Geometria Algebrica
Laurea specialistica in Matematica, 2006-07, Universita’ di Firenze
Prof. Giorgio Ottaviani
OBIETTIVI FORMATIVI: Conoscere i primi risultati globali sulle superfici di
Riemann. Apprendere il linguaggio della coomologia dei fasci. Conoscere i risultati
classici fondamentali della teoria delle superfici di Riemann, cioe’ i teoremi di RiemannRoch e Abel, letti con il linguaggio moderno.
PREREQUISITI E PROPEDEUTICITÀ: Sono indispensabili alcuni argomenti dei corsi di Analisi IV (forme differenziali, teorema del Dini per funzioni implicite) e Topologia e Spazi metrici (le nozioni di compattezza e continuità). Sono
utili, ma non necessari, alcuni argomenti dei corsi di Istituzioni di Geometria Superiore II (varietà differenziabili, nozione di fibrato, forme differenziali) e di Variabile
Complessa (formula di Cauchy, sviluppo in serie di potenze). Il corso è propedeutico
allo studio delle varietà algebriche di dimensione maggiore di uno.
TIPOLOGIA DEL CORSO: Lezioni frontali, in parte dedicate ad esercitazioni.
PROGRAMMA DETTAGLIATO:
I- TEORIA ELEMENTARE DELLE SUPERFICI DI RIEMANN
Richiami sulle funzioni olomorfe. Definizione di superficie di Riemann. Esempi: la
sfera di Riemann e i tori complessi. Genere topologico. Curve algebriche affini e proiettive.
Funzioni olomorfe su superfici di Riemann. Ordine di una funzione meromorfa in un
punto. Discretezza degli zeri e principio di massimo.
Ogni funzione meromorfa sulla sfera di Riemann è razionale. Le funzioni theta. Funzioni olomorfe tra superfici di Riemann.
Forma normale locale. Ramificazione. Grado di una funzione olomorfa tra superfici di
Riemann.
La somma degli ordini è zero. Ogni funzione meromorfa su un toro complesso è
quoziente di funzioni theta. La formula di Hurwitz. Applicazioni al calcolo del genere
di curve piane. Curve razionali, curve ellittiche e loro automorfismi. Il teorema di
Pascal.
II- DIVISORI E FIBRATI IN RETTE. COOMOLOGIA DEI FASCI
Differenziali meromorfi e teorema dei residui globale. Fasci su superfici di Riemann.
Divisori. Divisori linearmente equivalenti. Il divisore iperpiano. Fibrati in rette e
fibrato canonico.
Fibrato in rette associato a un divisore. Fibrati in rette e funzioni olomorfe verso spazi
proiettivi.
Fasci di O-moduli. Successioni esatte di fasci. Coomologia di Cech di un fascio.
Successione esponenziale e classe di Chern.
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III- IL TEOREMA DI RIEMANN-ROCH E L’ALGEBRIZZAZIONE
DELLE SUPERFICI DI RIEMANN. IL TEOREMA DI ABEL.
Differenziali abeliani. Il teorema della media nulla. Il teorema di Riemann-Roch. Il
grado del fibrato canonico. La dualità di Serre. L’ uguaglianza tra i tre generi. Divisori
molto ampi. Curve canoniche.
Le superfici di Riemann compatte sono algebriche e proiettive. Classificazione delle
superfici di Riemann di genere zero e uno. I punti di Weierstrass e gli automorfismi.
Il calcolo euristico della dimensione dei moduli come 3g-3. La varietà jacobiana, il
morfismo di Abel-Jacobi e il teorema di Abel.
La legge di gruppo sulla cubica piana. Teorema di Newton sui flessi delle cubiche.
TESTI DI RIFERIMENTO:
I- R. Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, AMS 1995, capp. 1 e 2
II- X. Gomez-Mont, Meromorphic functions and cohomology on a Riemann surface
III- M. Cornalba, The theorems of Riemann-Roch and Abel
MODALITÀ DI ESAME: colloquio orale.
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