Elementi di Logica

Elementi di Logica, I
Le forme del ragionamento
deduttivo
Corso di Logica e Filosofia della scienza,
a.a. 2011-2012
LOGICA
Forme della razionalità (induzione/deduzione,...)
Struttura dei linguaggi (sintassi/semantica, ...)
Dimostrazione (fondamenti della matematica)
Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica)
Il principale oggetto di studio della logica è il
ragionamento deduttivo, nel quale un ruolo
centrale è svolto da nozioni come
inferenza
conseguenza
deduzione
....
“Il punto di partenza della logica formale è la
nozione tradizionale della logica, il
ragionamento: il ragionamento è un
susseguirsi o un fluire di affermazioni che si
suppone siano legate da certe relazioni, o
legami di consequenzialità, che se rispettati
danno al ragionamento il carattere di
ragionamento corretto, o argomento valido.
G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13
Consideriamo la seguente definizione.
Proposizione: espressione linguistica che
rappresenta un fatto o stato di cose e che può
ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’).
Esempi: l’espressione
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”
è una proposizione, mentre le espressioni
“C’è nessuno in casa?”, “Vietato fumare”
non sono proposizioni.
Distinzione enunciato/proposizione
Enunciato = espressione linguistica di cui ha
senso chiedersi se è vera o falsa
Proposizione = contenuto o senso di un
enunciato
«Paolo mangia la mela»
«La mela è mangiata da Paolo»
2 enunciati, 1 proposizione
Data una simile definizione, esistono alcuni
‘tipi generali’ di domande alle quali la logica si
incarica di rispondere:
• Cosa significa che una proposizione A ‘implica‘
una proposizione B?
• Ammettendo di sapere che effettivamente la
proposizione A ‘implica’ la proposizione B,
come possiamo giustificare una simile
implicazione?
Le analisi della logica a questo livello di
generalità risultano, entro certi limiti,
indipendenti dal significato delle proposizioni
coinvolte, cioè valgono in virtù della sola
“forma logica” delle proposizioni stesse e
delle relazioni che le collegano.
Nel caso di una generica implicazione
A  B,
la logica mira dunque a isolare le proprietà
che ogni implicazione di questo tipo è tenuta
a soddisfare, quali che siano i particolari
contenuti e significati impliciti nelle
proposizioni A e B.
Alle origini della logica:
Aristotele, Stoici, Leibniz, Boole, Frege
Concezione rappresentazionale del pensiero a
partire dalla filosofia moderna (Cartesio,
Locke): il pensiero e la conoscenza consistono
in una adeguata manipolazione e trattamento
di rappresentazioni.
W.G. Leibniz: importanza centrale della logica
come strumento di chiarificazione del
pensiero rappresentazionale
“se si lodano gli uomini che hanno
determinato il numero di corpi regolari, che
non ha utilità alcuna, se non in quanto è
piacevole a contemplarsi, quanto sarà più
meritorio ridurre a leggi matematiche il
ragionamento umano, che è ciò che di più
eccellente e di più utile possediamo.”
W.G. Leibniz
Logica come ‘calcolo del pensiero’
“Se dovessero sorgere controversie, le
discussioni tra due filosofi non sarebbero più
necessarie di quanto lo siano quelle tra due
contabili. Basterebbe infatti che essi
prendessero in mano le loro penne, si
mettessero ai loro tavoli, e si dicessero a
vicenda: calcoliamo.”
W.G. Leibniz
Punti fondamentali
• Si prefigura l’importanza di una nozione
rigorosa di dimostrazione.
• Si prefigura l’importanza di una nozione
rigorosa di algoritmo, una procedura
inferenziale ‘meccanica’ che prescinde dalla
comprensione del significato dei termini
coinvolti.
“Progetto del seguente trattato è quello di
indagare le leggi fondamentali di quelle
operazioni della mente tramite le quali viene
effettuato il ragionamento [...] Tali studi
destano anche interesse di altro tipo, derivato
dalla luce che essi fanno sulle facoltà
intellettive. Essi ci istruiscono sul modo in cui
il linguaggio e i numeri servono come
strumenti per i processi del ragionamento.”
G. Boole, Indagine sulle leggi del pensiero, sulle quali
sono fondate le teorie matematiche della logica e
della probabilità (1854)
• Riprodurre le operazioni logiche mediante
operazioni algebriche: progetto di
‘algebrizzazione’ della logica (definizione della
struttura nota come algebra di Boole)
• Le operazioni introdotte in tale algebra - che
rappresentano astrattamente operazioni
logiche come la congiunzione (‘E’) o la
disgiunzione non esclusiva (‘O’) rappresentano il modello formale delle porte
logiche di un circuito elettronico di un
moderno calcolatore.
Gottlob Frege, Ideografia (1879): prima
formulazione di una logica dei predicati e della
nozione logica di sistema formale (o teoria
formalizzata).

Individuazione di condizioni che qualunque
successione di simboli logici deve soddisfare
per risultare una dimostrazione.

Definizione rigorosa della nozione di
dimostrazione.
“L’ideografia deve dunque servire anzitutto a
esaminare nel modo più sicuro la connessione
di una catena deduttiva e a mettere in
evidenza ogni ipotesi che voglia
inavvertitamente insinuarvisi, affinché,
successivamente, si possa indagare sulla sua
origine. [...]
“Eliminando qualsiasi lacuna dal
concatenamento dei ragionamenti, si riesce a
porre in luce ogni assioma, ogni presupposto,
ogni ipotesi (o in qual altro modo la si voglia
chiamare) su cui riposano le dimostrazioni; e così
si raggiunge una base sicura dalla quale valutare
la natura conoscitiva delle leggi dimostrate.”
G. Frege
LOGICA PROPOSIZIONALE:
elementi di base e prime definizioni informali
Argomento (o argomentazione): insieme
strutturato di proposizioni nel quale un certo
insieme di proposizioni (dette premesse) sono
offerte come base per giustificare la
correttezza di un’altra proposizione (detta
conclusione).
Esempi:
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
Giulio non era alla festa, quindi non
può essere stato lui a rubarti la
bicicletta.
Mondo possibile: una situazione o stato di
cose alternativo a quello attuale ma
logicamente concepibile (che avrebbe cioè
potuto verificarsi senza determinare
contraddizioni logiche).
Verità logica
Una proposizione è
logicamente vera quando è vera in tutti i
mondi possibili,
logicamente falsa quando è falsa in tutti i
mondi possibili,
logicamente contingente quando non è né
logicamente vera né logicamente falsa.
Conseguenza logica
Una proposizione A è conseguenza logica di
un insieme S di proposizioni (o S implica
logicamente A) quando A è vera in tutti i
mondi possibili nei quali sono veri tutti gli
elementi di S.
Validità e correttezza di un argomento
Un argomento è valido se non esiste alcun
mondo possibile nel quale le premesse sono
vere e la conclusione è falsa (o,
equivalentemente, se la conclusione è
conseguenza logica delle premesse).
Un argomento corretto è un argomento
valido le cui premesse sono vere.
Applicazione agli esempi visti prima
L’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
è valido (perché le premesse implicano
logicamente la conclusione) ed è corretto
(perché le premesse sono vere).
L’argomento
Tutti gli ippogrifi volano
In Australia esistono gli ippogrifi
quindi
In Australia c’è almeno un animale
che vola
è valido (perché le premesse implicano
logicamente la conclusione), ma non è
corretto (perché almeno una premessa è
falsa).
Attenzione!
Una successione di proposizioni può essere un
argomento, anche se non è immediato
riconoscerla come tale.
Esempio:
C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9
feriti e solo 5 dosi di morfina.
Argomento deduttivo
Premesse
necessario
Conclusione
Argomento induttivo
Premesse
non necessario
Conclusione
Proposizioni composte e valori di verità
Nella logica enunciativa, proposizioni come
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”
esprimono fatti semplici, vale a dire non
ulteriormente analizzabili. Proposizioni di
questo tipo vengono definite atomiche.
È naturalmente possibile introdurre
proposizioni composte (o molecolari),
generate a partire da un certo numero di
proposizioni atomiche.
La proposizione
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa e Italo
Calvino era nato a Cuba”
rappresenta una proposizione composta,
generata mediante l’applicazione di una
particella (‘e’) alle singole proposizioni
atomiche
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”
“Italo Calvino era nato a Cuba”
Si definiscono connettivi quelle particelle del
linguaggio che non sono provviste in sé di
significato ma che permettono di formare
proposizioni composte a partire da
proposizioni atomiche.
Connettivi principali della logica enunciativa:
‘non’ (connettivo unario, si applica a una
singola proposizione)
‘e’, ‘o’ e ‘se...allora’ (connettivi binari, si
applicano a coppie di proposizioni).
Se ‘’ rappresenta un generico connettivo,
possiamo usare la seguente notazione:
se A, B sono due proposizioni atomiche
qualsiasi, il connettivo ‘’ è rappresentato in
forma funzionale come
: {A, B}  AB
dove ‘AB’ rappresenta la proposizione
molecolare.
Sulla base delle nozioni di proposizioni
atomiche e composte e di quella di verità, si
pone allora in modo naturale il seguente
problema:
come si comporta la verità rispetto alla
composizione di proposizioni composte a
partire da un certo numero di proposizoni
atomiche?
: {A, B}  AB
vero,falso
vero,falso
?
Proprietà fondamentale dei connettivi logici
di base (proposizionali)
I connettivi si comportano come funzioni di
verità: i valori di verità delle proposizioni
atomiche determinano univocamente il
valore di verità della proposizione composta.
: {A, B}  AB
vero,falso
vero,falso
vero,falso
I connettivi della logica proposizionale sono
verofunzionali: il valore di verità di una
generica proposizione composta P è funzione
dei valori di verità delle proposizioni atomiche
che compongono P.
Per comprendere più chiaramente la
condizione di verofunzionalità, richiamiamo la
definizione generale di funzione.
La nozione di funzione
Una funzione f: S  T è una corrispondenza
tra due insiemi S e T, tale che a uno o più
elementi di S associa uno e un solo elemento
di T.
Data la notazione f(x) = y, per x S e y T, x è
detto l’argomento della funzione e y è detto il
valore della funzione. L’insieme S è detto
dominio della funzione, mentre l’insieme T è
detto codominio della funzione.
Attenzione: la definizione appena fornita
consente il caso che S = T.
Esempio 1
Se
S = insieme dei bambini di una scuola elementare
T = insieme delle maestre della scuola
‘Maestra di’: S  T
è la funzione che assegna a ogni bambino la sua
maestra. In questo caso S (il dominio) è diverso
da T (il codominio).
Esempio 2
La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a
ogni numero naturale (positivo) n associa il
numero naturale (positivo) nn, può essere
rappresentata come
‘quadrato di’: N+  N+
In questo caso, dominio e codominio
coincidono.
Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è
definita per singoli valori, ma è possibile
definire funzioni per coppie di argomenti.
Esempio 3
La funzione ‘somma di’ è definita per coppie
di numeri: se N è l’insieme dei numeri
naturali, la funzione associa a ogni coppia di
numeri naturali n, m il numero naturale n + m.
La notazione è la seguente:
+ : {N x N}  N
+ : {n,m}  n+m
Riformuliamo allora a questo punto la
condizione di verofunzionalità: un generico
connettivo binario della logica proposizionale
può essere interpretato come una funzione
 : {‹V, V›, ‹V, F›, ‹ F, V›, ‹F, F›}  {V, F}
che a una qualsiasi coppia di valori di verità corrispondenti ai possibili valori di verità di
due proposizioni - associa uno e un solo valore
di verità - corrispondente al valore di verità
della relativa proposizione composta.
Verso un linguaggio formale per la logica
proposizionale
Scopo principale nella costruzione di un
linguaggio formale: evitare le ambiguità del
linguaggio naturale nell’indagine sulla
struttura logica degli argomenti.
Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci
occuperemo è il linguaggio della logica
proposizionale, che indicheremo con L1 e che
risulta composto dei seguenti elementi:
LINGUAGGIO L1
1.Un insieme (eventualmente infinito) di lettere
proposizionali, indicate con p, q, r, ...
2.I connettivi di congiunzione (),disgiunzione
(), implicazione (), negazione ()
3.I simboli speciali ( ) e , cioè parentesi e virgole.
Proposizione di L1
1.Le lettere proposizionali sono proposizioni di L1.
2.Se A è una proposizione di L1, allora  A è una
proposizione di L1.
3.Se A e B sono proposizioni di L1, allora
A  B,
A  B,
AB
sono proposizioni di L1.
4.Nient’altro è una proposizione di L1.
La definizione di proposizione di L1 è un
esempio di definizione ricorsiva, cioè una
definizione che caratterizza un certo insieme
mediante l’applicazione di certe operazioni a
certi elementi di base dell’insieme.
Questo tipo di definizione serve a dominare
con mezzi finiti un insieme che – di fatto – è
infinito (perché il numero di proposizioni
formulabili è in linea di principio infinito).
Esempio: definizione ricorsiva dell’insieme N dei
numeri naturali, sulla base della relazione
primitiva ‘successore’
1) 0 è un numero naturale;
2) Se n è un numero naturale, anche il
successore di n è un numero naturale;
3) Nient’altro è un numero naturale.
Queste definizioni vengono anche chiamate
induttive.
Se n è un numero naturale, anche il successore
di n è un numero naturale
n non è necessariamente uguale a 0
Se A e B sono proposizioni di L1, allora A  B,
A  B, A  B sono proposizioni di L1.
A non è necessariamente atomica
Nel caso in esame, l’insieme di elementi di base
è l’insieme (infinito) delle lettere proposizionali
di L1 e l’insieme che viene definito – l’insieme
delle proposizioni di L1 – viene caratterizzato
mediante l’applicazione dei connettivi a
elementi appartenenti all’insieme delle lettere
proposizionali.
Le lettere proposizionali p, q, r, …. funzionano di
fatto come variabili, nel senso che una qualsiasi
lettera proposizionale ‘sta per’ una qualsiasi
proposizione.
Nella definizione di proposizione di L1, i simboli
‘A’ e ‘B’ sono meta-variabili (variabili ‘di secondo
grado’): sono cioè simboli che ‘stanno per’ altri
simboli – le lettere proposizionali.
In sintesi:
Proposizione
(es.: «Mario mangia la mela»)

Lettera proposizionale p
(variabile che ‘sta per’ «Mario mangia la mela»)

Meta-variabile A
(variabile che ‘sta per’ una lettera
proposizionale come p)
Il problema delle condizioni di verità
Dopo aver introdotto L1 e definito l’insieme
delle proposizioni ammissibili in L1, possiamo
chiederci:
• quali sono le condizioni di verità di una
generica proposizione di L1?
• come possiamo valutare queste condizioni?
Possiamo rispondere a queste domande
mediante le tavole di verità.
Le tavole di verità possono essere considerati
semplici algoritmi per calcolare il valore di
verità di proposizioni di L1.
TAVOLA DI VERITÀ DI 
A

B
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
TAVOLA DI VERITÀ DI 
A

B
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
TAVOLA DI VERITÀ DI 
A
 B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI 

A
F
V
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI  (‘se e solo se’)
A
V
V
F
F

V
F
F
V
B
V
F
V
F
Carattere algoritmico delle tavole di verità
valore di A, valore di B


valore di (AB)
Proviamo ora ad applicare le tavole di verità,
risolvendo un semplice esercizio.
Prima di tutto definiamo tautologia una
proposizione che riceve valore di verità V per
qualsiasi assegnazione di valore di verità alle
sue proposizioni componenti.
Poiché un’assegnazione di valori di verità alle
proposizioni componenti equivale a un
‘mondo possibile’, una tautologia risulta
essere nient’altro che una verità logica.
Verifichiamo ora se una data proposizione è
una tautologia, calcolandone il valore di
verità.
In base alla definizione di tautologia, quella
proposizione sarà una tautologia soltanto se
riceverà sempre il valore di verità V, cioè se
avrà tale valore quale che sia il valore di verità
delle proposizioni componenti.
Sia dunque data una certa proposizione, per
esempio
(pq)(qp)
(p
V
V
F
F

V
F
V
V
q)
V
F
V
F

V
V
V
V
(
F
V
F
V
q
V
F
V
F

V
F
V
V

F
F
V
V
p)
V
V
F
F
Nella colonna del connettivo  (il connettivo
principale della proposizione) troviamo sempre
V. La proposizione data riceve cioè valore di
verità V per ogni assegnazione di valore di verità
alle proposizioni componenti, e risulta dunque
una tautologia.
Vediamo ora la proposizione (pq)(qp)
(p  q)  (q  p)
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
Sotto il connettivo principale  non troviamo
sempre il valore V per qualsiasi assegnazione di
valore di verità alle proposizioni componenti: la
proposizione data non è una tautologia.
Consideriamo il seguente argomento in lingua
naturale:
«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato
l’esame di logica. Mario ha passato l’esame di
logica, quindi Mario ha studiato.»
1) Come è possibile formalizzare questo
argomento?
2) In versione formalizzata, si tratta di un
argomento valido?
Se
Mario ha studiato
p
allora
Mario ha passato l’esame di logica
Mario ha passato l’esame di logica
quindi
Mario ha studiato
((p  q)  q)  p
q
((p
V
V
F
F

V
F
V
V
q)
V
F
V
F

V
F
V
F
q)
V
F
V
F

V
V
F
V
p
V
F
F
F
Conclusione: l’argomento non è valido, perché
esiste almeno un caso in cui le premesse sono
vere e la conclusione è falsa (la terza riga).