Liceo Scientifico
Liceo Scientifico con opzione
Scienze applicate
Liceo Classico
“Federico Quercia”
Marcianise (CE)
Origini della Geometria:
Platone
Eudosso
Menecmo
Euclide
Archimede
Erone
Aree figure regolari e …. strane:
Figure regolari
Figure non regolari : utilità della formula di Erone e del teorema di Pick
Figure dal contorno non rettilineo : utilità del metodo archimedeo e
di Esaustione
Ricoprimento di figure piane: la tassellazione
Per arrivare ad uno studio filosofico della
geometria bisogna aspettare il V – IV sec a.C.
con Platone a cui si debbono notevoli contributi
circa la risoluzione dei problemi geometrici e
soprattutto nei riguardi dell’uso della logica nello
studio della geometria. Una citazione importante
di Platone è: “nessuno ignaro della geometria
entri sotto il mio tetto”.
Con Eudosso si costituisce la matematica
come scienza, a lui si deve l’importantissimo
metodo di Esaustione: questo metodo si
proponeva di riempire letteralmente
un’area con delle figure note tali che la
loro somma approssimasse l’area
cerchiata.
Colui che si occupò di come l’ellisse, l’iperbole e
la parabola si potevano ottenere mediante la
sezione di un cono con un piano è Menecmo.
Questi ha risolto il problema della duplicazione
del cubo o problema di Delo
Euclide raccoglie e sistema tutto il complesso
delle conoscenze matematiche del tempo
secondo un mirabile schema logico-deduttivo e
ha dato un grande contributo al problema delle
aree attraverso la sua teoria dell’equivalenza.
Archimede è senza dubbio uno dei più grandi matematici di
tutti i tempi. Egli affrontò i più ardui problemi rimasti fino a
quel tempo insoluti, come ad esempio quello del calcolo
delle aree e dei volumi, fino a gettare le basi del calcolo
infinitesimale. Archimede affrontò anche il problema della
rettificazione della circonferenza.
Inoltre Archimede si occupò anche dell’
AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO.
Erone è un matematico inventore greco antico,
lo ricordiamo soprattutto perché formulò le leggi
della riflessione e la formula che esprime l’area
di un triangolo in funzione dei suoi lati e del
semiperimetro.
Per calcolare l’area di figure regolari bisogna :
• Per prima cosa stabilire una unità di misura,
per esempio il cm ²
• Vedere quante volte essa entra nella
grandezza da misurare
Utilizzando questa unità di misura abbiamo considerato un rettangolo e un
quadrato, poiché sono le figure più semplici da misurare.
Per le figure più complesse, invece, abbiamo ricondotto le figure ad un
rettangolo, costruendo lati paralleli e perpendicolari.
•Per il rombo regolare, tracciando le diagonali, si formano quattro triangoli
rettangoli, i quali mettendoli insieme formeranno un rettangolo che avrà come
base la diagonale minore e per altezza la diagonale maggiore diviso 2.
•Ugualmente avviene per il rombo asimmetrico, con la differenza che la base
è la diagonale maggiore e l’altezza è la diagonale minore diviso 2.
•In modo analogo anche i trapezi vengono ricondotti ad un rettangolo.
Abbiamo poi trovato l’area dell’esagono in due modi: il primo è quello di
ricondurre ad un rettangolo; il secondo è quello di ricondurre ad un trapezio
isoscele.
Per quanto riguarda le figure non regolari abbiamo cercato di
dividerle in varie parti, tali da formare figure regolari di cui
sappiamo calcolare l’area. Infine per calcolare l’area delle figure
irregolari bisogna sommare le aree precedentemente ricavate:
At = A1 + A2 + A3 + A4
A4
A2
A3
A1
Il teorema di Pick è un teorema di geometria che
permette di calcolare l’area di un poligono semplice
i cui vertici stanno su un piano a coordinate intere
Detti :
• i il numero di punti a coordinate intere interni al
poligono;
• p il numero di punti a coordinate intere sul perimetro
del poligono ( vertici compresi)
Quindi l’area del poligono può essere calcolata tramite
la formula
A = i + p/2 - 1
Per quanto riguarda le figure curvilinee abbiamo utilizzato la carta millimetrata
e i suoi quadratini come unità di misura. Preso un quadratino come unità di
misura, abbiamo contato il numero dei quadratini contenuti e che
contenevano la figura. Dopo una serie di tentativi abbiamo osservato che la
differenza tra le due aree trovate diminuiva al diminuire delle dimensioni del
campione utilizzato.
U1 =
U2 =
U3 =
IL METODO DI ESAUSTIONE APPLICATO AL CALCOLO DELL’AREA DEL
SEGMENTO PARABOLICO
Definizione
Dati in un piano una parabola γ e una retta r che interseca γ in due punti distinti A
e B, la parte finita di piano delimitata dall'arco AB di γ e
dal segmento AB di r è detta segmento parabolico.
In particolare, se la retta r è perpendicolare all'asse della parabola γ,
il segmento parabolico si dice retto.
Approssimazione dell'area
Per valutare l'area di un segmento parabolico retto si può operare nel seguente modo.
Si sceglie un sistema di riferimento con origine nel vertice di γ e asse delle ordinate coincidente con l'asse della parabola orientato dal vertice
al fuoco. In tale sistema l'equazione di γ risulta
Detta B' la proiezione del punto B sull'asse delle ascisse e l la distanza OB', si suddivide OB' in n segmenti di ugual misura.
Le ascisse degli estremi destri di questi segmenti risulteranno
Si costruiscono quindi i rettangoli aventi come base ognuno di questi segmenti e come altezza l'ordinata corrispondente al loro estremo destro
calcolata sulla parabola.
Il rettangolo di ordine i ha area
La somma R delle aree di tutti i rettangoli risulta
La differenza tra R e l'area S della figura delimitata dai segmenti OB' e B'B e dall'arco OB di γ risulta sempre positiva, ma diventa tanto minore
quanto maggiore si prende il numero n di segmenti di OB'. Si esprime questa situazione dicendo che S è il limite di R per n che tende
all'infinito e si può scrivere
Calcolando il valore della sommatoria, si ottiene quindi
l'area S.
La somma dei quadrati
Per calcolare la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali è utile costruire la
seguente tabella.
Σ i2
i2
i
6 Σ i2
6 Σ i2
1
1
1
6
1·2·3
2
4
5
30
2·3·5
3
9
14
84
3·4·7
4
16
30
180
4·5·9
5
25
55
330
5 · 6 · 11
Per induzione, si può concludere che
TEOREMA DI ARCHIMEDE
Utilizzando il risultato ottenuto, riprendendo l'espressione di R, si ha
Per n infinitamente grandi, le frazioni di denominatore n si annullano e quindi
cioè l'area S è uguale a un terzo dell'area del rettangolo di base OB' e altezza
B'B. Conseguentemente l'area della rimanente parte del rettangolo è due terzi
dell'area dello stesso.
Per la simmetria della figura si può quindi concludere che l'area del segmento
parabolico retto è due terzi dell'area del rettangolo circoscritto. Questa
proprietà, dimostrata da Archimede di Siracusa, è nota come teorema di
Archimede.
•
•
•
Osservando il pavimento sotto i vostri piedi, noterete che la sua
superficie è interamente ricoperta da piastrelle identiche,
probabilmente, di forma quadrata.
Le piastrelle sono disposte in maniera ordinata sul piano in modo tale
da ricoprirne l’intera superficie senza sovrapporsi e senza lasciare
“spazi vuoti”.
Definiamo “tassellazione regolare” un qualunque ricoprimento del
piano ottenuto con poligoni regolari che, a due a due, hanno in comune
un lato.
Le uniche tassellazioni regolari sono quelle già
individuate (ossia quelle ottenute con
quadrati, triangoli equilateri, esagoni regolari).
Proviamo quanto detto considerando,
inizialmente, per fissare le idee, una
tassellazione esagonale:
L’angolo giro di vertice D, evidenziato
in figura, è interamente “ricoperto” dagli
angoli interni (di vertice D) dei tre esagoni
in azzurro, blu e bianco.
Gli angoli interni di un esagono regolare
(n=6), hanno un’ampiezza di 120°, per cui sono
necessari k=3 esagoni per ricoprire l’intero
angolo giro. (360°/120° = 3)
Ripetiamo questo ragionamento in generale:
gli angoli interni di un poligono regolare
di “n” lati hanno un’ampiezza ° pari a:
° = 180° (n–2)/n .
Volendo ricoprire l’intero angolo giro,
occorrono “k” (numero intero!) poligoni,
in modo che:
k° = 360°
cioè:
k 180° (n–2)/n = 360°.
Risolvendo rispetto a k , otteniamo:
k = 2n/(n–2).
Se:
n=3
(triangolo equilatero)
n=4
allora
k = 6
(6x60° = 360°)
(quadrato)
k = 4
(4x90° = 360°)
n=5
(pentagono regolare)
k = 10/3
n=6
(esagono regolare)
k = 3
n>6
(polig.regolare con più di 6 lati)
2 < k < 3
(*)
(3x120°=360°)
(*)
(*)
Per n=5 o per n>6 si nota che k non è intero: deduciamo che
risulta impossibile tassellare il piano con pentagoni regolari o poligoni
regolari con più di sei lati.
M.C. Escher È conosciuto principalmente per le
sue incisioni su legno, litografie e mezzetinte che
tendono a presentare costruzioni impossibili,
esplorazioni dell’infinito, tassellature del piano e
dello spazio e motivi a geometrie interconnesse
che cambiano gradualmente in forme via via
differenti
