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PROBABILITA’
SARTORI PAOLA
E
PELLEGRINI SIMEONE
ORIGINI:
Le origini della probabilità risalgono ad Antonie Gombaud (1607-1684) che si faceva
chiamare «Cavaliere di Méré». Lui aveva la passione per il gioco d’azzardo e ,
studiando la frequenza con cui si presentavano fatti in relazione con il gioco dei dadi,
si pose un dubbio: aveva osservato che era vantaggioso scommettere a favore
dell’uscita di almeno un 6 quando il dado veniva lanciato almeno 4 volte, mentre
scommettere su almeno un doppio 6 se il dado veniva tirato 24 volte non lo era.
Quindi scrisse una lettera al grande filosofo e matematico Blaise Pascal affinché un
professionista riuscisse infine a far luce sui suoi dilemmi. Questa lettera fu la prima di
una corrispondenza mantenuta fra il giocatore di buon fiuto, il filosofo e, in seguito,
l’avvocato e appassionato di matematica Pierre Fermat.
L’ALEATORIETA’:
Quando si tira un dado, per esempio, esistono infiniti fattori che influiscono sul
fatto che il risultato della giocata sia un valore o un altro: lo spigolo di partenza
del dado, la sua velocità e il suo momento di inerzia, la frizione con l’aria… Esiste,
pertanto, una difficoltà inerente l’esperimento, che rende impossibile modellarlo
mediante i fattori che si verificano durante il suo sviluppo. Tutta questa
complessità viene racchiusa nella nozione di « aleatorietà ».
MODELLI DETERMINISTICI E
NON-DETERMINISTICI
Per modelli deterministici si intendono quei modelli nei quali essendo noti i valori
iniziali (dati) di una serie di variabili, è possibile determinare con certezza i valori
finali assunti da una o più variabili (risultati), per esempio:
La caduta di un grave; il moto di un proiettile; …
I modelli non-deterministici sono quei modelli in cui il valore delle variabili non è
determinabile a priori con certezza, per esempio:
Il lancio dei dadi; il lancio di una moneta; l’estrazione della Lotteria; …
La probabilità si occupa dei fenomeni NONDETERMINISTICI!
CHE COS’E’ LA PROBABILITA’ ??
In sostanza, la domanda che ci dobbiamo porre è:
«Come possiamo calcolare quanto sia imprevedibile il risultato di un
esperimento?»
La risposta sarà la seguente :
« REGOLA DI LAPLACE »
La probabilità di un evento è il quoziente fra il numero dei
casi favorevoli f e quello dei casi possibili u, quando essi sono
tutti ugualmente possibili.
p (E) =
p = probabilità
𝒇
𝒖
f = numero dei casi favorevoli u = numero dei casi possibili
I VALORI DELLA PROBABILITA’

Se un evento è impossibile il numero dei casi favorevoli è 0; quindi
p=
𝒇 𝟎
= =
𝒖 𝒖
0
Pertanto la probabilità di un evento impossibile è 0.

Se un evento è certo, il numero dei casi favorevoli è uguale a quello dei casi possibili; quindi
p=
𝒇 𝒖
= =
𝒖 𝒖
1
Allora la cosa più importante è che ogni probabilità è un valore numerico compreso tra 0 e 1
0 ≤ p ≤ 1.

Dato un evento E, il suo evento contrario è quell’evento che si verifica quando e solo quando
non si verifica E, e lo indichiamo con il simbolo 𝐸; quindi Per calcolare l’evento contrario basta
calcolare 1 – E.
Allora si ha:
𝒇
𝒖
p(E) + p(𝑬) = +
𝒖−𝒇
𝒖
=
𝒇+𝒖−𝒇
𝒖
=
𝒖
𝒖
=𝟏
EVENTO UNIONE
Dati gli eventi 𝐸1 ed 𝐸2 , relativi allo stesso insieme universo, il loro evento unione, che
indichiamo con 𝑬𝟏 ∪ 𝑬𝟐 , è quell’evento che si verifica al verificarsi di almeno uno dei due
eventi.
Esempio:
Prendiamo dei dischetti numerati da 1 a 12 e gli eventi:
𝐸1 = «esce un numero pari»
𝐸2 = «esce un numero maggiore di 7»
L’insieme dei casi favorevoli a 𝐸1 è A = 2,4,6,8,10,12
L’insieme dei casi favorevoli a 𝐸2 è B = 8,9,10,11,12
L’evento E = «esce un numero pari o maggiore di 7» è formato dai due eventi 𝐸1 ed 𝐸2 , uniti
dal connettivo «o». Questo evento si verifica se si verifica 𝐸1 o 𝐸2 , perciò è detto evento
unione o somma logica di 𝐸1 ed 𝐸2 .
L’evento E ha casi favorevoli sia quelli dell’insieme A sia quelli dell’insieme B. L’insieme che lo
rappresenta è quindi
A∪B = 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐
EVENTO INTERSEZIONE
Dati gli eventi 𝐸1 ed 𝐸2 , relativi allo stesso insieme universo, il loro evento intersezione, che
indichiamo con
𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 , è quell’evento che si verifica quando si verificano
contemporaneamente gli eventi dati .
Esempio:
Consideriamo ancora fra i dischetti numerati fino a 12 l’evento
𝐸1 = «esce un numero pari e maggiore di 7»
Formato dai due eventi semplici 𝐸1 ed 𝐸2 , uniti dal connettivo «e». Questo evento si verifica se
si verificano entrambi gli eventi dati, perciò è detto evento intersezione o prodotto logico di
𝐸1 ed 𝐸2 . Esso ha come casi favorevoli quelli comuni all’insieme A e all’insieme B. l’insieme che
lo rappresenta è l’insieme intersezione:
A∩B = 𝟖, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐
Esempio:
In un cassetto ci sono 16 biglie numerate da 1 a 16. estraiamo una biglia a caso e consideriamo
gli eventi:
𝐸1 = «estrazione di un numero dispari e divisibile per 3»
𝐸2 = «estrazione di un numero dispari o divisibile per 3»
Qual è l’insieme degli eventi favorevoli a 𝑬𝟏 ? E quello degli eventi favorevoli a 𝑬𝟐 ?
L’insieme universo è: U = 1,2,3, … , 14,15,16 . L’evento 𝐸1 è composto da due eventi:
𝐸1 ’= «estrazione di un numero dispari» ed 𝐸1 ’’ = «estrazione di un numero divisibile per 3».
Insieme degli eventi favorevoli a 𝐸1 ’: A = 1,3,5,7,9,11,13,15 ;
Insieme degli eventi favorevoli a 𝐸1 ’’: B = 3,6,9,12,15 .
L’insieme favorevole all’evento 𝐸1 è l’intersezione di A e B : A∩B = 𝟑, 𝟗, 𝟏𝟓 .
L’evento 𝐸2 è formato dagli stessi eventi, però legati dal connettivo «o»; quindi l’insieme degli
eventi favorevoli è l’unione di A e di B: A∪B = 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟓
EVENTI COMPATIBILI E INCOMPATIBILI

Due eventi, relativi allo stesso insieme universo, si dicono incompatibili se il
verificarsi di uno esclude il verificarsi contemporaneo dell’altro.
Esempio:
Prendiamo 2 dischetti numerati fino a 12, osserviamo che gli eventi 𝐄1 = «esce un
multiplo di 5» ed 𝑬𝟐 = «esce un multiplo di 3» sono incompatibili perché non
possono verificarsi contemporaneamente.

Due eventi, relativi allo stesso insieme universo, si dicono compatibili se il
verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro.
Esempio:
Consideriamo ora gli eventi 𝐄𝟑 = «𝐞𝐬𝐜𝐞 𝐮𝐧 𝐧𝐮𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐩𝐚𝐫𝐢» 𝒆 𝐄𝟒
=
«𝐞𝐬𝐜𝐞 𝐮𝐧 𝐧𝐮𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐦𝐚𝐠𝐠𝐢𝐨𝐫𝐞 𝐝𝐢 𝟕»
, allora questi possono verificarsi
contemporaneamente : per questo si dice che sono compatibili.
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Consideriamo un sacchetto di gettoni numerati da 1 a 12 e i due eventi:
𝑬𝟏 : «esce un multiplo di 3» e 𝐄𝟐 : «esce un numero minore di 9» .
Nell’insieme universo U = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 , il sottoinsieme dei casi favorevoli a
𝐸1 è A = 3,6,9,12 , quello dei casi favorevoli a 𝑬𝟐 è B = 1,2,3,4,5,6,7,8 .
Supponiamo che un amico estragga un numero e , senza farcelo vedere,
ci dica che esso è minore di 9, ossia che si è verificato l’evento 𝐸2 . Cosa possiamo dire ora della
probabilità che il numero estratto sia multiple di 3?
L’ evento 𝐸1 è condizionato dall’evento 𝐸2 : possiamo allora scrivere:
B=𝑼′ U
A
11
9
6
12
3
10
2
1
5
7 4
8
P(𝑬𝟏 |𝑬𝟐 )
Per calcolare la probabilità condizionata teniamo presente che :

Poiché supponiamo che l’evento 𝐸2 si sia verificato, l’insieme universo U1 per 𝐸1 |𝐸2 è dato
dai risultati favorevoli a 𝐸2 , cioè U1 = B = 1,2,3,4,5,6,7,8 ;

I casi favorevoli per 𝐸1 |𝐸2 devono essere ricercati solo all’interno del nuovo insieme
universo; quindi sono dati dall’intersezione tra i casi favorevoli per 𝐸1 ( insieme A ) e quelli
per 𝐸2 ( insieme B ) .
L’insieme F dei casi favorevoli è dato da F = A∩B = 3,6 .
Dunque p (E1 |E2 ) è data dal rapporto tra il numero di elementi di F e il numero degli elementi
di U1 :
𝟐 𝟏
p (𝑬𝟏 |𝑬𝟐 ) = =
𝟖 𝟒
𝟏
𝟏
La probabilità di 𝐸1 è , mentre quella di E1 |E2 è , quindi : p (𝐸1 ) ≠ p (E1 |E2 ) .
𝟑
𝟒

Due eventi, 𝐸1 ed 𝐸2 si dicono dipendenti se p (𝐸1 ) è diversa dalla probabilità condizionata
p (E1 |E2 ) .

Due eventi, 𝐸1 ed 𝐸2 si dicono indipendenti se p (𝐸1 ) è uguale alla probabilità condizionata
p (E1 |E2 ) .
• Il gioco del Lotto
Le origini del gioco del lotto risalgono al XVI secolo, quando a Genova venivano estratti a sorte, tra 90
candidati, i 5 Reggitori che dovevano governare la Repubblica. Poiché su questa estrazione la popolazione
effettuava scommesse, si decise di regolamentare il gioco in modo da arricchire le casse dello Stato.
Nel gioco del lotto vengono estratti cinque numeri tra i primi 90 numeri naturali. L’estrazione viene
effettuata su dieci ruote identificate con altrettanti nomi di città italiane. Per vincere è importante
indovinare i numeri e non l’ordine con cui i numeri sono estratti. Il gioco può essere effettuato puntando su
un numero singolo (ambata o estratto semplice), su due numeri (ambo), su tre (terna), su quattro
(quaterna), oppure su cinque (cinquina).
PERCHE’ LE CASSE DELLO STATO SI ARRICCHISCONO??
 Supponiamo
di puntare 1€ sull’uscita del numero 3 sulla ruota di Genova. Per
l’estratto semplice, i casi possibili sono 90 e 5 i favorevoli, per cui la probabilità che
il 3 compaia fra i 5 estratti è di 5/90, cioè 1/18. Quindi dobbiamo aspettarci di vincere
in media 1 volta su 18.
 Analizziamo
la situazione dal punto di vista finanziario, ricordando che il lotto in
questo caso paga 11,232 volte la puntata. Ecco allora la conseguenza: se giocando 18
volte 1€ sull’uscita del numero 3 a Genova vinciamo, in media, una sola volta,
spendiamo in tutto 18 euro, ma riceviamo soltanto 11,23!!
La tabella mostra in euro la vincita reale e quella che si dovrebbe avere in caso di gioco equo.
GIOCATA
VINCITA REALE ( € )
VINCITA CON GIOCO EQUO (€ )
AMBATA
11,23
18
AMBO
250
400,5
TERNA
4250
11748
QUATERNA
80000
511038
CINQUINA
1000000
43949268
• La probabilità condizionata
Un amico lancia un dado e, senza farcelo vedere, dice: « è uscito un numero minore di 5!».
Qual è la probabilità che sia uscito il 3?
SOLUZIONE:
A
B
Consideriamo i due eventi :
3
E2 : « estrazione di un numero minore di 5»
Insieme universo: U = 1,2,3,4,5,6
1
4
E1 : « estrazione del numero 3»
5
U
2
6
Insieme degli eventi favorevoli a E1 : A = 3
Insieme degli eventi favorevoli a E2 : B = 1,2,3,4
1
Dunque p (𝐸1 ) = , ma l’evento E1 è condizionato dal fatto che si è già verificato E2 ; quindi
6
dobbiamo calcolare la probabilità condizionata p (E1 |E2 ) ; l’insieme universo per E1 |E2 è
allora B, mentre quello dei casi favorevoli è A∩B = 3 .
𝟏
Perciò la probabilità cercata è p (E1 |E2 ) =
𝟒
• i giochi d’azzardo
Carla e Guido utilizzano il gioco della tombola per fare scommesse. Carla estrae un numero a
caso: se è un multiplo di 5, Guido dovrà pagare 10 euro. Affinché il gioco sia equo, quando
dovrà pagare Carla se il numero non è un multiplo di 5 ?
SOLUZIONE:
I numeri della tombola sono 90 e i multipli di 5 sono 18. la probabilità che venga estratto un
18 1
multiplo di 5 è: p =
= ;
90 5
1 4
La probabilità che accada l’ evento contrario è : 𝑞 = 1 – p = 1 - =
5 5
Indicando con 𝑆𝐶 la somma pagata da Carla e con 𝑆𝐺 la somma pagata da Guido, perché il
gioco sia equo deve valere la seguente proporzione:
𝑆𝐶 : p = 𝑆𝐺 : q
1
4
𝑆𝐶 : = 10 :
5
5
𝑆𝐶 = 2,50
Se vince Guido, Carla dovrà pagare 2,50€.
• I matrimoni nella «Terra dei Machi»
In un territorio chiamato «Terra dei Machi» ( la terra del Machismo) , quando una ragazza
voleva sposarsi doveva chiedere il permesso. Andava col ragazzo al quale si era promessa al
palazzo del «capo» e questi poneva nella mano chiusa della ragazza sei pezzi di uguale
lunghezza di cordoncino che spuntavano nei due lati della sua mano: il suo pretendente doveva
annodarli a due a due da ciascun lato della mano senza che la ragazza la aprisse, per non
conoscere gli estremi di ciascun cordoncino; quando erano fatti i sei nodi la ragazza apriva la
mano: se il cordoncino usciva formando un anello si poteva sposare, altrimenti doveva rinviare
il matrimonio. Passato un anno avevano una nuova opportunità; se il risultato era di nuovo
negativo non potevano più riprovare e non avevano più il diritto di sposarsi.
Possiamo valutare quanto era difficile sposarsi nella terra dei Manchi??
SOLUZIONE:
Le apparenze possono ingannare! Andiamo a trovare la probabilità del primo anno calcolando i
casi favorevoli (CF) e i casi possibili (CP). Annodiamo come vogliamo le corde che escono da
uno dei lati della mano, perché ciò non suppone nessuna limitazione a quello che succederà
annodando l’altro lato ed è su questo lato che ci concentriamo.
I modi possibili di annodare sono i seguenti: per il primo nodo scegliamo uno degli estremi che
potremo annodare con qualsiasi degli altri 5 ( pertanto sono 5) ; fatto ciò scegliamo il secondo
estremo in modo che ormai ce ne siano solo 3 da scegliere; annodato il secondo, ci rimangono
solo 2 estremi sciolti e l’unica possibilità di annodarli è tra di loro. Pertanto CP = 5x3x1 = 15. in
quanti di questi casi esce un unico anello? Questi saranno i CF.
Una volta scelto uno degli estremi possiamo fare il primo nodo con tutte le corde eccetto che
con quella che è unita da sopra con essa ,ossia ci sono 4 possibilità. Per il secondo nodo
dobbiamo evitare la corda che è già unita da sopra con questa e, se è il caso, quella che
genererebbe il cerchio di 4 pezzi dovuto al nodo precedente: due casi; nel terzo rimangono solo
due estremi, dunque una sola opzione. Questo significa che CF = 4x2x1 = 8. la probabilità di
sposarsi il primo anno è :
p=
𝐶𝐹
𝐶𝑃
=
8
15
≅ 0,53 ( 53% )
Andiamo ora all’insieme dei due anni: la probabilità che non esca l’ anello in un anno è:
(1 – p) = 1 – 0,53 = 0,47 = 47%
la possibilità di fare un solo anello al secondo tentativo tornerà ad essere del 53%, però
considerando solo il 47% delle coppie che non ci sono riuscite il primo anno, che sono le uniche
che ripeteranno la prova. Dato che 0,53 x 0,47 = 0,25 ( formula inversa di Laplace) , si ha che il
secondo anno conseguirà l’anello il 25% delle coppie che si erano presentate e avevano fallito;
dunque c’è solo un 47% - 25% = 22% che non si potrà sposare.
una scommessa: le tre fiches
Abbiamo tre fiches in una cassetta opaca: una è di colore bianco sulle due facce, l’altra ha una
croce rossa su una delle facce ed è bianca sull’altra e le terza ha una croce su entrambe le
facce. Uno prende una delle fiches e la pone sul tavolo su una delle sue facce, che risulta
essere bianca. Propone la scommessa di indovinare l’altra faccia, senza guardarla.
PER QUALE TIPO DI FACCIA E’ PIU’ FAVOREVOLE SCOMMETTERE? O E’ LO STESSO?
SOLUZIONE
Pare sia uguale dire che è bianca o che ha la croce, che la probabilità è del 50%; ma andiamo a
vedere che non è così, ma che è più probabile che sia dello stesso colore. Perché?
Analizziamo da dove può venire questa faccia bianca. Può essere una delle due facce della
moneta bianca o la faccia della moneta «mista». Delle sei facce totali, 3 sono bianche. Una
volta che abbiamo visto una faccia bianca, le opzioni si concentrano sulle due fiches con
almeno una faccia bianca e, in queste, due delle tre facce che non conosciamo (la quarta è la
2
mostrata), sono bianche. Di conseguenza, la probabilità che l’altra faccia sia bianca è , e non
1
2
3
i come si poteva pensare (per la stessa ragione, se è uscita la croce bisogna scommettere per
un’altra croce). Se giochiamo molte volte a questo gioco, è redditizio scommettere che l’altra
faccia sia dello stesso colore di quella che vediamo: alla lunga vinceremo due volte su tre.
• il gatto e il topo
E’ un gioco di probabilità. Ci sono un gatto e un topo posizionati nelle caselle marcate col loro
nome in una scacchiera. Seguendo il loro istinto, il gatto vuole mangiare il topo e questo cerca
di scappare, tutto questo secondo alcune regole. Ciascuno dei due fa un passo alla volta ( che
consiste nel passaggio in una casella contigua in orizzontale o verticale, ma mai in diagonale) a
caso. Il gatto si muove verso destra o verso l’alto, mentre il topo corre verso il basso o verso
sinistra. Se i due percorsi si incontrano in una casella comune, il gatto si mangia il topo; se si
scambiano le posizioni iniziali senza che questa situazione sia mai capitata, il topo si salva.
Qual è la probabilità che il gatto si mangi il topo? O che il topo si salvi?
TOPO
GATTO
la scacchiera può variare di numero di caselle, ma deve rimanere sempre quadrata!
SOLUZIONE:
Le due possibilità che si impostano sono eventi opposti, dunque sono complementari a 1: se
«p» è la probabilità che il gatto si mangi il topo; (1 – p) è la probabilità che il topo si salvi.
Possiamo modellizzare gli spostamenti del gatto e del topo lanciando due monete (una il gatto
e l’altra il topo), essendo una delle possibilità (per esempio testa) muoversi in orizzontale e
l’altra in verticale, gli unici punti d’incontro sono quelli della diagonale principale del quadrato
(quella che non unisce le posizioni iniziali) ed inoltre devono arrivare entrambi insieme.
Nel caso 3X3 sono 3 le caselle nelle quali il topo ed il gatto si possono incontrare: per arrivarci
devono fare due passi, dunque la probabilità che ciascuno arrivi alla casella all’estremità è di
1
2
1
2
1
4
x = ; nella casella centrale, nella quale possono andare con due percorsi, è doppia :
1
4
1
4
La probabilità che si incontrino in un quadrato agli angoli è di x =
Nell’insieme delle 3 caselle del possibile incontro, la probabilità è di
Dunque la probabilità che il topo si salvi è di
10 5
=
16 8
1
16
1
16
+
2
4
; al centro, di x
1
16
+
4
16
=
6
16
=
3
8
2
=
4
2
=
4
1
.
2
4
.
16
(37,50%).
(62,50%).
Aumentando il numero di caselle della scacchiera, la probabilità che il topo si salvi cresce in
maniera significativa!!
• Il dilemma di monty hall:
Il quesito è noto come dilemma o paradosso di Monty Hall, dal nome del conduttore del
celebre gioco a premi televisivo americano «Let’s Make a Deal». Quando nel 1990 un lettore
della rivista «Parade» scrisse alla rubrica Ask Marilyn chiedendo quale fosse la strategia
vincente, il problema si trasformò in un’accesa controversia. La soluzione proposta da Marilyn
Vos Savant, presente nel Guinnes dei Primati per il suo grandissimo quoziente d’intelligenza,
scatenò una valanga di lettere di contestazione, molte delle quali provenivano da matematici e
accademici che accusavano Vos Savant di ignorare la teoria della probabilità. Il giornale diventò
l’arena di una furente botta e risposta: da una parte Vos Savant, secondo la quale al giocatore
conviene cambiare porta; dall’altra chi sosteneva che è indifferente scegliere una o l’altra delle
due porte rimanenti. Il caso finì persino in prima pagina sul New York Times, acquisendo in
breve tempo un’ enorme popolarità.
1
3

il concorrente sceglie una porta, senza aprirla: ogni premio ha p = di essere scelto ;

Il conduttore mostra una capra :
a. se il concorrente ha scelto la capra 1, mostra la capra 2;
b. se il concorrente ha scelto la capra 2, mostra la capra 1;
c. se il concorrente ha scelto l’auto, può scegliere se mostrare la capra 1 o la capra 2.

Il concorrente cambia porta e vince il relativo premio.
2
P (cambia e vince auto) =
3
1
P(cambia e vince capra) =
3