Operazioni in R - Istituto Trento 5

OPERZIONI IN R
OPERAZIONI
TRA
NUMERI
RELATIVI
 Somma di numeri concordi
 5   7     7  5  12
 6    8    6  8  14
 Somma di numeri discordi
 5    7    (7  5)  2
 6     8   (8  6)  2
1
OPERZIONI IN R

Differenza di numeri concordi
(diventa
una
somma
di
numeri
discordi)
 5   7    5   7   2
 6    8   6    8  2

Differenza
(diventa
una
di
numeri
somma
di
discordi
numeri
concordi)
 5   7    5   7   12
 6    8   6    8  14
2
OPERZIONI IN R

Prodotto di numeri concordi
 5 7     5  7   35
 6  8    6  8  48

Prodotto di numeri discordi
 5 7     5  7   35
 6  8    6  8  48
3
OPERZIONI IN R

Quoziente di numeri concordi
 35 :  7     35 : 7   5
 48 :  8    48 : 8  6

Quoziente di numeri discordi
 35 :  7     35 : 7   5
 48 8    48 : 8  6
4
OPERZIONI IN R
OPERAZIONI TRA FRAZIONI

a c ad  cb
 
con b, d  0
b d
bd
1 1 52 7
 

2 5
10
10
7 4 7  3  4  2 21  8 13
 


10 15
30
30
30
5
OPERZIONI IN R
a c a c
  
b d bd
con
b, d  0
1 3 1 3 3
 

2 5 2  5 10
7 9
 
12 14
(dopo aver semplificato in croce)
1 3 3


42 8
6
OPERZIONI IN R

a c a d ad
:   
b d b c bc
con
b, c, d  0
2 4
2 15
3
 :   
5 15
5 4
2
4
NB :  IMP
0
0
 IND
0
0
0
4
7
OPERZIONI IN R
NUMERI IRRAZIONALI
Sono numeri che non si possono
esprimere mediante frazioni.
Si chiamano irrazionali i numeri che si
possono
rappresentare
in
forma
decimale con una parte decimale
contenente un numero infinito di cifre 
0, senza alcuna periodicità.
Alcuni esempi:
- 0,01001100011100001111…….
-
3
6
3,  5, 4,  7,.....
8
OPERZIONI IN R
-  = 3,1415926535897932384626…
- e= 2,718281828452….. (numero di
Eulero)
Il ricorso ai numeri irrazionali rende
possibile, oltre a tutte le operazioni
aritmetiche (eccetto, come sappiamo, la
divisione per zero, che non è mai
possibile), anche l'estrazione di radice
(non sempre possibile nel campo dei
numeri razionali).
9
OPERZIONI IN R
NUMERI REALI
La totalità dei razionali e degli
irrazionali costituisce l’insieme R dei
numeri reali.
N Z Q R
DECIMALI FINITI
(FRAZ. DECIMALE)
RAZIONALI
DECIMALI ILLIMITATI
PERIODICI SEMPLICI E
MISTI (FRAZ. NON
DECIMALE)
REALI
IRRAZIONALI
DECIMALI
ILLIMITATI NON
PERIODICI
(NON ESISTE UNA
FRAZIONE
GENERATRICE)
10
OPERZIONI IN R
PROPRIETA’ DELLE OPERAZIONI
 la proprietà associativa, secondo la
quale in presenza di più operazioni
consecutive dello stesso tipo si può
raggruppare come si crede (le
precedenze potendo essere specificate
per mezzo di parentesi):
(x + y) + z = x + (y + z)
(xy)z = x(yz)
 la proprietà commutativa, secondo la
quale non importa l'ordine in cui si
considerano gli operandi:
x+y=y+x
xy = yx
11
OPERZIONI IN R
Queste proprietà non valgono per la
sottrazione e per la divisione.
In particolare, ad una scrittura del tipo:
534 ,
sostanzialmente ambigua, si attribuisce
solitamente il significato di somma di
numeri relativi,
5 + (3) + (4) = 2
12
OPERZIONI IN R
In un’espressione complessa, in cui
figurino più segni di operazione
aritmetica e di elevamento a potenza,
si eseguono, nell’ordine,



le potenze
le moltiplicazioni e le divisioni
le addizioni e le sottrazioni
L’ordine può essere alterato usando
le parentesi: in tal caso si eseguono
per prime le operazioni entro
parentesi.
Si faccia attenzione: i calcolatori
tascabili non rispettano automaticamente le precedenze.
13
OPERZIONI IN R
Esempi.
4
3 4/ 2  3  3 2  5
2
è diverso da
3 4 7
(3  4) / 2 

2
2
5  42  5 16  80
è diverso da
2
2
(5  4)  20  400
14
OPERZIONI IN R
2
 5  5  5  25
è diverso da
2
(5)  (5)  (5)  25
2
a b
è diverso da
2
2
2
(a  b)  a  2ab  b
15
OPERZIONI IN R
Semplificazione di una frazione.
Dopo avere espresso sia il
numeratore sia il denominatore sotto
forma di prodotto di due o più fattori,
possono essere eliminati fattori
presenti sia al numeratore sia al
denominatore.
16
OPERZIONI IN R
Esempi:
ab a b b


ac a c c
ab  ac
a (b  c) a (b  c) b  c



a 2  a a (a  1) a (a  1) a  1
ab  d a b  d b  d


ac
a c
c
errato, perché il numeratore non è
espresso come prodotto di fattori.
17
OPERZIONI IN R
Una frazione a/b è

nulla
quando e solo quando il suo
numeratore è 0:
a/b = 0 quando e solo quando a =
0

positiva
quando e solo quando numeratore e
denominatore hanno lo stesso segno

negativa
quando e solo quando numeratore e
denominatore hanno segni opposti
18
OPERZIONI IN R
Il prodotto di due numeri ab è

nullo
quando e solo quando almeno uno
dei due fattori è 0:
ab = 0 quando e solo quando
a = 0 oppure b = 0
Esempi:
x  ( y  1)  0
se x  0 o y  1
( x  2)  ( x  1)  0
se x  1 o x  2
19
OPERZIONI IN R

positivo
quando e solo quando i fattori hanno
lo stesso segno

negativo
quando e solo quando i fattori hanno
segni opposti.
20
OPERZIONI IN R
La somma di numeri positivi è
sempre positiva.
La somma di numeri negativi è
sempre negativa.
Il prodotto di numeri positivi è
sempre positivo.
Il prodotto di numeri negativi è:
 positivo, se il numero di fattori
è pari,
 negativo, se il numero di fattori
è dispari.
La differenza di numeri dello stesso
segno non ha segno definito una
volta per tutte.
21
OPERZIONI IN R

 ab  (a )b  a(b)
a parole: il segno − davanti a un
prodotto può essere attribuito
indifferentemente a uno qualunque
dei fattori.

a a a
 

b b b
a parole: il segno − davanti a una
frazione può essere attribuito
indifferentemente al numeratore o al
denominatore, ma non a entrambi:
a a
 
b b
errato.
22
IL SIMBOLO DI

OPERZIONI IN R
Per indicare la somma di n numeri,
denotati con r1, r2, …, rn, si può usare il
simbolo stenografico
n
r
k 1
k
(somma per k da 1 a n di rk);
la lettera k , detta indice di somma, può
essere sostituita da qualunque altra
lettera senza alterare il senso.
23
OPERZIONI IN R
Esempio:
La somma dei reciproci dei primi n
numeri naturali:
1 1
1
1    ..... 
2 3
n
può essere rappresentata sinteticamente
con il simbolo
n
1

k 1 k
n
1 n 1
ma anche   
j 1 j
i 1 i
Per indicare il prodotto dei primi
numeri naturali si usa il simbolo
(n fattoriale):
n
n!
n! = 12n
24
OPERZIONI IN R
POTENZE
Indicando con n un numero naturale
maggiore o uguale a 2 e con a un
numero reale arbitrario, con il simbolo
an (a elevato a n) si denota il prodotto
di n fattori uguali ad a :
a  a  a  a  ......  a
n
n
;
a è la base, n è l'esponente della
potenza an.
Si pone poi
a1 = a e a0 = 1 qualunque sia a  0
25
OPERZIONI IN R
Se n è un naturale arbitrario, con il
simbolo an si indica il reciproco del
n
numero a :
n
a
n
1
1
   n
a
a
con a  0
Alcuni esempi:
2 1
1


32    
;
3
32
2
 
3
3
3
3
  ;
2
Non definiti: 00
2
 1
2



2
4




 2
3
1
1


3
 5       
125
 5
0n con n  N
26
OPERZIONI IN R
PROPRIETÀ DELLE POTENZE
Prodotto di potenze con la stessa base
a p  a q  a pq
2 2  2
3
5
8
3
4( 3)
; 3 3  3
4
3
Quoziente di potenze con la stessa
base
ap
p q

a
q
a
7
con a  0
5
2
3
3
5( 3)
8

2
;

3

3
24
33
27
OPERZIONI IN R
Potenza di potenza
a

p q
 2 
 
 5 
 a pq
3 2
  2 6
  
  5 
Prodotto di potenze con lo stesso
esponente
a  b  a  b
p
p
p
5  3   5  3  152
2
2
2
28
OPERZIONI IN R
Quoziente di potenze con lo stesso
esponente
a
a
 
p
b
b
p
p
3
18
 18 
3
    3  27
3
6
 6 
3
29
OPERZIONI IN R
Per potenze con base positiva valgono
anche le proprietà seguenti:
 se a < b allora
ap < bp e viceversa, qualora sia p> 0
2 3
7
7
ap > bp e viceversa, qualora sia p < 0 ,
7
7
2 3
30
OPERZIONI IN R
 se p < q allora
ap < aq e viceversa, qualora sia a > 1
2 2
3
4
ap > aq e viceversa, qualora sia a < 1
3
1
1
   
2
2
4
31
OPERZIONI IN R
RADICE ARITMETICA N-ESIMA
Dato un numero naturale n diverso da 0
e un numero reale a, positivo o nullo, la
radice aritmetica n-esima di a è quel
numero reale b, positivo o nullo, la cui
potenza con esponente n è uguale ad a.
n
a bb a
n
a è detto radicando della radice di
indice n
32
OPERZIONI IN R
Proprietà:

n
a 0
 a  a
n


n
n
0 0
Esempio
36  6 (Radice aritmetica)
33
OPERZIONI IN R
Si può ulteriormente estendere la
nozione di potenza, considerando
esponenti razionali, a partire dalla
nozione di radice.
Se a>0, a R, n N
1
n
a 
n
a
Questa relazione è valida anche per a=0
1
n
0  00
n
34
OPERZIONI IN R
Si può definire la potenza ad esponente
razionale positivo di un numero reale
non negativo come:
m
n
a   a  a
n
m
n
m
a0
Si può definire la potenza a esponente
razionale negativo in questo modo:
a
m

n
m
n
m
1
1
1


  n    n m
a
a
a
dove a > 0
35
OPERZIONI IN R
Esempi
4
3
2  2
3
1
5
4
 2
  
 3
1

3
5
2
3
1
3
1
 1 3  1
3       3
3
 3
 3
36
OPERZIONI IN R
Per le potenze a esponente razionale
valgono le stesse proprietà viste per le
potenze a esponente intero
Esempi
1
2
1
2
1
2
5  7  5  7   5  7   35
1
2
1
2
1
2
20  5  20  5   20  5  
 100  10
1
3
1
2
4 : 3 4  4 :4  4
1
6
4 2
2
1
6
1
3
1 1

2 3

2  2
3
37
OPERZIONI IN R
DISUGUAGLIANZE
I numeri reali sono ordinati, cioè, dati
due numeri qualsiasi, x e y, risulta
sempre verificata una (e una sola) delle
situazioni seguenti:
 x è uguale a y
(x = y);
 x è minore di y (x < y);
 y è minore di x (y < x).
Il simbolo x  y (x minore o uguale
a y) si usa per indicare che x è
minore di y oppure che x è uguale
a y.
38
OPERZIONI IN R
 x < x disuguaglianza mai verificata
5 < 5 FALSO
x  x disuguaglianza sempre verificata
(come uguaglianza) qualunque sia x .
5 ≤ 5 VERO
perché 5=5
Valgono considerazioni analoghe per il
simbolo .
 x<y<z significa
che
x<y e y<z.
5< x <10 sono tutti i numeri compresi
fra 5 e 10
39
OPERZIONI IN R
Tra le principali proprietà delle
disuguaglianze ricordiamo le seguenti:
 se x < y allora
x + z < y + z e viceversa
5 < 6 allora 5+2 < 6+2 da cui 7<8
VERA
 se x < y allora
x·z < y·z e viceversa, qualora sia z > 0,
5 < 6 allora
VERA
x·z > y·z
5·2<6·2 da cui 10<12
e viceversa, qualora sia z < 0
5<6 allora 5·(-2)<6·(-2) da cui -10>-12
VERA
40
OPERZIONI IN R
Proprietà del tutto analoghe valgono
per gli altri segni di disuguaglianza ( >,
 .
Nota
Se a e b sono due numeri reali,
con a < b , esistono sempre infiniti
numeri reali compresi fra essi: per
esempio, il loro medio aritmetico, m, i
due medi aritmetici di ciascuna delle
due coppie (a, m), (m, b), e così via.
41
OPERZIONI IN R
ESERCIZI
NUMERICO
SUL
CALCOLO
Vero o Falso:
2
2 2 4
1) 3 :3  3  3
2
4
2)  2  3    2  3
5
5
5
3) 165 :25  85
2
 3
 3
4)       
 5
 5
4
2
 3
 8
5)       
 8
 3
4
4
4
3
8
 
6)     4
3
 8
42
7)  2
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)

3 : 3 
3 4
 20  1
2 3
5
OPERZIONI IN R
1

3
6 3 9
1
2
1
2  2
2
44
44
 3
 3
43
OPERZIONI IN R
Risolvere le seguenti espressioni:
1)  1   70  36  25     16  5  30  
  2    14  6     2 
 
1 
6   41  49 
2) 7   3   :  4    :   : 7  
5 
5  7  9

 
 1 6 6  5  11
   :  :  
 3 8 4  6  6
44
OPERZIONI IN R
Applicando
opportunamente
le
proprietà delle potenze, calcolare il
valore delle seguenti espressioni:
8

a)
5
2 :4
3
5
8 16
4
Ris: 213
2

b) 2  3 : 18 : 3
6
6
4
4

Ris: 62

c) [1  2   1  4  ]:[ 6 : 6
3
3
8
4
:3
4
 1]
2
Ris: 15
45
OPERZIONI IN R
SOLUZIONI
Vero o Falso:
2) F  25  35   64  243 
1) F 32 2 4
 307
2
 3
 5
4) F       
 5
 3
6) V
3) V
5) V
7)
F 2
9) F
11) V
13) V

3 4
.20  212
8) V
1
2
10) F 2  2
12) V
14) F
46
2
OPERZIONI IN R
1)  1   70  36  25     16  5  30    2    14  6     2 
  1  9  19   2    8     2  
  8  19  16   2  
  8  3   2   48
 
1 
6   41  49   1 6 6  5  11
2) 7   3   :  4    :   : 7     :  :   
5 
5  7  9
  3 8 4  6  6
 
  16   14   41  49 1   1 6 4  5  11
  7    :    :          :   
  5   5   7  9 7   3 8 6  6  6
  16   5   41  7   1 1  5  11
  7        :        :   
  5   14   7  9   3 2  6  6
  8   41  7   5 5  11
 7     :      :   
  7  7  9   6 6  6
11
 41  41  7 
   :    1 
6
 7  7 9
11 18  14  18  33
11
7
 1   1 

6
18
18
9
47
a)
5
3
4
8

2
:
4
 

15
3
8
2

2
:
2


8 16
2 2
188
2
10 23
13
 23  2
2
2
5
2
15
8
OPERZIONI IN R

b) 2  3 : 18 : 3  
6
6
4
 6 : 6
6
4
4
6
6 4
6
2
c) [1  2   1  4  ]:[ 6 : 6  : 3  1]
3
3
8
4
4
2
2
 3  5  : 6 : 3  1 
3
3
4
4
 15  :  2  1  15  : 15 
 15
3
4
2
3
2
48