Programma. - Dipartimento di Matematica

CORSO DI LAUREA IN CHIMICA
A.A.2008-2009
PROGRAMMA DI CALCOLO
Canale (A/L)
- ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI: Operazioni fra insiemi e loro proprietà.
- NUMERI REALI: Definizione assiomatica e proprietà dei numeri reali. Valore assoluto e
sue proprietà. Massimi e minimo-Estremo superiore e inferiore. Potenze e radicali, esponenziali
e logaritmi. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Intervalli. I numeri naturali, interi,
razionali.
-FUNZIONI NUMERICHE : Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Funzioni composte e
inverse. Il piano Cartesiano. Grafico di una funzione reale di variabile reale. Funzioni
simmetriche, periodiche, monotone, e loro grafico. Grafico della funzione inversa. Operazione
sui grafici. Funzione potenza. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni trigonometriche.
Le funzioni arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Funzioni iperboliche e loro inverse.
-EQUAZIONI E DISEQUAZIONI: Equazioni e disequazioni di I e II grado. Alcuni tipi di
equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Equazioni e disequazioni irrazionali.
Equazioni e disequazioni trigonometriche. Equazioni e disequazioni logaritmiche e esponenziali.
Sistemi di equazioni e disequazioni.
- SUCCESSIONI E SERIE: Definizione di successione e di limite di una successione.
Successioni limitate, convergenti, divergenti, irregolari, monotone. Teorema dell'unicità del
limite. Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti (dim).Teorema della permanenza
del segno (dim).Teoremi del confronto (dim). Il calcolo dei limiti.Teorema sull'esistenza del
limite per successioni monotone (dim). Il numero e. Limiti notevoli e stime asintotiche.
Successioni estratte. Serie numeriche. Serie geometrica. Serie armonica generalizzata. Teorema
sulla regolarità delle serie a termini positivi (dim). I criterio del confronto, del confronto
asintotico, della radice e del rapporto. Serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta, il
criterio di Leibnitz.
- FUNZIONI DI UNA VARIABILE. LIMITI E CONTINUITA': Limite di una funzione.
Asintoti. Limiti destro e sinistro. Caratterizzazione dei limiti di funzioni tramite le successioni.
Teorema della permanenza del segno. Teorema del confronto. Teorema sui limiti delle funzioni
monotone. Il calcolo dei limiti. Teorema sui limiti delle funzioni composte. Infiniti e
infinitesimi e loro confronto. Limiti notevoli e stime asintotiche. Continuità: definizione e
prime proprietà. Punti di discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Funzioni continue in
un intervallo: Teorema di esistenza degli zeri (dim). Esistenza delle radici per un polinomio di
grado dispari (dim). Teorema di Weierstrass, Teoremi di esistenza dei valori intermedi (dim).
- CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE: Definizione di
derivata e significato geometrico e meccanico. Punti angolosi e cuspidi. Differenziale. Continuità
delle funzioni derivabili (dim) . Regole di calcolo con le derivate . Derivata della funzione
composta. Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Punti di massimo
e minimo locale. Teorema di Fermat (dim). Teorema del valor medio o di Lagrange (dim.)
Caratterizzazione delle funzioni costanti (dim). Test di monotonia (dim). Teoremi di de
L'Hospital e applicazioni al calcolo dei limiti. Derivate di ordine superiore. Funzioni convesse
in un intervallo. Punti di flesso. Condizioni necessarie e sufficienti per la convessità. Polinomio
di Taylor e formula di Taylor con il resto di Peano. Applicazioni alla ricerca dei punti di
massimo, minimo o di flesso e uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti. Formula di
Taylor con il resto di Lagrange. Approssimazioni e stima degli errori. Studio del grafico di una
funzione.
- CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE: Primitiva. Integrale
indefinito di una funzione continua in un intervallo e sue proprietà . Regole di integrazione: per
decomposizione in somma, per parti, per sostituzione. Metodi di integrazione delle funzioni
razionali. Integrale definito di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato. Proprietà
dell'integrale definito: linearità, additività,monotonia, confronto con l'integrale del valore
assoluto. Teorema della media integrale per funzioni continue (dim). Funzione integrale.
Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). Formula fondamentale del calcolo
integrale. Integrali generalizzati: criteri di integrabilità in intervalli limitati e illimitati.
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Testi consigliati:
Per le conoscenze di base:
M. Bramanti. PreCalculus. Progetto Leonardo Ed.
Per la teoria:
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare.
Zanichelli Editore.
Per gli esercizi, a scelta:
S. Salsa, A.M. Squellati. Esercizi di Matematica . Calcolo infinitesimale e algebra lineare. vol
1. Zanichelli Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica vol I (Parte 1 e 2). Liguori Editore.