Test di matematica per l’ammissione alle facoltà scientifiche 1. Le soluzioni dell'equazione Log(x+3)-Log(x-1)=Logx sono 3 -3, 1 non ha soluzioni reali -3, 0, 1 3, 1 Svolgimento -3 non può essere una soluzione perché Logx richiede che l'argomento sia positivo. 1 non può essere soluzione perché Log(x-1) non è definito. Per risolvere l'equazione si può procedere le seguente modo: Log(x+3)/(x-1)=Logx (x+3)/(x-1)=x x+3-x2+x=0 x2-2x-3=0 x=-1, x=3 x=-1 non è accettabile 2. Dato un numero naturale N, quanto vale il resto della divisione di (2N-3)2 per 4? 1 3 2 -3 9 Svolgimento (2N-3)2=4N2-12N+9=4N2-12N+8-1=4(N2-3N+2)+1 dividendo per 4 il resto è sempre 1 3. Dati n e m due numeri naturali diversi da zero, quale delle seguenti affermazioni è corretta? m.c.m(n, m) M .C.D.(n, m) M .C.D.(n, m) nm m.c.m(n, m) M .C.D.(n, m) 1 m.c.m.(n, m) m.c.m.(n, m) nm M .C.D.(n, m) nm nessuna delle precedenti 4. Se l'aumento medio dei prezzi è del 10% l'anno, allora l'aumento complessivo in tre anni (in un periodo ideale di inflazione costante) è tra il 33% e il 34% 30% tra il 34% e il 35% Svolgimento (1,1)3=1,331, quindi il 33,1% 5. log 5 7 log 5 1 7 tra il 30% e il 33% maggiore del 35% 1 7 7 1 7 7 log 5 0 1 non esiste Svolgimento 1 log 5 7 7 6. Per acquistare un miniappartamento si versa un acconto pari al 20% del costo totale; successivamente, si versano 3 rate: la prima pari a un quarto di quanto resta dopo aver pagato l'acconto; la seconda uguale a un terzo di quanto ancora dovuto dopo aver pagato la prima rata e la terza di 20.000 euro. A quanto è stato acquistato l'appartamento? 50.000 euro 60.000 euro 35.000 euro 42.000 euro 36.000 euro Svolgimento L'acconto è del 20%, rimane da pagare 80% del prezzo. La prima rata è un quarto di 80%, quindi è pari al 20% del prezzo, rimane da pagare il 60%. La seconda rata è 1/3 del 60% quindi ancora il 20% del prezzo. Rimane da pagare il 40% del prezzo che corrisponde a 20.000. P*40/100=20.000 7. La misura in gradi di un angolo è 5°. La sua misura in radianti è 36 15 100 60 1 56 2 145 Svolgimento 5 :180 x : 8. Quale delle seguenti affermazioni è falsa? cos 3 3 2 cos 40 1 1 2 2 3 sin 3 1 2 2 sin 4 2 sin 9. Il numero sin(-2) = -sin2 = 0 = -2 non si può calcolare perché l'argomento del seno è compreso tra -1 e 1 nessuna delle altre risposte Svolgimento La funzione sinx è una funzione dispari sin(-x)=-sinx 10. La soluzione della disequazione sinx>2 sono nessun valore di x ogni valore di x nessuna delle altre risposte 0 x 2 0 x Svolgimento Sinx assume valore tra -1 e +1, non può quindi essere >2 11. Quale delle seguenti affermazioni è vera? sin 2 x 2 cot x tan x 2 sin3x=3sinx cos(x+3)=cosx+cos3 tan 3x cos3x cos3x=3cosx Svolgimento tan 2 x cot 2 x 2 12. L'area di un rettangolo avente un lato di lunghezza tripla della base e il cui perimetro è uguale a quello di un quadrato di lato 1 è 3/4 1 7/9 3/8 8/9 Svolgimento Detta x la base del rettangolo, l'altezza è 3x, il perimetro è 8x che deve essere uguale al perimetro di un quadrato di lato 1, quindi 8x=4, dea cui x=1/2. I lati del rattangolo misurano 1/2 e 3/2, l'area 3/4 13. Tre circonferenze di raggio 1 sono tangenti esternamente come in figura L'area della regione finita delimitata dalle tre circonferenze e denotata con la lettera A nella figura vale 3 2 2 3 3 1,5 3 Svolgimento 3 3 Il triangolo equilatero che ha per vertici i centri delle circonferenze ha lato 2 e altezza , la sua area vale . Per ottenere l'area di A bisogna sottrarre l'area dei tre settori circolari, ciascuno di angolo al centro 60°, quindi ciascuno è 1/6 della circonferenza. In totale formano 3/6 di circonferenza, ... 14. log 1 x 16 1 4 x=1/2 x=4 x=2 x=1/4 x=-1/2 Svolgimento log a x b x a b 1 1 4 1 1 4 x 4 16 16 2 4 15. Nella figura che segue le circonferenze sono tangenti e quella più grande ha raggio r. L'area della regione A, interna alla circonferenza più grande, esterna alle circonferenze più piccole e posta al di sopra della retta passante per O e Q vale 1 2 r 4 3 2 r 4 3 r 4 3 2 r 4 3 r 4 Svolgimento 1 2 r 2 La semicirconferenza grande ha area 1 r 2 2 2 Una delle semicirconferenze piccole ha area 2 A misura 1 2 1 r 1 1 r 2 r 2 2 2 2 2 4 16. Se a è un multiplo intero di 3 e b=3a, quali tra i numeri interi 21, 24 e 45 possono essere scritti nella forma a+b? solo 24 solo 45 solo 24 e 25 Svolgimento a=3N b=3a = 9N solo 21 solo 21 e 24 a+b=12N 17. Quale delle seguenti è una misura plausibile per l'altezza di un tavolo? 0,0075 hm 7500 mm 0,000075km 0,75 dm 0,0075 km Svolgimento 0,0075 hm = 0,75 m, poco meno di un metro. 18. Se x è un numero reale negativo, allora x x 0 x x 0 x 0 x x x 0 x x 0 Svolgimento |x| è sempre >0, quindi -|x| sempre <0, allora se x<0 allora anche x-|x|<0 19. Se un polinomio P(x) è divisibile per x2-4, allora P(x) non ha radici reali 2 non è una radice di P(x) -2 non è una radice di P(x) 2 e -2 sono certamente radici di P(x) 2 e - 2 sono certamente radici di P(x) Svolgimento Se P(x) è divisibile per x2-4 allora si può scrivere come (x2-4)*Q(x), che si annulla sicuramente se x2-4=0. 20. L'equazione sinx+cosx=0, per x che varia tra 0 e 2 una soluzione quattro soluzioni nessuna soluzione , ammette due soluzioni infinite soluzioni Svolgimento E’ sufficiente rappresentare su un grafico le due funzioni 21. Data la retta r: y y 2x 1 , quale delle seguenti rette passa per il punto P(1,1) ed è perpendicolare a r? 3 2x 1 3 3x 1 y 2 y 3x 1 2 y 2x 5 3 y 2x 5 3 Svolgimento Il coefficiente angolare deve essere -1/m, quindi 2/3, le rette con coef. ang. 2/3 sono la B e la C. Quella che passa per il punto (1,1) è la B. 22. Sapendo che l'affermazione "Tutti i sabati vado in pizzeria e poi al cinema" è falsa, se ne deduce che qualche sabato non vado in pizzeria o al cinema tutti i sabati non vado in pizzeria o al cinema qualche sabato non vado né in pizzeria né al cinema tutti i sabati non vado né in pizzeria né al cinema tutti i giorni vado in pizzeria e al cinema Svolgimento La negazione di tutti è "qualche...", la negazione di "e" è "o" 23. Se x e y sono due angoli legati dalla relazione y x , quale selle seguenti uguaglianze è vera? sinx+siny=0 tanx=tangy tanx+tany=0 cosx+cosy=-1 cosx=cosy Svolgimento Per gli angoli x e y in questione valgono senx=seny cosx=-cosy quindi tanx=-tany 24. L'età media dei partecipanti ad una festa è di 24 anni. Se l'età media degli uomini è 28 anni e quella delle donne è 18 anni, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? 3/2 14/9 9/14 2 4/3 Svolgimento Ponendo x il numero di uomini e y il numero di donne, si ha la relazione (28x+18y)/(x+y)=24 28x+18y=24(x+y) 28x+18y=24x+24y 4x=6y x/y=6/4 25. Un triangolo rettangolo ha perimetro lungo 12 cm. Allora i suoi due cateti sono lunghi 1 e 2 cm 3 e 4 cm 5 e 6 cm 2 e 3 cm 4 e 5 cm Svolgimento Il triangolo di lati 3cm, 4cm, 5cm è rettangolo e ha perimetro 12cm 26. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA? Affinché due frazioni siano uguali è sufficiente che abbiano lo stesso numeratore e lo stesso denominatore è necessario che abbiano numeratori e denominatori proporzionali è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore non è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore è necessario e sufficiente che abbiano numeratori e denominatori proporzionali Svolgimento La C e la D sono una il contrario dell'altra. Una delle due deve essere falsa. Affinché due frazioni siano uguali non è necessario che abbiano uguale numeratore e denominatore; sono infatti uguali le frazioni 2/3 e 4/6. 1 27. La metà di 2 1 4 50 1 2 49 1 2 51 50 è uguale a 1 2 25 1 4 25 Svolgimento 1 1 2 2 50 28. La seguente tabella rappresenta la distribuzione dei redditi annuali (in migliaia di euro) di una certa collettività di persone reddito 10 20 30 50 50 % pers. 28% 47% 73% 94% 6% Se ne deduce che le persone con reddito inferiore a 10.000 sono meno di quelle che hanno un reddito superiore a 30.000 le persone con reddito inferiore a 20.000 sono tante quante quelle che hanno un reddito compreso fra 20.000 e 50.000 il 60% delle persone ha un reddito superiore a 25.000 il 20% delle persone ha un reddito superiore a 40.000 nessuno ha un reddito di 5.000 Svolgimento Si tratta di percentuali cumulate, le persone con reddito inferiore a 20.000 sono 47% quelle con reddito tra 20.000 e 50.000 sono 94%47%=47% 29. L'equazione nell'incognita reale x x 2 3x 2 3 x non ha soluzioni ha l'unica soluzione x=3 ha un'unica soluzione la quale è diversa da 3 Svolgimento ha due soluzioni ha più di due soluzioni x 2 3x 2 3 x x 3 x 2 3 x x2 30. Aldo, Bruno e Carlo sono tre amici. Si sa che (a) almeno uno di essi è laureato (b) se Aldo è laureato, anche Bruno lo è (c) se Carlo è laureato, anche Aldo lo è (d) solo uno tra Bruno e Carlo è laureato Allora si deduce che Aldo e Bruno sono laureati Bruno è laureato Aldo è laureato e Bruno non lo è Carlo è laureato i laureati sono due Svolgimento Tra Carlo e Bruno solo uno di essi è laureato. Se lo fosse Carlo allora anche Aldo lo sarebbe, di conseguenza per la (b) anche Bruno è laureato, da cui l'assurdo. 31. Quale delle seguenti è l'equazione di una circonferenza? x 2 y 2 2 xy 1 0 4 x 2 3x 4 y 2 5 y 1 0 x 1 y 2 2 2 1 0 x2 y 2 1 0 x4 y 4 1 0 Svolgimento L'equazione di una circonferenza è del tipo x2+y2+ax+by+c=0 con a2+b2-4c=0 Se i termini x2 e y2 hanno lo stesso coefficiente, si può dividire tutta l'equazione per quel coefficiente. 32. In una città ogni abitante è tifoso di una squadra di calcio. Tre quinti degli abitanti tifano per la Juventus e un quarto dei rimanenti tifano per il Milan. Se tutti gli altri sono tifosi dell'Inter, qual è la percentuale dei tifosi dell'Inter? 10% 20% 30% Svolgimento 15% 25% 3/5 corrispondono al 60%, che sono i tifosi della Juventus I ramenti sono il 40%. Un quarto di questi sono il 10%, che sono i tifosi del Milan I rimanenti sono quindi il 30%, che sono i tifosi dell'Inter. 33. L'operazione * è definita come segue: per ogni coppia di numeri positivi a e b 2a b a *b a 2b Il valore di 4*5 è 4 36 nessuna delle altre risposte è esatta 1/4 -1 Svolgimento 4*9 2a 9 4 29 34. Qual è il valore di n se 513253=2545n? 12 11 nessuna delle altre risposte è esatta 10 8 Svolgimento 513 253 254 5n 511 25 253 254 5n 511 254 254 5n 35. Se q2=27, qual è il valore di (q+1)(q-1)? 27 26 nessuna delle risposte precedenti 28 27 1 Svolgimento (q+1)(q-1)=q2-1=27-1=26 36. Le soluzioni dell'equazione (x2-6x+9)2=0 sono x=-1, x=3 nessun valore di x nessuna delle risposte precedenti Svolgimento (x-3)4=0 x=3 37. Quali delle seguenti 3 espressioni hanno significato? (a) log10 sin 30 (b) log10 cos 30 tutti gli x reali e positivi x1=x2=x3=0, x4=3 (c) log10 tan 30 (a) e (b) (a) e (c) nessuna (a), (b) e (c) solo (b) Svolgimento sin 30 sin 15 2 sin 2 0 cos 30 1 tan 30 0 Poiché l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo ha significato solo l'espressiobe (b) 38. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra i polinomi x-2 e x3-8 sono, rispettivamente x-2 e x4-16 x-2 e x3-8 x-2 e (x-2)2(x2+2x+4) x2-4 e x3-8 1 e x3-8 Svolgimento Scomponendo in fattori si ha x-2 (x-2)(x2+2x+4) MCD=x-2 l'unico fattore in comune mcm=(x-2)(x2+2x+4) 39. La disequazione x3 x 4 è verificata se e solo se x è un numero reale qualunque x0 1 x 1 x 1 x 0 x 1 Svolgimento x3 x 4 x 4 x3 0 x3 x 1 0 40. Una sfera di raggio r e un cilindro circolare retto con raggio di base r hanno lo stesso volume. Allora l'altezza del cilindro è 4/3 r 2/3 r r 8/3 r 4 r Svolgimento 4 VS r 3 3 Volume della sfera VC r 2 h Volume del cilindro uguagliando i due volumi si ottiene il valore di h