Lezione-06

ARCHITETTURA DEI SISTEMI
ELETTRONICI
LEZIONE N° 6
• Algebra Booleana
• Algebra delle commutazioni
• Funzione AND, OR, NOT
A.S.E.
6.1
Algebra della Logica
• Gerge Boole
• Matematico inglese
(1815 – 1864)
• “Investigation of the Laws of Thought” (1854)
– Studio delle leggi del pensiero
•
•
•
•
•
Algebra della Logica, Algebra di Boole, Algebra Booleana
Sistematizzazione dovuta a HUNTINGTON (50 anni dopo)
Applicazione all’ingegneria: SHANNON (1938)
Sistema matematico formale che descrive funzioni logiche
Sistema matematico formale
• Insieme di elementi
• insieme di operazioni
• insieme di postulati
» TEOREMI
A.S.E.
6.2
Postulati
• Requisiti di un set di postulati
• Consistenza
– Un postulato non deve contraddire un altro
• Indipendenza
– Un postulato non deve essere conseguenza di un
altro
• Minimo numero
– Insieme indispensabile
A.S.E.
6.3
Postulati di HUNTINGTON
•
•
Esistono un insieme di elementi ”B”, almeno
due operatori binari (cioè che operano su due
elementi) (+) e (), un segno di uguaglianza (=)
che indica l’equivalenza di due espressioni e
le parentesi per indicare l’ordine delle
operazioni
ALGEBRA BOOLEANA se e solo se contiene i
seguenti postulati
A.S.E.
6.4
Postulati di HUNTINGTON (P1)
• Gli operatori (+) e () sono chiusi
a. Se x e y sono elementi di “B”, allora x +y è
un elemento di “B”. L’operazione eseguita
da (+) prende il nome di SOMMA LOGICA.
b. Se x e y sono elementi di “B”, allora x y è
un elemento di “B”. L’operazione eseguita
da () prende il nome di PRODOTTO
LOGICO.
A.S.E.
6.5
Postulati di HUNTINGTON (P2)
ELEMENTI IDENTITÀ
•
Sia x un elemento di “B”
a. Esiste in “B” un elemento “0”, chiamato
ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a (+) tale che
risulti x + 0 = x .
b. Esiste in “B” un elemento “1”, chiamato
ELEMENTO IDENTITÀ rispetto a () tale che
risulti x  1 = x .
A.S.E.
6.6
Postulati di HUNTINGTON (P3)
Proprietà COMMUTATIVA
a. Esiste la proprietà commutativa rispetto
alla somma logica: x + y = y + x
b. Esiste la proprietà commutativa rispetto al
prodotto logico:
x y = y x
A.S.E.
6.7
Postulati di HUNTINGTON (P4)
Proprietà DISTRIBUTIVA
a. La somma logica è distributiva rispetto al
prodotto: x + (y  z ) = (x + y )  (x + z )
b. Il prodotto logico è distributivo rispetto
all’addizione : x (y + z ) = (x  y ) + (x  z )
A.S.E.
6.8
Postulati di HUNTINGTON (P5)
COMPLEMENTAZIONE
• Se x è un elemento di ”B”, allora esiste un
altro elemento x , detto COMPLEMENTO di x,
che soddisfa le proprietà:
a.
x +x = 1
b.
x x = 0
• x realizza l’operazione di complemento
di x
A.S.E.
6.9
Postulati di HUNTINGTON (P*)
OSSERVAZIONE
•
Gli elementi dell’insieme “B” sono al minimo 2
A.S.E.
6.10
Riassunto
• POSTULATI
1a
Almeno due elementi distinti
Somma logica ()
1b
Prodotto logico ()
2a
x0 x
2b
x 1  x
3a
x y  yx
3b
x y  yx
4a x   y  z    x  y    x  z 
5a
x  x 1
4b
5b
A.S.E.
x   y  z   x  y   x  z 
xx  0
6.11
Osservazioni
• Alcune proprietà dell’algebra booleana sono
vere anche nell’algebra normalmente usata:
– Proprietà commutativa
– Proprietà distributiva del prodotto logico
• Altre proprietà non sono vere :
– Proprietà distributiva della somma logica
• L’operazione complemento logico esiste solo
nell’algebra booleana
• La sottrazione e la divisione non esistono
nell’algebra booleana
A.S.E.
6.12
Principio di DUALITÀ
• Da un’osservazione dei postulati precedenti si
osserva che quelli “b” si ottengono da “a”
– Scambiando i due operatori binari fra loro,
(+) con () e () con (+)
– Scambiando fra loro i due elementi identità,
1 con 0 e 0 con 1
A.S.E.
6.13
TEOREMI FONDAMENTALI
• Tecniche di dimostrazione dei teoremi
– Impiego dei postulati fondamentali
– Uso di teoremi precedentemente dimostrati
– Dimostrazione per assurdo
• (si ipotizza verificata l’ipotesi opposta a quella
desiderata e si conclude che non è possibile che
sia vera)
– Dimostrazione per induzione
• (se una ipotesi è vera per k variabili e per k+1
variabili allora è vera per qualunque n)
A.S.E.
6.14
x  x1  1
Teorema 1
(i)
• L’elementox è univocamente determinato da x.
• Dimostrazione per assurdo
• Se per un elemento x ci siano due elementi x1 e x2
che soddisfano il postulato P5, allora risulta:
x0  x
x 1  x
x y  yx
x y  yx
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x  x 1
xx  0
x  x1  1,
2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b
x  x1  0,
x  x2  1,
x  x2  0
A.S.E.
6.15
Teorema 1
x1  x1 1
• Quindi
x0  x
2a
x 1  x
x y  yx
x y  yx
2b
3a
3b
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
4a
4b
x  x 1
5a
xx  0
5b

 x1  x  x 2
(ii)

in base al P(2)(b)
per sostituzio ne
 x1  x  x1  x 2 in base al P(4)(b)
 x  x1  x1  x 2 in base al P(3)(b)
 0  x1  x 2
per sostituzio ne
 x  x 2  x1  x 2 per sostituzio ne
x  x1  1,
 x 2  x  x 2  x1 in base al P(3)(b)
x  x1  0,
 x 2  x  x1
x  x2  1,
 x 2 1
x  x2  0
 x2

A.S.E.

in base al P(4)(b)
per sostituzio ne
in base al P(2)(b)
6.16
Teorema 1
(iii)
• Quindi entrambi gli elementi che sono il
complemento di x sono uguali, ciò implica che
x è univocamente determinato da x.
• Poiché x è univocamente determinato da x,
allora il simbolo ( ) è un operatore unitario
che assegna ad un elemento x dell’insieme B
l’elemento x sempre appartenente a B.
A.S.E.
6.17
Teorema 2
• 2a
2b
x  1 1
x0  0
• Dimostrazione
x  1   x  1 1
Dimostrazione
x  0  x  0  0
 ( x  x)  x  0
 x  ( x  0)
 xx
0
2b
  x  1  ( x  x )
5a
 x  ( x 1)
4a
 xx
2b
1
x0  x
x 1  x
x y  yx
x y  yx
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x  x 1
xx  0
5a
A.S.E.
2a
5b
4b
2a
5b
6.18
2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b
Teorema 3
• 3a
3b
1 0
0 1
• Dimostrazione
Dimostrazione
• ------
------
A.S.E.
6.19
Teorema 4
(Idempotenza)
• 4a
4b
x x  x
xx  x
• Dimostrazione
x  x   x  x  1
 x  x   x  x
 x  x x
 x0
x

x0  x
x 1  x
x y  yx
x y  yx
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x  x 1
xx  0

Dimostrazione
2b
5a
4a
5b
2a
per dualità
A.S.E.
6.20
2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b
Teorema 5
(Involuzione)
x  x
Il complemento del complemento è l’elemento
stesso
Dimostrazione
………………
A.S.E.
6.21
Teorema 6
(assorbimento)
• 6a
6b
x  x  y   x
x  x y  x
• Dimostrazione
x  x  y  x 1  x  y
 x  1  y 
 x   y  1
 x 1
x
x0  x
x 1  x
x y  yx
x y  yx
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x  x 1
xx  0
Dimostrazione
2b
4b
3a
T2a
2b
per dualità
A.S.E.
6.22
2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b
Teorema 7
(semplificazione)
• 7a
7b
x0  x
x 1  x
x y  yx
x y  yx
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x  x 1
xx  0

2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b

x x  y  x y
x  x y  x  y
• Dimostrazione
Dimostrazione
• per dualità
x x  y  x x  x y
 0 x y
 x y

A.S.E.

4b
5b
2a
6.23
Teorema 8
(Legge Associativa)
• 8a
x   y  z   x  y   z  x  y  z
• 8b
x   y  z   x  y   z  x  y  z
A.S.E.
6.24
Teorema 8*
(Consenso)
xy  xz  yz  xy  xz
• 8*a
• Dimostrazione

xy  xz  yz  xy  xz  yz x  x
x0  x
x 1  x
x y  yx
x y  yx
x   y  z   x  y   x  z 
x   y  z   x  y   x  z 
x  x 1
xx  0

 xy  xz  yzx  yz x

  xy  xyz   xz  xzy
2b  5a

 xy  xz
4b
T8a
T6a
• 8*b
x  y  x  z   y  z   x  y  x  z 
A.S.E.
6.25
2a
2b
3a
3b
4a
4b
5a
5b
Teorema 9
(Teorema
• 9a
di DE MORGAN)
9b
x  y   x  y
A.S.E.
x  y   x  y
6.26
Riassunto
TEOREMI
2a
3a
4a
x 1  1
0 1
xx  x
5
 x  x
2b
3b
4b
6a x  xy  x
7a x  x y  x  y
8a x   y  z   x  y   z  x  y  z
*
8a xy  xz  yz  xy  xz
x  y   x  y
9a
x0  0
1 0
xx  x
6b
x x  y   x
7b
x x  y  xy
8b xyz   xyz  xyz
*
8b x  y  x  z  y  z   x  y  x  z
x  y   x  y
9b
A.S.E.
 
 
 
6.27
Osservazioni
1. I teoremi di destra si possono ottenere da
quelli di sinistra scambiando OR con AND e
“0” con “1”
2. Principio di dualità
3. Molti dei teoremi visti sono veri anche
nell’algebra che conosciamo
4. Particolarmente significativi sono i teoremi di
De Morgan e la proprietà distributiva
5. Molti teoremi, in particolare quelli di De
Morgan, sono veri anche per “n” variabili
A.S.E.
6.28
Esempio 1
• Semplificare la seguente espressione:
x  z   x  z  y  z 
• In base ai teoremi visti si ha:
x  z   x  z  y  z   x  z  z  y  z 
  x  0   y  z 

 x y  z
1a
Almeno due elementi distinti
Somma logica ()
1b
Prodotto logico ()
2a
x0 x
2b
x 1  x
3a
x y  yx
3b
x y  yx
4a x   y  z    x  y    x  z 
5a
x  x 1
4b
5b
x   y  z   x  y   x  z 
xx  0
2a
3a
4a
x 1  1
0 1
xx  x

P 5b
P 2a
 
5
x x
6a
x  xy  x
7a
x  xy  x  y
8a x   y  z   x  y   z  x  y  z
*
8a xy  xz  yz  xy  xz
x  y   x  y
9a
A.S.E.
P 4a
2b
3b
4b
x0  0
1 0
xx  x
6b
x x  y   x
7b
x x  y  xy
8b xyz   xyz  xyz
*
8b  x  y  x  z  y  z    x  y  x  z
x  y   x  y
9b





6.29

Esempio 1’


• Per altra via; posto:
T  xz
• si ha:
x  z   x  z  y  z  x  z   T  y  z
 T  x  T  z   y  z
 xx  xz  z x  z z  y  z
x
 x  xz  z x  z z  y  z
0
 x  0  y  z
 x y  z






1a
Almeno due elementi distinti
Somma logica ()
1b
Prodotto logico ()
2a
x0 x
2b
x 1  x
3a
x y  yx
3b
x y  yx
4a x   y  z    x  y    x  z 
5a
x  x 1
4b
5b
x   y  z   x  y   x  z 
xx  0
2a
3a
4a
x 1  1
0 1
xx  x





 


 
 
5
x x
6a
x  xy  x
7a
x  xy  x  y
8a x   y  z   x  y   z  x  y  z
*
8a xy  xz  yz  xy  xz
x  y   x  y
9a
A.S.E.
2b
3b
4b
P 4b
P 3b
x0  0
1 0
xx  x
6b
x x  y   x
7b
x x  y  xy
8b xyz   xyz  xyz
*
8b  x  y  x  z  y  z    x  y  x  z
x  y   x  y
9b





6.30

Esempio 2
• Semplificare la seguente espressione:
x y  x y  xy  yz
• In base ai teoremi visti si ha:
x y  x y  xy  yz  x y  x y  x y  xy  yz

 

 y x  x  x y  y  yz
 y  x  yz
A.S.E.
6.31
Esempio 3
• Verificare la seguente identità:
xyx  y   x y  x y
• In base al teorema di De Morgan si ha:
xy  x  y


xyx  y   x  y x  y   xx  x y  yx  y y
 0  x y  yx  0  x y  yx
A.S.E.
6.32
Esempio 4
• Trasforma in somma di prodotti la seguente
espressione:
x  y  z  x  y  z  x  y  z 
• risulta:



x  y  z  x  y   z  x  y   z  
x  y  z  x  y  x  y   x  y  z  z  z  z  
x  y  z  x  y  
x y  x y  x z  y z
A.S.E.
6.33
Algebra delle commutazioni
• Elementi
•
•
•
•
(2)
0 (logico)
Falso
Livello logico Basso
0V
• Costanti
• Variabili
1 (logico)
Vero
Livello logico Alto
5V
Possono assumere due valori
Possono assumere due valori
x0
x 1
se
se
0 1
x 1
x0
1 0
A.S.E.
6.34
Definizione di “OR”
• Operazione
– OR o SOMMA LOGICA
x y
• definizione
– l’operazione OR è definita dalla tabella
x+y
x
y
0
1
0
0
1
1
1
1
A.S.E.
x
y
x+y
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
7.35
Osservazioni
1. x y è uguale a “0” se e solo se x e y sono
uguali a “0”, altrimenti x y è uguale a “1”
2. Si può estendere a “n” variabili:
x1x2  .. xn è uguale “0” se e solo se x1,x2,..xn
sono uguali a “0”
• La funzione OR corrisponde al concetto:
perché un evento si verifica è sufficiente che
una sola condizioni sia verificata
A.S.E.
6.36
Definizione di “AND”
• Operazione
– AND o PRODOTTO LOGICO
x y
• Definizione
xy
– l’operazione AND è definita dalla tabella
xy
x
y
0
1
0
0
0
1
0
1
A.S.E.
x
0
0
y
0
1
xy
0
0
1
1
0
1
0
1
7.37
Osservazioni
1. x y è uguale a “1” se e solo se x e y sono
uguali a “1”, altrimenti x y è uguale a “0”
2. Si può estendere a “n” variabili:
x1x2 ...xn è uguale “1” se e solo se x1,x2,..xn
sono uguali a “1”
• La funzione AND corrisponde al concetto:
un evento si verifica se e solo se tutte le
condizioni sono verificate
A.S.E.
6.38
“NOT”
• Operazione
– NOT o Complemento Logico , o Negazione, o
Inversione
x
• Osservazione
– In base alla definizione iniziale si ha
x
x
0
1
1
0
A.S.E.
6.39
Conclusioni
• Algebra BOOLEANA
• Algebra delle commutazioni
• Funzione AND, OR, NOT
A.S.E.
6.40