Le derivate

ALCUNI ESERCIZI SULLE DERIVATE A.A. 2003-2004
ESERCIZIO 1
Si consideri la funzione dei costi totali:
CT  100  0.05q  0.02q 2
Si calcoli l’elasticità puntuale della funzione di costo in corrispondenza a q =10.
Si ricordi che l’elasticità puntuale di una funzione y  f (x) è definita come :
df / f
Ef 
dx / x
7) Calcolare il valore di x che rende costi marginali e ricavi marginali uguali, essendo le funzioni
rappresentate da: CT  500  50 x e RT  x(150  x) .
In corrispondenza si può garantire che i profitti sono massimi? (argomentare la risposta) (6 punti)
ESERCIZIO 2
Si consideri un’impresa che presenta la seguente funzione dei costi totali:
 Costi fissi uguali a 2.000 euro
 Costi variabili unitari pari a 15 euro per le unità prodotte fino a 200, e costi variabili unitari
pari a 40 euro per le unità prodotte oltre le 200.
Il bene prodotto viene messo sul mercato al prezzo unitario di 30€.
Determinare:
 Le coordinate del (dei???) punto (i???)di pareggio
 Il profitto in corrispondenza a x=200 e a x=500.
Rappresentare graficamente le funzioni utilizzate.
Determinare la misura dell’area della regione di piano delimitata dalla funzione dei Ricavi e dalla
funzione dei Costi in corrispondenza all’intervallo nel quale i guadagni sono non negativi.
ESERCIZIO 3
La funzione di domanda di un vino francese è espressa da:
q  q( p)  1500  e 0,025 p
dove p è il prezzo della bottiglia. Determinare il prezzo che massimizza il ricavo totale.
ESERCIZIO 4
Il costo medio di un’azienda che produce un bene è definito da:
C ( x)
Cmedio( x)  T
x
si determini il livello della produzione x 0 che minimizza il Costo medio nel caso in cui la funzione
dei costi totali è rappresentata dalla funzione:
CT ( x)  4000  9 x  0.4 x 2
Il prezzo unitario di vendita segue la legge:
p  0.02 x  10  0
Determinare il livello delle vendite x1 che massimizza i profitti totali.
ESERCIZIO 5
Un’impresa stima che il costo per produrre x oggetti è:
CT ( x)  2600  2 x  0,001x 2
Calcolare:
1. il costo, il costo medio e il costo marginale in corrispondenza alla produzione di 1000 e
3000 oggetti
2. il livello di produzione in corrispondenza al quale si ha il costo medio più basso.
3. il costo medio minimo.
Si consideri la domanda di un bene x dipendente dal prezzo
funzione:
e dal reddito del consumatore R secondo la seguente
Si calcoli in generale l’espressione dell’elasticità della domanda del bene rispetto al reddito R. Si calcoli il valore
dell’elasticità della domanda del bene rispetto al reddito R in corrispondenza ad un valore del reddito pari a 100 e ad un
prezzo
e si interpreti il risultato ottenuto
Soluzione
Si tratta di una funzione di 2 variabili x  f ( p1 , R) 
R
1
 .
2 p1 2
L’elasticità puntuale assume l’espressione:
1
df
2 p1
R * 2 p1
1
R
  dR 

*

f
R
1 2 p1 R  p1 2 p1 * ( R  p1 )

R
2 p1 2
2 p1
R
Nel punto indicato l’elasticità assume il valore:


100 * 20
 1, 1
20 * 90
Elasticità della domanda
– l’elasticità puntuale della domanda rispetto al Reddito misura la variazione percentuale della quantità domandata
causata da una variazione dell’1% del Reddito.