –2 = 0
Dimostrare che se p(x) è un polinomio allora tra due qualsiasi radici distinte di p(x) c’è una radice di p’(x)
Calcolare la derivata della funzione f(x) = arcsenx + arccos x. Quali conclusioni si possono trarre per la f(x) ?
83) Calcolare l’integrale
log x
dx
x
84) Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un’approssimazione dell’integrale
senx dx e si confronti il
0
risultato con il valore esatto dell’integrale
85) Verificato che l’equazione x – e-x = 0 ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1, se ne calcoli
un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.
86) Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Si scelgono 3 allievi a caso. Qual è la probabilità che siano tutti
maschi ?
87) Spiegare il significato di sistema assiomatico con particolare riferimento alla sistemazione logica della geometria
88) Dire, formalizzando la questione e utilizzando il teorema del valor medio o di Lagrange, se è vero che : ”se un
automobilista compie un viaggio senza soste in cui la velocità media è 60 km/h, allora almeno una volta durante il
viaggio il tachimetro dell’Auto deve indicare esattamente 60 km/h”.
89) Enunciare il teorema del valor medio o di Lagrange, illustrandone il legame con il teorema di Rolle e le implicazioni
ai fini della determinazione delle crescenza o decrescenza delle curve.
90) Calcolare la derivata della funzione
f ( x ) arctgx arctg
x 1
x 1
Quali conclusioni si possono trarre per la
f(x) ?
91) Dire qual è il dominio della funzione
y x x e stabilire il segno della derivata prima e quello della derivata
seconda in x = .
1
92) Calcolare integrando per parti
arcsenx dx
0
93) Spiegare , anche con esempi appropriati, il significato in matematica di “concetto primitivo” e di “assioma”
94) Nell’insieme delle cifre 1, 2, 3, … 9 se ne scelgono 2 a caso. La loro somma è pari. Determinare la probabilità che
entrambe le cifre siano dispari.
95) Verificato che l’equazione x 3 – 2x – 5 = 0 ammette una sola radice reale compresa tra 2 e 3 , calcolarne
un’approssimazione con uno dei metodi numerici studiati.
96) Calcolare il rapporto tra la superficie totale di un cilindro equilatero e la superficie della sfera ad esso circoscritta.
97) Dire (motivando la risposta) se è possibile inscrivere in una semicirconferenza un triangolo che non sia rettangolo,
ovvero con i versi di Dante
… se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì ch’un retto non avesse.
Paradiso XIII, 101-102
98) Data la successione il cui termine generale è
a)
Calcolare
b)
Esiste
4n 2 1
an
n
lim a n
n
lim a n ? Motivare la risposta.
n 101 0
(maturità 2000)
QUESITI MATURITA’ TRADIZIONALE 2002
99) Il rapporto tra la base maggiore e la base minore di un triangolo isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia
spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di
un giro completo dapprima attorno alla base maggiore e opi attorno alla base minore o se i dati a disposizione
sono insufficienti.
100) Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali A’ e A’’ e volumi V’ e V’’. Si sa che
valore del rapporto
A'
2 .Calcolare il
A' '
V'
.
V ''
101) Considerati i numeri reali a, b, c, d – comunque scelti – se a > b e c > d allora:
a) a + d > b + c
b) a – d > b – c
c) ad > bc
d) a/d > b/c
Una sola alternativa è corretta. Individuarla e motivare la risposta.
102) Si consideri la seguente affermazione: la media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è
maggiore della loro media geometrica. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.
103) Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione sia un’identità.
1
a
b
x 2x 3 x 3 x 1
7
5
y 2 x 1 4 2 x
2
104) Si consideri la funzione
1
2 ,2
Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo
105) Calcolare la derivata rispetto ad x della funzione f(x) seguente
x 1
f ( x)
ln t dt
con x > 0
x
106) La funzione reale di variabile reale f(x) è continua nell’intervallo [1, 3] e derivabile nell’intervallo (1, 3). Si sa che f(1)
0 f ' ( x) 2
1 f ( x) 5
= 1 e inoltre
per ogni x nell’intervallo (1, 3). Spiegare in maniera esauriente perché risulta
107) In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani Oxy è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla
seguente equazione
y x2 1 1 x2
Tale luogo è costituito da
a) un punto
c) infiniti punti
b) due punti
d) nessun punto
Una sola risposta è corretta. Individuarla motivando esaurientemente.
108) La funzione reale f(x) , continua per ogni x, è tale che
2
6
f ( x)dx b
f ( x)dx a
0
0
ove a e b sono numeri reali.
Determinare, se esistono, i valori di a e b per cui risulta
3
f (2 x)dx ln 2
3
e
0
109) Calcolare
f (2x)dx ln 4
1
3n
lim
n n !
110) Cosa si intende per “funzione periodica” ? Quale è il periodo di
111) Utilizzando il teorema di Rolle, si verifichi che il polinomio
f ( x) sen
x n px q
x
3
?
Quale quello di sen 2x ?
(con p e q numeri reali), se n è pari ha al
più 2 radici reali, se n è dispari ha al più tre radici reali.
112) Data la funzione
f ( x) e x senx 3x calcolarne i limiti per x tendente a + e a
- e provare che esiste un
numero reale k compreso tra 0 e 1 in cui la funzione si annulla.
113) Verificare che la funzione 3x + log x è strettamente crescente. Detta g la funzione inversa, calcolare g’ (3).
x
114) Trovare f(4) sapendo che
f (t )dt x cos x
0
Quesiti tradizionale 2003 sess. ordinaria
115) Dopo aver fornito la definizione di rette sghembe si consideri la seguente proposizione: comunque si prendano
nello spazio 3 rette x, y, z , 2 a 2 distinte, se x e y sono sghembe e , così pure, se sono sghembe y e z allora anche x
e z sono sghembe. Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
116) Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche
dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.
117) Dal punto A, al quale è possibile accedere , è visibile il punto B, al quale però non si può accedere in alcun modo,
così da impedire una misura diretta della distanza AB. Dal punto A però si può accedere al punto P, dal quale,
oltre ad A, è visibile B in modo che , pur rimanendo impossibile misurare direttamente PB, è tuttavia possibile
misurare AP. Disponendo degli strumenti di misura necessari e sapendo che P non è allineato con A e B, spiegare
come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare AB.
118) Il dominio della funzione
f ( x) ln
x 1 ( x 1)
a) –1 < x 3 b) 1 x 3 c) 0 x 3 d) 0 x
Una sola risposta è corretta, individuarla e spiegare perché.
è l’insieme delle x tali che
3
119) La funzione 2 x 3 x 2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse
delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o
negativo.
3
2
120) La derivata della funzione
x2
f ( x) e t dt
2
è la funzione
0
f ( x) 2 xe x
necessari a giustificare l’affermazione.
121) Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1: 1, 2, 3, 4 … n-1, n
moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti
ottenuti risulta uguale a :
a)
1 2
2
n n 1
4
b)
1 2
2
n n 1
3
c)
1
nn 1n 23n 1
24
d)
4
. Eseguire tutti i passaggi
1
n n 2 1 3n 2
24
Una sola risposta è corretta, individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta
operata.
122) x e y sono due numeri naturali dispari tali che x – y = 2. Il numero x3 – y3
a) è divisibile per 2 e per 3
b) è divisibile per 2 ma non per 3
c) è divisibile per 3 ma non per 2
d) non è divisibile né per 2 ma nè per 3
Una sola risposta è corretta, individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta
operata.
123) Si consideri una data estrazione in una determinata ruota del lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che
contengono i numeri 1 e 90.
124) Il valore dell’espressione
log 2 3 log 3 2
è 1. Dire se questa affermazione è vera o falsa e dare una spiegazione
esauriente della risposta.
Maturità PNI 2003 sess. Ord.
125) Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato
italiano a 18 squadre ?
126) Tre scatole A,B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 200
lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20 % difettose e C ne contiene 1000 con il 10%
difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Qual è la probabilità che essa sia
difettosa ?
127) Qual è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm ?
128) Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y = 2 quattro volte.
129) Dimostrare usando il teorema di Rolle che se l’equazione
xn + an-1 xn-1 + …… + a1x + a0 = 0
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione
nxn-1 + (n-1)an-1 xn-2 + …… + a1 = 0
130) Si vuole che l’equazione x3 + bx - 7 = 0 abbia 3 radici reali. Qual è un possibile valore di b ?
131) Verificare l’uguaglianza
1
4
0
1
dx
1 x2
e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di π applicando un metodo di integrazione
numerica.
132) Dare un esempio di solido il cui volume è dato da
1
x dx
3
0
133)Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a sen x e che
f ' (0) 1. Quanto vale
f f (0) ?
2
134) Verificare che l’equazione x 3 – 3x + 1 = 0 ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne
calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.
Maturità tradizionale 2004 sess. Ord.
135) Trovate 2 numeri reali a e b (con a diverso da b) che hanno somma e prodotto uguali.
136) Provate che la superficie totale di un cilindro equilatero sta lla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta
a 4.
137) Date un esempio di funzione f(x) con un massimo relativo in (1,3) e un minimo relativo in
(-1,2).
138) Dimostrate che l’equazione ex + 3x = 0 ammette una e una sola soluzione reale.
139) Di una funzione g(x), non costante, si sa che
lim g ( x) 3 e
x 2
g (2) 4
Trovate una espressione di g(x)
140) Verificate che le due funzioni f(x) = 3 log x e g(x) = log(2x)3 hanno la stessa derivata. Quale giustificazione ne date
?
141) Un triangolo ha due lati e l’angolo da essi compreso che misurano rispettivamente a,b e δ. Qual è il valore di δ che
massimizza l’area del triangolo ?
142) La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi
sessagesimali, i radianti, e gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni ?
143) Calcolate
1
arcsenx dx
0
144) Considerate gli insiemi
A 1,2,3,4 e B a, b, c. Quante sono le applicazioni (funzioni) di A in B ?
Maturità PNI 2004 sess. Ord. (i quesiti mancanti sono gli stessi del compito tradizionale)
145) Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Come varia il suo volume ? Come varia l’area
della sua superficie ?
146) Tra i triangoli di base assegnata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha perimetro minimo.
147) Dimostrate che l’equazione ex + 3x = 0 ammette una e una sola soluzione reale. Calcolarne un valore
approssimato mediante un metodo iterativo a scelta.
148) Nel piano è data la seguente trasformazione
x ' x 3 y
'
y x y 3
Di quale trasformazione si tratta ?
