Test di matematica per l`ammissione alle facoltà scientifiche 1. Le

Test di matematica per l’ammissione
alle facoltà scientifiche
1. Le soluzioni dell'equazione Log(x+3)-Log(x-1)=Logx sono
3
-3, 1
non ha soluzioni reali
-3, 0, 1
3, 1
Svolgimento
-3 non può essere una soluzione perché Logx richiede che l'argomento sia positivo.
1 non può essere soluzione perché Log(x-1) non è definito.
Per risolvere l'equazione si può procedere le seguente modo:
Log(x+3)/(x-1)=Logx
(x+3)/(x-1)=x
x+3-x2+x=0
x2-2x-3=0
x=-1, x=3
x=-1 non è accettabile
2. Dato un numero naturale N, quanto vale il resto della divisione di (2N-3)2 per 4?
1
3
2
-3
9
Svolgimento
(2N-3)2=4N2-12N+9=4N2-12N+8-1=4(N2-3N+2)+1
dividendo per 4 il resto è sempre 1
3. Dati n e m due numeri naturali diversi da zero, quale delle seguenti affermazioni è corretta?
 m.c.m(n, m)  M .C.D.(n, m)
M .C.D.(n, m)
 nm 
m.c.m(n, m)
M .C.D.(n, m)

1
m.c.m.(n, m)
m.c.m.(n, m)
 nm 
M .C.D.(n, m)
 nm
nessuna delle precedenti
4. Se l'aumento medio dei prezzi è del 10% l'anno, allora l'aumento complessivo in tre anni (in un periodo ideale di inflazione costante) è
tra il 33% e il 34%
30%
tra il 34% e il 35%
Svolgimento
(1,1)3=1,331, quindi il 33,1%
5. log 5 7  log 5
1

7
tra il 30% e il 33%
maggiore del 35%
1

7  
7

1
 7 
7
 log 5
0
1
non esiste
Svolgimento
 1
log 5  7  
 7
6. Per acquistare un miniappartamento si versa un acconto pari al 20% del costo totale; successivamente, si versano 3 rate: la prima pari a
un quarto di quanto resta dopo aver pagato l'acconto; la seconda uguale a un terzo di quanto ancora dovuto dopo aver pagato la prima rata
e la terza di 20.000 euro. A quanto è stato acquistato l'appartamento?
50.000 euro
60.000 euro
35.000 euro
42.000 euro
36.000 euro
Svolgimento
L'acconto è del 20%, rimane da pagare 80% del prezzo.
La prima rata è un quarto di 80%, quindi è pari al 20% del prezzo, rimane da pagare il 60%.
La seconda rata è 1/3 del 60% quindi ancora il 20% del prezzo.
Rimane da pagare il 40% del prezzo che corrisponde a 20.000.
P*40/100=20.000
7. La misura in gradi di un angolo è 5°. La sua misura in radianti è

36
15

100



60
1

56



2

145

Svolgimento
5 :180  x : 
8. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
 cos


3

3
2
cos 40  1
1
  
 
2
2 3
 sin 

3
  1
2

2

 sin
4
2
 sin
9. Il numero sin(-2)
= -sin2
= 0
= -2
non si può calcolare perché l'argomento del seno è compreso tra -1 e 1
nessuna delle altre risposte
Svolgimento
La funzione sinx è una funzione dispari sin(-x)=-sinx
10. La soluzione della disequazione sinx>2 sono
nessun valore di x
ogni valore di x

nessuna delle altre risposte

0  x  2
0 x 
Svolgimento
Sinx assume valore tra -1 e +1, non può quindi essere >2
11. Quale delle seguenti affermazioni è vera?


 sin  2 x 


2
cot x  tan x
2
sin3x=3sinx
cos(x+3)=cosx+cos3
 tan
3x     cos3x
cos3x=3cosx
Svolgimento


tan   2 x   cot 2 x
2

12. L'area di un rettangolo avente un lato di lunghezza tripla della base e il cui perimetro è uguale a quello di un quadrato di lato 1 è
3/4
1
7/9
3/8
8/9
Svolgimento
Detta x la base del rettangolo, l'altezza è 3x, il perimetro è 8x che deve essere uguale al perimetro di un quadrato di lato 1, quindi 8x=4,
dea cui x=1/2.
I lati del rattangolo misurano 1/2 e 3/2, l'area 3/4
13. Tre circonferenze di raggio 1 sono tangenti esternamente come in figura
L'area della regione finita delimitata dalle tre circonferenze e denotata con la lettera A nella figura vale
3


2
2

 3

3 

1,5

 3
Svolgimento
3
3
Il triangolo equilatero che ha per vertici i centri delle circonferenze ha lato 2 e altezza
, la sua area vale
.
Per ottenere l'area di A bisogna sottrarre l'area dei tre settori circolari, ciascuno di angolo al centro 60°, quindi ciascuno è 1/6 della
circonferenza. In totale formano 3/6 di circonferenza, ...
14. log 1 x 
16
1
4
x=1/2
x=4
x=2
x=1/4
x=-1/2
Svolgimento
log a x  b  x  a b
1
1 4 1
 1 4
x   4
  
16
 16 
2
4
15. Nella figura che segue le circonferenze sono tangenti e quella più grande ha raggio r. L'area della regione A, interna alla circonferenza
più grande, esterna alle circonferenze più piccole e posta al di sopra della retta passante per O e Q vale
1 2
r
4
3 2
r
4


3
r
4
3 2
r
4


3
r
4

Svolgimento
1 2
r
2
La semicirconferenza grande ha area
1 r
 
2 2
2
Una delle semicirconferenze piccole ha area
2
A misura
1 2
1 r  1 1
 r  2        r 2
2
2 2 2 4
16. Se a è un multiplo intero di 3 e b=3a, quali tra i numeri interi 21, 24 e 45 possono essere scritti nella forma a+b?
solo 24
solo 45
solo 24 e 25
Svolgimento
a=3N
b=3a = 9N
solo 21
solo 21 e 24
a+b=12N
17. Quale delle seguenti è una misura plausibile per l'altezza di un tavolo?
0,0075 hm
7500 mm
0,000075km
0,75 dm
0,0075 km
Svolgimento
0,0075 hm = 0,75 m, poco meno di un metro.
18. Se x è un numero reale negativo, allora
 x 
x 0

x x 0
x
0
x
x x 0


x  x  0

Svolgimento
|x| è sempre >0, quindi -|x| sempre <0, allora se x<0 allora anche x-|x|<0
19. Se un polinomio P(x) è divisibile per x2-4, allora
P(x) non ha radici reali
2 non è una radice di P(x)
-2 non è una radice di P(x)
2 e -2 sono certamente radici di P(x)

2 e - 2 sono certamente radici di P(x)
Svolgimento
Se P(x) è divisibile per x2-4 allora si può scrivere come (x2-4)*Q(x), che si annulla sicuramente se x2-4=0.
20. L'equazione sinx+cosx=0, per x che varia tra 0 e 2
una soluzione
quattro soluzioni
nessuna soluzione
, ammette
due soluzioni
infinite soluzioni
Svolgimento
E’ sufficiente rappresentare su un grafico le due funzioni
21. Data la retta r: y 
y


2x 1
, quale delle seguenti rette passa per il punto P(1,1) ed è perpendicolare a r?
3
2x 1
3
3x  1
y
2
y
3x  1
2
y
2x  5
3


y
2x  5
3

Svolgimento
Il coefficiente angolare deve essere -1/m, quindi 2/3, le rette con coef. ang. 2/3 sono la B e la C. Quella che passa per il punto (1,1) è la B.
22. Sapendo che l'affermazione "Tutti i sabati vado in pizzeria e poi al cinema" è falsa, se ne deduce che
qualche sabato non vado in pizzeria o al cinema
tutti i sabati non vado in pizzeria o al cinema
qualche sabato non vado né in pizzeria né al cinema
tutti i sabati non vado né in pizzeria né al cinema
tutti i giorni vado in pizzeria e al cinema
Svolgimento
La negazione di tutti è "qualche...", la negazione di "e" è "o"
23. Se x e y sono due angoli legati dalla relazione y    x , quale selle seguenti uguaglianze è vera?
sinx+siny=0
tanx=tangy
tanx+tany=0
cosx+cosy=-1
cosx=cosy
Svolgimento
Per gli angoli x e y in questione valgono
senx=seny
cosx=-cosy
quindi tanx=-tany
24. L'età media dei partecipanti ad una festa è di 24 anni. Se l'età media degli uomini è 28 anni e quella delle donne è 18 anni, qual è il
rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?
3/2
14/9
9/14
2
4/3
Svolgimento
Ponendo x il numero di uomini e y il numero di donne, si ha la relazione
(28x+18y)/(x+y)=24
28x+18y=24(x+y)
28x+18y=24x+24y
4x=6y
x/y=6/4
25. Un triangolo rettangolo ha perimetro lungo 12 cm. Allora i suoi due cateti sono lunghi
1 e 2 cm
3 e 4 cm
5 e 6 cm
2 e 3 cm
4 e 5 cm
Svolgimento
Il triangolo di lati 3cm, 4cm, 5cm è rettangolo e ha perimetro 12cm
26. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
Affinché due frazioni siano uguali
è sufficiente che abbiano lo stesso numeratore e lo stesso denominatore
è necessario che abbiano numeratori e denominatori proporzionali
è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore
non è necessario che abbiano uguale numeratore e uguale denominatore
è necessario e sufficiente che abbiano numeratori e denominatori proporzionali
Svolgimento
La C e la D sono una il contrario dell'altra. Una delle due deve essere falsa.
Affinché due frazioni siano uguali non è necessario che abbiano uguale numeratore e denominatore; sono infatti uguali le frazioni 2/3 e 4/6.
1
27. La metà di  
2
1
 
4
50
1
 
2
49
1
 
2
51
50
è uguale a

1
 
2
25
1
 
4
25




Svolgimento
1 1
 
2 2
50
28. La seguente tabella rappresenta la distribuzione dei redditi annuali (in migliaia di euro) di una certa collettività di persone
reddito  10  20  30  50  50
% pers. 28% 47% 73% 94% 6%
Se ne deduce che
le persone con reddito inferiore a 10.000 sono meno di quelle che hanno un reddito superiore a 30.000
le persone con reddito inferiore a 20.000 sono tante quante quelle che hanno un reddito compreso fra 20.000 e 50.000
il 60% delle persone ha un reddito superiore a 25.000
il 20% delle persone ha un reddito superiore a 40.000
nessuno ha un reddito di 5.000
Svolgimento
Si tratta di percentuali cumulate, le persone con reddito inferiore a 20.000 sono 47% quelle con reddito tra 20.000 e 50.000 sono 94%47%=47%
29. L'equazione nell'incognita reale x
x 2  3x
 2
3 x
non ha soluzioni
ha l'unica soluzione x=3
ha un'unica soluzione la quale è diversa da 3
Svolgimento
ha due soluzioni
ha più di due soluzioni
x 2  3x
 2
3 x
 x 3  x 
 2
3 x
x2
30. Aldo, Bruno e Carlo sono tre amici. Si sa che
(a) almeno uno di essi è laureato
(b) se Aldo è laureato, anche Bruno lo è
(c) se Carlo è laureato, anche Aldo lo è
(d) solo uno tra Bruno e Carlo è laureato
Allora si deduce che
Aldo e Bruno sono laureati
Bruno è laureato
Aldo è laureato e Bruno non lo è
Carlo è laureato
i laureati sono due
Svolgimento
Tra Carlo e Bruno solo uno di essi è laureato. Se lo fosse Carlo allora anche Aldo lo sarebbe, di conseguenza per la (b) anche Bruno è
laureato, da cui l'assurdo.
31. Quale delle seguenti è l'equazione di una circonferenza?
x 2  y 2  2 xy  1  0

4 x 2  3x  4 y 2  5 y  1  0

 x  1   y  2 
2
2
1  0

x2  y 2  1  0

x4  y 4  1  0

Svolgimento
L'equazione di una circonferenza è del tipo
x2+y2+ax+by+c=0
con a2+b2-4c=0
Se i termini x2 e y2 hanno lo stesso coefficiente, si può dividire tutta l'equazione per quel coefficiente.
32. In una città ogni abitante è tifoso di una squadra di calcio. Tre quinti degli abitanti tifano per la Juventus e un quarto dei rimanenti
tifano per il Milan. Se tutti gli altri sono tifosi dell'Inter, qual è la percentuale dei tifosi dell'Inter?
10%
20%
30%
Svolgimento
15%
25%
3/5 corrispondono al 60%, che sono i tifosi della Juventus
I ramenti sono il 40%. Un quarto di questi sono il 10%, che sono i tifosi del Milan
I rimanenti sono quindi il 30%, che sono i tifosi dell'Inter.
33. L'operazione * è definita come segue: per ogni coppia di numeri positivi a e b
2a  b
a *b 
a  2b
Il valore di 4*5 è
4
36
nessuna delle altre risposte è esatta
1/4
-1
Svolgimento
4*9 
2a  9
4  29
34. Qual è il valore di n se 513253=2545n?
12
11
nessuna delle altre risposte è esatta
10
8
Svolgimento
513  253  254  5n
511  25  253  254  5n
511  254  254  5n
35. Se q2=27, qual è il valore di (q+1)(q-1)?
27

26
nessuna delle risposte precedenti

28
27  1
Svolgimento
(q+1)(q-1)=q2-1=27-1=26
36. Le soluzioni dell'equazione (x2-6x+9)2=0 sono
x=-1, x=3
nessun valore di x
nessuna delle risposte precedenti
Svolgimento
(x-3)4=0
x=3
37. Quali delle seguenti 3 espressioni hanno significato?
(a) log10 
sin  30  
(b)
log10 cos  30  
tutti gli x reali e positivi
x1=x2=x3=0, x4=3
(c)
log10  tan  30  
(a) e (b)
(a) e (c)
nessuna
(a), (b) e (c)
solo (b)
Svolgimento
sin  30   sin 15  2   sin 2  0
cos 30  1
tan 30  0
Poiché l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo ha significato solo l'espressiobe (b)
38. Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo tra i polinomi x-2 e x3-8 sono, rispettivamente
x-2 e x4-16
x-2 e x3-8
x-2 e (x-2)2(x2+2x+4)
x2-4 e x3-8
1 e x3-8
Svolgimento
Scomponendo in fattori si ha
x-2
(x-2)(x2+2x+4)
MCD=x-2 l'unico fattore in comune
mcm=(x-2)(x2+2x+4)
39. La disequazione
x3  x 4
è verificata se e solo se
x è un numero reale qualunque


x0
1  x  1

x 1
x  0  x 1

Svolgimento
x3  x 4
x 4  x3  0
x3  x  1  0
40. Una sfera di raggio r e un cilindro circolare retto con raggio di base r hanno lo stesso volume. Allora l'altezza del cilindro è
4/3 r
2/3 r
r
8/3 r
4 r
Svolgimento
4
VS   r 3
3
Volume della sfera
VC   r 2 h
Volume del cilindro
uguagliando i due volumi si ottiene il valore di h