Equazioni di 1° grado

Prof.ssa A.Comis
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Introduzione
Definizione
Classificazione
Principi di equivalenza
Regole per la risoluzione
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Abbiamo già visto che quando è necessario
esprimere un calcolo in forma sintetica e generale,
è conveniente usare una scrittura che utilizzi le
lettere al posto dei numeri. Esaminiamo insieme
questo gioco:
Pensa un numero
Raddoppialo
Aggiungi 10
Dividi il risultato per 2
Sottrai 5
Ti rimane il numero iniziale
Non è magia, basta solo saper calcolare in modo
opportuno con le lettere.
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Se indichiamo con x il numero iniziale avremo
x
2x
2 x  10
2 x  10
2
2 x  10
5  x
2
Impareremo a risolvere espression i di questo tipo
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• Dicesi equazione una uguaglianza fra due
espressioni algebriche verificata solo per alcuni
valori assegnati alla variabile.
• Il grado di una equazione è il maggiore dei gradi
con cui, in essa, compare la variabile.
• Nella forma più generale scriveremo:
ax=b
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Osservazioni
Data l’equazione ax=b diremo che:
• L’espressione a sinistra del simbolo di uguaglianza
si chiama primo membro, mentre quella a destra
si chiama secondo membro
• La lettera x si chiama variabile o incognita
• Le lettere a e b rappresentano numeri reali; a si
chiama coefficiente della variabile, b si chiama
termine noto
• I valori (se esistono) della x che rendono vera
l’uguaglianza si chiamano radici o soluzioni della
equazione
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Altre osservazioni
• Una equazione ha al massimo tante soluzioni
quante sono le unità del suo grado.Quindi se è di
1°grado avrà al più 1 soluzione, se è di 2°grado ne
avrà al più due e così via.
• Se l’equazione ammette un numero finito di
soluzioni si dice determinata.
• Se non ammette soluzioni si dice impossibile.
• Se ammette infinite soluzioni si dice
indeterminata o identità.
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Un’equazione si dice:
• Intera se tutti i suoi termini sono interi rispetto la
variabile.
• Fratta se almeno uno dei suoi termini contiene la
variabile al denominatore di una frazione.
• Numerica se oltre la variabile contiene SOLO
numeri.
• Letterale se oltre la variabile contiene ANCHE
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lettere.
Equazioni equivalenti
Due equazioni si dicono equivalenti quando
hanno le stesse radici.
Questo significa che se due equazioni sono
equivalenti, tutte le soluzioni della prima
sono soluzione anche della seconda e
viceversa.
Due equazioni equivalenti ad una terza sono
equivalenti tra loro.
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Principi di equivalenza
Per risolvere le equazioni vengono applicati due
principi di equivalenza:
• Principio di ADDIZIONE: aggiungendo o
sottraendo ad entrambi i membri di una equazione
una stessa espressione algebrica si ottiene una
equazione equivalente a quella data.
• Principio di MOLTIPLICAZIONE: moltiplicando
o dividendo per uno stesso numero diverso da zero
TUTTI i termini di un equazione, si ottiene una
equazione equivalente a quella data.
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Conseguenze
Dal primo principio derivano alcune notevoli
conseguenze:
• Se si trasportano alcuni termini di una equazione
da un membro all’altro, essi si DEVONO
cambiare di segno.
• Se nei due membri di una equazione compare uno
stesso termine, esso può essere soppresso in
entrambi i membri.
Esempi:
x+3=5
x=-3+5
x=2
x+3x=2+3x
x=2
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Altre conseguenze
Dal secondo principio derivano altre importanti
conseguenze:
• Si può cambiare il segno a TUTTI i termini di una
equazione ed ottenerne un’altra equivalente.(Basta
moltiplicare tutti i termini per –1).
• Se tutti i termini di una equazione sono multipli di
uno stesso numero, si possono dividere TUTTI per
questo divisore comune ottenendo una equazione
più semplice.
Esempi: -x=6
x=-6
4x-12=4
x-3=1
x=3+1
x=4 12
Regole per la risoluzione
• Si effettuano, se sono presenti, i prodotti indicati;
• Si libera l’equazione degli eventuali denominatori;
• Si riuniscono al primo membro TUTTI i termini
con la variabile e al secondo membro TUTTI i
termini noti;
• Si riducono i termini simili in entrambi i membri;
• Ridotta l’equazione in forma normale, la sua
soluzione sarà il rapporto tra il suo termine noto
ed il coefficiente della variabile.
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Esempi
5
3x  5  x 
3
2 x  3  3x  4
 x  7

3
x  4 x
2
 2 x  3 x  4  3
x7
 3x  8  2 x
8
3x  2 x  8  5 x  8  x 
5
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Altri esempi
1 5( x  1)
3 x

 x
m.c.m.4
2
4
4
2  5 x  5  4 x  (3  x)
5x  7  4 x  3  x
5 x  4 x  x  7  3
0 x  10
IMPOSSIBIL E
3( x - 1) - 2(3 - x)  4( x  2)  x - 17
3x - 3 - 6  2 x  4 x  8  x - 17
3x  2 x - 4 x  x  3  6  8  17
0x  0
IDENTITA'
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