Riemann: un gigante sulle spalle dei giganti

Riemann: un gigante
sulle spalle dei giganti
Rossana Tazzioli
Université de Lille 1
Scopo :
1.
2.
Mostrare i forti legami che intercorrono
tra i lavori di Riemann in matematica
« pura » e quelli in matematica
« applicata »
Mostrare che i suoi lavori di matematica
e di fisica fanno parte di un ampio
programma di ricerca che si prefigge di
fornire un’interpretazione unitaria dei
fenomeni fisici.
Bernhard Riemann (1826-1866)
► Riemann
nacque a Breselenz (Regno di
Hannover) nel 1826; suo padre era un pastore
protestante
► Dal
► Alla
1840 al 1842 frequentò il Liceo a Hannover
morte della nonna, si trasferì al Liceo di
Lüneburg, molto vicino a Quickborn dove viveva la
sua famiglia. Ebbe in questo periodo i suoi primi
problemi di salute.
► Nel
1846 si iscrisse alla Facoltà di Teologia
dell’Università di Gottinga. Molto presto passò
alla Facoltà di Filosofia che comprendeva anche
la matematica. Gauss fu tra i suoi insegnanti.
► Nel 1847 si trasferì all’Università di Berlino, dove
incontrò Jacobi, Dirichlet, Steiner e Eisenstein,
che ne influenzarono le future ricerche.
► Nel 1848 ci furono disordini a Berlino contro il
re. Riemann si schierò a difesa del sovrano.
► Nel 1849 torno all’Università di Gottinga,
seguendo i consigli del padre. Cominciò a
frequentare i seminari di fisica matematica di
Gauss e Weber.
► Nel 1851: Inauguraldissertation (analisi
complessa)
Nel 1853: Habilitationsschrift (analisi reale)
(pub.1868)
► Nel 1854: Habilitationsvortrag (principi della
geometria) (publ. 1868)
► Nel 1855 Gauss morì; Dirichlet si trasferì
all’Università di Gottinga
► Nel 1857 Riemann divenne professore straordinario
all’Università di Gottinga
► Nel 1859 andò a Parigi dove incontrò Bertrand, Biot,
Bouquet, Hermite, Puiseaux e Serret. Divenne
professore ordinario all’Università di Gottinga.
Pubblicò il suo celebre lavoro di teoria dei numeri
(ipotesi di Riemann)
► Nel 1862 sposò Elise Koch
► Dal 1863 al 1865 fu a Pisa con Enrico Betti
► Nel 1866 tornò in Italia dove morì il 20 luglio a
Selasca (Lago Maggiore)
►
Riemann: un vero “gigante”…..
► Analisi
complessa (superfici di Riemann,
condizioni di Cauchy-Riemann …)
► Analisi reale (integrale di Riemann, uso dei
contro-esempi …)
► Topologia (connessione, “Querschnitte”,…)
► Geometria differenziale (varietà Riemanniane,
tensore di curvatura di Riemann)
► Teoria dei numeri (ipotesi di Riemann)
► PDE
► Teoria delle curve algebriche
► Teoria delle funzioni abeliane
Matematica pura e applicata
I
1. La teoria di Riemann delle funzioni di variabile
complessa ha uno stretto legame con la teoria del
potenziale in due dimensioni. In effetti, Riemann aveva
seguito le lezioni del celebre fisico Wilhelm Weber, a
Gottinga, nel 1849 e l’anno successivo i seminari di
fisica tenuti da Gauss e Weber.
2. Il “problema di Dirichlet”, centrale nella matematica del
XIX secolo, riguardava sia l’analisi sia la fisica
matematica (in particolare la teoria del potenziale). Per
dimostrare il suo celebre teorema di rappresentazione
conforme, Riemann risolve un particolare problema di
Dirichlet.
Matematica pura e applicata
II
3. L’idea di “Querschnitte” si trova in una sua nota di
elettrostatica (pubbl. 1876). Tale idea gli era venuta in
seguito a delle discussioni con Gauss su questioni di fisica
matematica (lettera di Riemann a Betti).
4. In un lavoro dedicato alla propagazione delle onde (1860)
Riemann ha introdotto uno strumento fondamentale per la
risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali: la
funzione di Green generalizzata. Facendo riferimento a
questo lavoro, numerosi matematici hanno utilizzato questo
stesso metodo per risolvere equazioni differenziali di tipo
parabolico (Helmholtz, Betti) e con diverse condizioni al
contorno (problema di Neumann o di Dirichlet).
..... sulle spalle dei giganti
Nei suoi appunti sulla “filosofia naturale” (circa 1853)
Riemann spiega qual è il suo “lavoro principale”:
si trattava di fornire una nuova interpretazione delle leggi
della natura atta a spiegare le mutue interazioni tra
gravitazione, calore, luce, magnetismo e elettricità.
E aggiungeva:
“Sono stato condotto a questo principalmente dallo studio
dei lavori di Newton, Eulero e, d’altra parte, di
Herbart.” (publ. 1876).
Un passo indietro (Newton)…..
Newton, Principia (1726), « quello spirito sottilissimo
che pervade i grossi corpi »
Lettera a Bentley: « E’ inconcepibile che materia
bruta e inanimata possa […] operare e influire su
altra materia senza reciproco contatto. […] Che la
gravità possa essere innata, intrinseca ed essenziale
alla materia […] è per me una tale assurdità che io
credo che nessun uomo capace di pensare in modo
coerente in materia di filosofia possa accettarla. »
Un passo indietro (Euler)…
Eulero, Nova theoria magnetis (1751): « Non ho mai dubitato
che tutti gli effetti della natura derivino da cause meccaniche
e ho sempre preferito confessare apertamente la mia
ignoranza piuttosto che dire che qualcosa accade senza
causa. »
Eulero, Nova theoria lucis et colorum (1746): « i moti
luminosi sono dovuti al moto vibratorio dell’etere; i fenomeni
elettrici sono causati dalla compressione e rarefazione del
mezzo etereo che fluiva all’interno del corpo. »
Eulero, Lettere a una principessa tedesca (1746): la
propagazione dei fenomeni gravitazionale sono dovuti al moto
dell’etere.
Un passo indietro (Herbart) …..
Johann Friedrich Herbart (1776-1841), uno dei maggiori
filosofi anti-idealisti. Professore a Gottinga, fu succeduto
da Lotze di cui Riemann seguì le lezioni e che apprezzava
e insegnava la filosofia di Herbart.
“Atto psichico” (o “rappresentazione”): un atto di
autoconservazione che l’io oppone alle perturbazioni del
mondo esterno. Un flusso continuo di rappresentazioni
passa dall’io alla coscienza e viceversa. Le relazioni tra le
rappresentazioni seguono le leggi della meccanica.
Riemann cita esplicitamente la psicologia di Herbart in
vari scritti filosofici: “Neue mathematische Principien der
Naturphilosophie”, redatto in marzo 1853; vedi anche la
sua lettera al fratello Wilhelm del dicembre 1853.
Un passo indietro (Herbart) …..
Riemann: « Quando la nostra conoscenza del mondo è
vera? ». Quando « la connessione delle nostre
rappresentazioni corrisponde alla connessione delle cose », e
la connessione delle cose si deduce « dalla connessione dei
fenomeni », in accordo con la filosofia di Herbart.
Riemann identifica l’io con il mondo spirituale, la coscienza
con il mondo fenomenico, l’atto psichico con il mezzo etereo.
E’ dunque condotto a supporre che « lo spazio sia riempito da
una sostanza che scorre con continuità attraverso gli atomi e
da qui scompaia dal mondo dei fenomeni (mondo materiale)
per entrare nel mondo spirituale ».
Riemann, Neue math. Prinzipien der Naturph. I
Sulla base della filosofia di Herbart, Riemann costruisce il suo
modello di etere. Le deformazioni di questo mezzo, supposto
un fluido omogeneo e isotropo, possono studiarsi con le leggi
della teoria dell’elasticità (Cauchy e Navier, anni 1820).
Riemann fissa una particella di etere che è individuata al
tempo t e al tempo t’ rispettivamente dalle coordinate
(x1, x2 , x3 ) e (x'1, x '2 , x '3 ).
Riemann introduce le due forme differenziali
ds 2 = dx12 + dx22 + dx32 ,
ds'2 = dx '12 + dx '22 + dx '32
associate alla particella di etere nei due istanti considerati.
Riemann, Neue math. Prinzipien der Naturph. II
Riemann calcola poi la variazione della sua particella di etere
dal tempo t al tempo t’ che denota con δ(ds).
Ipotesi fondamentale : ogni variazione (della forma
differenziale) della particella è dovuta a un fenomeno fisico
che tende a modificare la particella stessa. Tale particella si
oppone a questa variazione con una forza uguale e contraria,
ed è questa forza che le consente di propagare il fenomeno
attraverso lo spazio.
Vi sono diversi tipi di forze che provocano differenti variazioni
della particella: gravitazione, attrazione (o repulsione)
elettrostatica, luce, calore, attrazione (o repulsione)
elettromagnetica.
δ(ds)=0, ossia se la particella non varia la sua
forma dal tempo t al tempo t’, allora essa non
propaga alcuna forza poiché lo spazio non subisce
alcuna deformazione dovuta al fenomeno.
► Se la variazioneδ(ds) è non nulla, allora un
fenomeno fisico ha luogo nello spazio e la
particella lo propaga meccanicamente.
► Riemann cercava di dare la formula corretta per le
diverse forze fisiche come la gravità, il calore e la
luce.
► Riemann spiegava attraverso il suo modello diversi
fenomeni fisici.
► Se
Riemann, « Neue Theorie des Rückstandes… »
► L’esperimento
di Kohlrausch : Se si caricava una
bottiglia di Leyda (condensatore) e poi si
scaricava e si lasciava isolata, si osservava una
carica residua. Perché?
Riemann (1854) : opponendosi al suo stato
elettrico, un corpo tendeva a diminuire o ad
aumentare la densità di elettricità in esso
contenuta a seconda che si trovasse in uno stato
elettrico positivo o negativo, con una pressione
che dipendeva dalla densità di carica del corpo e
dalla sua natura.
Il lavoro fu inviato agli Ann. der Physik, ma
Kohlrausch (tra gli editors del giornale) gli chiese
tali cambiamenti che Riemann decise di ritirare
il lavoro.
Riemann, “Ein Beitrag zur Electrodynamik”
Gauss (1835): “due particelle in moto relativo si attraggono o si
respingono non proprio nello stesso modo che se fossero in
quiete” ma mediante una certa forza…..
Gauss a Weber (1845): l’elettricità si propaga nello spazio non
istantaneamente ma “in maniera simile alla luce”.
Riemann (1858): “… gli effetti elettrodinamici … si lasciano
spiegare se si suppone che l’effetto di una massa elettrica su di
un’altra non avvenga istantaneamente, ma si propaghi con una
velocità costante (uguale alla velocità della luce nei limiti
dell’osservazione). Con questa ipotesi l’equazione differenziale
per la propagazione della forza elettrica è la stessa che vale per
la propagazione della luce e del calore radiante.”
Riemann ritirò l’articolo prima della sua pubblicazione.
Riemann, Partielle Differentialgl. und deren
Anwend. auf physikalische Fragen, 1876
Riemann cerca di descrivere le deformazioni dell’etere
nelle immediate vicinanze di due particelle interagenti.
A questo scopo, suppone che l’etere possieda delle
particolari proprietà fisiche che garantiscano la
propagazione dei fenomeni elettrici nello spazio.
Riemann perviene allora, usando la classica teoria di
Lagrange, a un sistema di equazioni differenziali che
esprimono il flusso di etere nello spazio.
Fisica e geometria
Riemann, “Sulle ipotesi che stanno alla base della
geometria” (1854): le forze di interazione tra le particelle
sono alla base della geometria stessa dello spazio; esse
determinano i fondamenti della geometria.
Riemann, “Commentation mathematica…” (1861):
la propagazione del calore legata a una variazione di
curvatura dello spazio.
Questo è in accordo con il modello di etere esposto nei
“Fragmente…” per una particella di etere: è lo spazio
stesso a propagare i fenomeni fisici variando la propria
curvatura.
Prima di Einstein…
► Beltrami
cercava le deformazioni elastiche di un
etere in grado di propagare i fenomeni
elettromagnetici.
► Maxwell cercava un’interpretazione meccanica
(attraverso la fluidodinamica) delle sue proprie
equazioni del campo elettromagnetico.
► Clifford (The common sense of exact sciences,
1885): “se non fosse più semplice per i fisici
assumere che lo spazio vari la propria
curvatura” e che sia la resistenza a tale
variazione la responsabile della propagazione
dei fenomeni nello spazio.
Riemann, « Fragmente », 1850
« Così per esempio, si può elaborare una vera
e propria teoria matematica, in sé compiuta
che proceda da leggi elementari valevoli per
singoli punti fino ai fatti nello spazio riempito
con continuità che ci è effettivamente dato,
senza distinguere se si tratta della forza di
gravità o dell’elettricità o del magnetismo o
del calore …»