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Lezione XV
Programma lezione XV
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L’origine della meccanica quantistica:
• Planck e il corpo nero
• De Broglie e le onde di materia
Intensità e pressione di radiazione di un fascio
di fotoni
L’interazione onde e.m. e materia: assorbimento
ed emissione
Lezione XV
Radiazione e materia
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Lezione XV
Radiazione e materia
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Lezione XV
Il corpo nero
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A fine ‘800 si affronta teoricamente e sperimentalmente il problema del
corpo nero, una cavità che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica
(e.m.) incidente. Si è interessati alla dipendenza dalla temperatura della
densità di energia per intervallo unitario di frequenza T() in una
cavità cubica di volume V=a3 in cui la radiazione e.m. entra da un
piccolo foro restando intrappolata.
Richiedendo che le pareti siano punti
nodali per la onde stazionarie (=modi)
di frequenza =c/, in una dimensione
si ha =nc/2a con n= intero; in tre
dimensioni la densità dei modi di cavità
per intervallo di frequenza N() cresce
con il quadrato della frequenza.
8V 2
N   
c3
Lezione XV
Il corpo nero
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Il principio di equipartizione dell’energia assegna una energia kT a
ogni modo di vibrazione sia elettrico sia magnetico; moltiplicando la
densità spettrale N() dei modi per l’energia media kT di un modo
e.m. e dividendo per V si ottiene l’equazione di Rayleigh-Jeans per la
densità spettrale della densità d’energia T()
8 2 kT
T   
c3
La densità di energia diventa
infinita ad alte frequenze
(“catastrofe ultravioletta”)
in contrasto con gli
andamenti sperimentali.
Lezione XV
L’ipotesi di Planck
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Planck intuì che il problema nasceva dall’applicazione del principio di
equipartizione secondo il quale la probabilità P(E) che un modo abbia
energia E e la sua energia media <E> sono
 E 
PE   exp  
, E 
 kT 

0 EPE dE  kT  1




P
E
dE
0
Planck postulò che l’energia elettromagnetica potesse assumere solo i
valori discreti E=nh e sostituì gli integrali precedenti con somme che si
eseguono usando il risultato relativo alla serie geometrica

E   
 nh exp  nh 
n 0

 exp  nh 
n 0



 

  exp  nh 
h
 n 0
  h exp  h  
1
1  exp  h  exp h   1
1  exp  h 
Lezione XV
La distribuzione di Planck
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La distribuzione spettrale della radiazione del corpo nero si ha
sostituendo la funzione di Planck al valore kT nella Rayleigh-Jeans;
l’accordo con il dato sperimentale si ha per h=6.57(1034)J s
8h 3
T   
 h  
3
c  exp 
  1
 kT  

massimo per hmax~5kT con
max(Hz)~1014T(K)
L’energia totale è data dalla
legge di Stefan-Boltzmann

64 5 k 4 4
4
E   T  d 
T


T
3 3
15
c
h
0
con   5.6 10
8
W
costante di Stefan  Boltzmann
2 4
m K
Lezione XV
La quantizzazione dell’atomo
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Al quanto di radiazione elettromagnetica (fotone) si associa l’energia
h=mc2 (m= massa relativistica) e una quantità di moto p inversamente
proporzionale a 
h h
E  h  pc  p 

c

De Broglie (1924) applica questa formula per assegnare una
lunghezza d’onda all’elettrone con quantità di moto p=mev; interpreta
così le regole atomiche di quantizzazione in termini delle possibili
onde stazionarie dell’elettrone sulle sue orbite di Bohr
h
h
2r  n  n
me vr = n
 n
me v
2
Lezione XV
La quantizzazione dell’atomo
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Modello “classico” dell’atomo di H
me v 2
me v 2
e2
1 e2
Energia cin  pot. 



2
4 0 r
2 4 0 r
2
2 2
2 2
4

n

e2
n

2
0
 me v 
 r ( n) 
2
4 0 r (n)
m e r ( n)
me e 2
me e 4 1
1
e2
Etot (n)  
 2 2 2
2 4 0 r (n)
8 0 h n
Lezione XV
Assorbimento ed emissione
assorbimento
E2
h=E2E1
E1
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emissione
spontanea
h=E2E1
 1
me e 4  1
1 
1 
  2 3  2  2   RH  2  2 
 c 8 0 h c  n2 n1 
 n2 n1 
1

La costante di Rydberg
me e 4
RH  2 3  1.097(10 7 )m 1
8 0 h c
L’onda di de Broglie “spiega” i livelli energetici atomici, la
differenza tra i quali è collegata alla lunghezza d’onda delle righe
emesse/assorbite dall’atomo.
Lezione XV
Emissione stimolata
E2
h=E2E1
E1
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emissione
stimolata
h=E2E1
Un fotone può stimolare l’emissione di un quanto di luce alla
stessa frequenza e con la stessa fase da parte di un atomo con due
livelli opportunamente spaziati. Il fenomeno, predetto
originariamente da Einstein, è alla base del funzionamento dei
laser.
Lezione XV
Fotoni e intensità onda e.m.
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Lezione XV
, energia e T della radiazione e.m.
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Lezione XV
Radiazione e materia
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Gli elettroni di atomi e molecole possono occupare solo livelli
discreti di energia (stati). Un’onda elettromagnetica cambia
direttamente lo stato energetico di un elettrone legato al suo
atomo/molecola quando ha energia pari alla differenza tra stato
normalmente occupato dall’elettrone (stato fondamentale) e uno stato
eccitato a energia superiore. Tale onde può provocare una reazione
chimica quando la sua energia specifica è in grado di estrarre un
elettrone e ionizzare l’atomo/molecola. Viceversa, l’elettrone
tornando allo stato fondamentale emette una radiazione a frequenze
caratteristiche, che dipendono dalla struttura atomica/molecolare.
La radiazione ionizzante favorisce le reazioni chimiche e ha energie
specifiche tipicamente comprese tra 1 e 104 eV.
La radiazione prodotta e assorbita durante le reazioni nucleari ha
energie superiori a 4104 eV.