La radiazione di corpo nero

La radiazione di corpo nero
ovvero:
l’ingresso nel mondo quantistico
breve storia dello
sviluppo del modello
teorico
energia, intensità,
irraggiamento, radianza …
H (TR )
RC (TC )
Potere emissivo R e coefficiente
di assorbimento 
 C (TC ) H (TC )  RC (TC ), TC  TR
C
 C (TC ) H (TR )
equilibrio termico
Q
  C (TC ) H (TR )  RC (TC )
A
flusso termico
Indipendenza dal materiale: corpo nero (ideale)
 B  1,  B (TB )H (TR )  H (TR )  RB (TR )
RC (T ) /  C (T )  RB (T )
  C (TC )[ RB (TR )  RB (TC )]
A
  C (TC ) H (TR )  RC (TC )   C (TC ) RB (TR )   C (TC ) RB (TC )
Q
(Kirchoff)
flusso termico per irraggiamento
RB (T ) ?
il corpo nero
indipendenza dal materiale
del potere emissivo ed assorbente.
radianza per unità di frequenza.
densità di energia/radianza:
leggi di Wien e di Stefan-Boltzmann.
c
c
RB (T )  u (T )   u ( , T )d
4
4
u ( , T )   3 f  / T 
RB (T )  H (T )  T 4
Q
  C (TC ) [TR4  TC4 ]
A
radianza del corpo nero e pressione
di radiazione
pressione di radiazione:
forza media per unità di area esercitata
dal campo con densità u

dW
dW
 u  cdt  cos 
4
quantità di moto (densità u/c) trasferita
nell’urto speculare (per unità di area e tempo)
2
H
dW u
  cdt  cos   cos 
4 c
quantità di moto totale trasferita nell’urto speculare
2
 /2
dW u
udt
qdm / area   2 
  cdt  cos   cos  
d  cos 2  sin d  udt / 3

4 c
2 0
0
qdm / area  F  dt / area  prad  dt
prad  u / 3
radianza del corpo nero e
termodinamica classica
Q  dW  prad dV  TdS
W  u (T )V , dW  u (T )dV  V
du
dT
dT
4
du
TdS  u (T )dV  V
dT
3
dT
S 1 4

u,
V T 3
1
2S
 2
TV
T
du 4
 u (T )
dT T
S V du

T T dT
4
1 4 du 1 du
u

3
T 3 dT T dT
u(T )  T , H (T )  T
4
4
legge di Wien  Stefan-Boltzmann
e legge dello spostamento
legge di Wien dallo studio dell’effetto Doppler sulla radiazione incidente
alle pareti
H (T )   H ( )d   3 f  / T  d  T 4  x 3 f x  dx  T 4
v
 v  d
H  ( )d  H ( )d   3 f  d   4 f  

T 
T  v
4
4  c  d
c
1
c


 c 
4
 f 

H  ( )   f 
 5 f


 T  

T



T




dH  ( ) c 4 
 c  c df (c / T ) 
0
 6  5 f 


d
 
d
 T  T

d d

v

xf ' ( x)  5 f ( x)  0
soluzione (se esiste) in x=x0=c/T, ovvero T=cost=cW.
  5.67 10 W/m K , cW  2898m K
8
2
-4
quale funzione f (v/T) ?
Modello “storico” di Planck per il corpo irraggiante:
OSCILLATORE ARMONICO (carico)
Potenza emessa
Potenza assorbita
dal campo di
radiazione uv
2e 2 2
P 
 E
3
3mc
W 
e 2
3m
all’equilibrio:
u ( )
W  E
8 2
2 2
u ( )  3 E , H ( )  2 E
c
c
per calcolare la densità di radiazione bisogna conoscere
l’energia media degli oscillatori
quale energia media per gli
oscillatori?
equipartizione classica dell’energia: kBT
per grado quadratico di libertà
nell’hamiltoniano:
E  k BT
calcolo statistico classico secondo Maxwell-Boltzmann:
energia e con probabilità exp(e /kBT ) all’equilibrio termico

 e exp  e / k T de
B
E 
0

 exp  e / k T de
B
0

d
1



ln  exp  e de 
 k BT
d

0
legge di Rayleigh-Jeans
8 2
u   
k BT ,
3
c
lim H    
 
2 2
H    R   
k BT
2
c
H 
 H  d
che catastrofe (ultravioletta) !

la proposta di Planck
gli oscillatori possono scambiare solamente quantità di energia multiple intere
di un “grano” e0:
e= 0, e0, 2e0, 3e0, … , ne0, …
La probabilità di eccitazione di un modo di frequenza elevata tende a zero!
nuovo calcolo dell’energia media degli oscillatori in termini non più di
integrali ma di somme discrete:
ne exp  ne  
d



ln 
d
 exp  ne  

E
n 0

0
n 0
0
exp  ne 0   
n 0

0
e0
2v 2
H  , T   2
  3 f  / T 
c exp e 0 / k BT   1
e0
exp e 0    1
se e 0   o e 0  h
2hv 3
1
R  , T  
c 2 exp h / k BT   1
la curva di Planck
(e le sue approssimazioni)
2hv 3
2h 2c 2
h / k BT  1 Rv v  
k BT ; R    4
2
c
 k BT
Rayleigh-Jeans
2hv 3 hv / k BT
2hc hc / k BT Wien


h / k BT  1 Rv v  
e
;
R


e

c2
3
R(T )   R  d 
2h
 3d
 2  h / k B T

c
e
1

2k B4T 4 x 3 dx
 2 3  x

c h 0 e 1
 2 5 k B4  4
T  T 4
 
2 3 
 15c h 
i problemi del modello
Inadeguatezza (a posteriori) del modello di Planck: è semi-classico e
non tratta correttamente gli oscillatori armonici ed gli scambi
associati di energia con la radiazione della cavità.
La radiazione in equilibrio termico va descritta in termini di un “gas”
di fotoni secondo la statistica bosonica (Bose-Einstein) per particelle
indistinguibili di spin intero e puramente quantistiche.
densità di energia e radianza a partire da:
energia della particella x densità degli stati x probabilità di
occupazione
Il tutto rispettoso del principio di indeterminazione di Heisenberg
il modello di Einstein
 2 g (v ) 
u    hv  
  f BE (v)

 V 
energia dell’oscillatore
probabilità di occupazione
densità degli stati di energia
(inclusi i due modi di polarizzazione)
la densità quantistica dei livelli
Si risolve il problema dello spettro di energia in una buca
tridimensionale a pareti infinite di potenziale con l’equazione di
Schroedinger:
E  E ( nx , n y , nz ) 
 2 2
 2 2
2
(
n

n

n
)

n
2mL2
2mL2
2
x
2
y
2
z
Numero di livelli e loro densità in funzione dell’energia:
N (E) 
1 4 3 4V
3/ 2
n  3 2mE 
8 3
3h
g (E) 
1/ 2
dN 2V
 3 8m3 E
dE
h

In termini di quantità di moto e di frequenza di De Broglie:
g ( p)  g ( E )
dE 4V 2
 3 p
dp
h
g ( )  g ( p)
dp 4V 2
 3 
dv
c

la probabilità di occupazione
numero di modi possibili di occupare livelli energetici (degeneri) Ei da
parte di un numero non fisso di particelle identiche ed indistinguibili:
W 
i
ni  g i  1!
ni ! g i  1!
Partizionamento in gruppi di ni particelle nei
livelli con degenerazione gi
Si massimizza W per trovare la partizione più probabile
ni 
gi
e   Ei  1
I parametri  e  sono legati ai dettagli della
distribuzione. In particolare =0 per il gas di
fotoni e =1/kBT.
Nel limite di densità elevata di livelli si passa al limite continuo e si ottiene
la distribuzione di probabilità di Bose-Einstein:
dn 
g ( E )dE
 g ( E )dE f BE ( E ),
E / k BT
e
1
f BE ( E ) 
1
e E / k BT  1
(ancora) la legge di Planck
 2 g (v ) 
u    hv  
  f BE (v) 

 V 
8 v 2
1
 hv  3  hv / k BT

c
e
1
8 hv 3
1

c 3 e hv / k BT  1
R   
c
u   
4
2 hv 3
1

c 2 e hv / k BT  1
Riferimenti Bibliografici





Born – Fisica Atomica
Alonso, Finn – Fundamental University Physics,Vol.3
Zemanski – Termodinamica
Matthews – Introduzione alla meccanica quantistica
Materiale selezionato da Hyperphysics
(http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/HFrame.html)