Varianza campionaria corretta

Stat 03 - 1 / 43
Lezione 5
Strumenti
statistici:
campioni e
stimatori
Stat 03 - 2 / 43
dalla caratteristica comune di una popolazione
al suo modello probabilistico …
una popolazione (distribuita in modo) normale
su1,61m
cui <viene
definita una variabile casuale continua X
h < 1,63m  X = 162
m
s2 può essere modellata mediante una
di probabilità fX ( x ) espressa nella forma:
1,57m < funzione
h < 1,59m  di
X =densità
158
con
1,59m
< h media
< 1,61m  Xe= varianza
160
fX 
2

1
1  x m 
x 
exp  
 
2 s
 2  s  
Stat 03 - 3 / 43
dalla caratteristica comune di una popolazione
al suo modello probabilistico …
Stat 03 - 4 / 43
le strategie di
campionamento:
- sistematico,
- stratificato,
- per quote,
- a grappolo
Nella parte 1 ...
gli stimatori
campionari
V = v ( X1, X2, …, Xn )
correttezza:
consistenza:
lim P
n 
efficienza:
 V -E V 
E V   

  1
E   V -E V   

E   V -E V   
2
Eff  V1 / V2
2
2
2
1
1
Stat 03 - 5 / 43
Nella parte 2 ...
La media campionaria:
corretto:
consistente:
f (x)
lim P
n

1 n
Xn   X j
n j 1
E  Xn  m

X n -E  X n     1
Stat 03 - 6 / 43
Nella parte 2 ...
La varianza campionaria:
La varianza campionaria corretta:
corretto:
Consistente:
?
lim P
n 
S
2
n
n
1
2
S 2   X j  X n 
n j 1
 
n
1
2
2
2
2
E
S

σ
X j  X n 
Sn 

n  1 j 1
E  Sn2   σ 2
 
 ?
-E S n2    1
Stat 03 - 7 / 43
parte 3
gli stimatori:
“varianza campionaria corretta”
Stat 03 - 8 / 43
Principali stimatori:
varianza campionaria corretta Sn 2
definizione 5.8:
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde
l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si definisce
“varianza campionaria corretta” la quantità:
1
2
Sn 
n 1
 X
n
j
 Xn

2
j 1
con numerosità n del campione maggiore di 1.
Stat 03 - 9 / 43
Principali stimatori:
varianza campionaria corretta Sn 2
la “varianza campionaria corretta”
1
2
Sn 
n 1
 X
n
j
 Xn 
2
j 1
di un campione proveniente da una popolazione su cui è stata
definita la variabile casuale X è uno stimatore corretto della
varianza s2 della X per l’intera popolazione dato che:
E
S   E
2
n
 1 n
2
2


X

X

s



j
n
n

1
j 1


Stat 03 - 10 / 43
Principali stimatori:
varianza campionaria corretta Sn 2
Per verificare se la varianza campionaria corretta
1
2
Sn 
n 1
 X
n
j
 Xn
2
n  1
j 1
possa essere considerata uno stimatore consistente della
varianza della X relativa all’intera popolazione si dovrà
individuare la sua distribuzione, in modo da poter individuare il
limite per n che tende all’infinito della sua varianza.
Ricordiamo infatti che si era scritto:
consistenza degli
stimatori campionari
lim P
n 
 V -E V 

  1
Stat 03 - 11 / 43
Principali stimatori:
varianza campionaria corretta Sn 2
Per ricavare la distribuzione della varianza campionaria corretta
1
2
Sn 
n 1
 X
n
j
 Xn
2
j 1
si dovranno introdurre tre nuove distribuzioni:
- la distribuzione “Gamma”,
- la distribuzione “Chi - quadro”,
- la distribuzione “C2 modificata”.
n  1
Stat 03 - 13 / 43
la distribuzione
Gamma ( G )
Stat 03 - 14 / 43
Distribuzione Gamma ( G )
Costruiamo una funzione della variabile X in cui compaiono
due parametri p e l a cui è possibile assegnare arbitrariamente
valori reali positivi:
fX  x   fX 
 lp
p 1
x
exp  l x  se x  0
 G p 
x, p , l   

se x  0
 0
con p, l  R
in cui è stata indicata con G( p) la funzione:


G p   x p 1 exp  x  dx
0

Stat 03 - 15 / 43
Distribuzione Gamma ( G )
Stat 03 - 16 / 43
Distribuzione Gamma ( G )
Stat 03 - 17 / 43
Distribuzione Gamma ( G )
La funzione :
fX  x   fX 
 lp
p 1
x
exp  l x  se x  0
 G p 
x, p , l   

se x  0
 0
con p, l  R

può essere presa come funzione
di densità di probabilità dato che:
– ha dominio in R e codominio in R + ;
– il suo integrale è unitario;
– rispetta gli assiomi di Kolmogoroff.

0

lp p 1
f X  x, p , l  d x  0 d x 
x exp  l x  d x  1
G p 


0



Stat 03 - 18 / 43
Distribuzione Gamma ( G )
Una distribuzione per cui si possa adottare la
fX  x   fX 
 lp
p 1
x
exp  l x  se x  0
 G p 
x, p , l   

se x  0
 0
con p, l  R
come funzione di densità di probabilità viene chiamata
“distribuzione Gamma con parametri p e l ”


G p   x p 1 exp  x  dx
0

Stat 03 - 19 / 43
Media e varianza della distribuzione Gamma
Se X è una variabile casuale che ha distribuzione Gamma con
parametri p e l :
fX  x   fX 
 lp
p 1
x
exp  l x 

x, p , l    G  p 

0
se x  0
con p, l  R
si ha :
E
se x  0
p
X 
l
e
p
var  X   2
l

Stat 03 - 20 / 43
la distribuzione
“chi-quadro”
o
“distribuzione
di Pearson”
Karl Pearson (1857-1936)
Stat 03 - 21 / 43
Distribuzione chi-quadro
La distribuzione Gamma con parametri p = n / 2 e l = 1 / 2
assume un particolare interesse:
 1l2p n 2 p 1n 1
l xx 

x x 2exp


exp   


ff XX  xx  
f
x
,
p
,
l



G
p
 f XX x, p, l   G n 2
 2
0
0
se x  0
se x  0
con p, l  R
avendo indicato con G( n / 2 ) la funzione definita da:


Gn 2  x
0
n
1
2
exp  x  dx

Stat 03 - 22 / 43
Distribuzione chi-quadro
Una distribuzione per cui si possa adottare la
fX 
 1 2 n 2 n2 1
 x
x exp   

x, n    Gn 2
 2
0

se x  0
se x  0
come funzione di densità di probabilità viene chiamata:
distribuzione chi - quadro con n gradi di libertà


Gn 2  x
0
n
1
2
exp  x  dx
Stat 03 - 23 / 43
Distribuzione chi-quadro

1 2
f X  x, n  
Gn 2
n 2
x
n
1
2
 x
exp   
 2
se x  0
Stat 03 - 24 / 43
Media e varianza della
distribuzione chi-quadro
Dato che la distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà è
un caso particolare della distribuzione Gamma con parametri
p = n / 2 e l = 1 / 2 la sua media e la sua varianza possono
essere dedotte introducendo tali valori nella espressione di
media e varianza della generica Gamma :
E
p
X 
l
e
p
var  X   2
l
ottenendo:
E
n2
X 
n
12
e
n2
var  X  
 2n
2
1 2
Stat 03 - 25 / 43
Proprietà della distribuzione chi-quadro
teorema 5.5:
Se le variabili casuali X1, X2 … , Xn, sono indipendenti
e ciascuna ha distribuzione normale con media m j e
varianza s2j con j = 1, 2, … , n, allora la variabile casuale:

 X j mj 

 
 s

j 1 
j

n
2
2
segue una distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà
Stat 03 - 26 / 43
Proprietà della distribuzione chi-quadro
corollario al teorema 5.5:
Se le variabili casuali X1, X2 … , Xn, sono indipendenti
e ciascuna ha una distribuzione normale
con media mj e varianza s2j
con j = 1, 2, … , n,
allora le variabili casuali Z1, Z2 … , Zn definite come :
Zj 
X j mj
sj
sono indipendenti e seguono una distribuzione normale standard.
Ma allora si può anche affermare che:
2
la somma dei quadrati di nXvariabili
casuali indipendenti,
2
j mj
 normale standard,
ciascuna distribuita
Z j  in modo
 2 segue una
 s

distribuzione
chi-quadro
j 1
j 1 con n jgradi di libertà !

n

n

Stat 03 - 27 / 43
la distribuzione
della variabile
C2 modificata
Stat 03 - 28 / 43
Distribuzione chi-quadro
Stat 03 - 29 / 43
Media e varianza della
distribuzione chi-quadro
Dato che la distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà è
un caso particolare della distribuzione Gamma con parametri
p = n / 2 e l = 1 / 2 la sua media e la sua varianza possono
essere dedotte introducendo tali valori nella espressione di
media e varianza della generica Gamma :
E
p
X 
l
e
ottenendo:
E
n2
X 
n
12
e
p
var  X   2
l
n2
var  X  
 2n
2
1 2
La distribuzione chi-quadro ha
media e varianza che aumentano all’aumentare di n
Stat 03 - 30 / 43
La variabile C 2
Partendo da una variabile casuale  2 che segue una
distribuzione chi-quadro con n gradi di libertà, definiamo
una nuova variabile che indichiamo C 2 :
C2 
χ2
n
che prende il nome di
“variabile modificata di chi-quadro con n g.d.l.”
La “variabile modificata di chi-quadro” è quindi una
variabile casuale che si ottiene dividendo una variabile
casuale distribuita secondo una chi-quadro
per il numero dei suoi gradi di libertà.
Stat 03 - 31 / 43
La distribuzione della variabile C 2
Dato che la C 2, “variabile modificata di chi-quadro”, si ottiene
dividendo una variabile distribuita secondo una chi-quadro per
il numero dei suoi gradi di libertà, il suo valore medio e la sua
varianza si possono facilmente ricavare da quelli della
corrispondente  2 :
E  χ 2  n
ottenendo:
 
var C
var
 χ  2 n
2
 χ2  1
E 
 E
 n  n
χ 
 χ2 
1
 var 
  2 var
 n  n
χ 
E C
2
e
2

2
2
1
 n 1
n
1
2
 2 2n 
n
n
Stat 03 - 32 / 43
La distribuzione della variabile C 2
Stat 03 - 33 / 43
La distribuzione della variabile C 2
La distribuzione della
varianza campionaria corretta
Stat 03 - 34 / 43
Distribuzione della varianza campionaria corretta
Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la
variabile casuale X, distribuita in modo normale con media m e
varianza s2 , un campione di n elementi a cui corrisponde
l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn }
è facile vedere che la variabile casuale:
X j  Xn
segue una distribuzione normale con media nulla.
Se definiamo una nuova variabile Z :
Zj 
X j  Xn
s
possiamo affermare che essa segue una
distribuzione normale standard.
Stat 03 - 35 / 43
Distribuzione della varianza campionaria corretta
Se ora sommiamo i quadrati delle Z1 , Z2 , … , Zn :
 X j  Xn 

W   Z j   

s
j 1
j 1 

n
2
n
2
possiamo affermare che W segue una distribuzione
chi-quadro con n - 1 gradi di libertà in quanto
somma dei quadrati
di n -1 variabili indipendenti normali standard
( la media introduce un vincolo fra le n variabili Xi )
Stat 03 - 36 / 43
Distribuzione della varianza campionaria corretta
Definiamo ora una nuova variabile V :
2
Sn
V  n  1 2
s
che, esplicitando Sn2, possiamo anche scrivere come:
1 n
2
X j  X n  n  X  X  2

n  1 j 1
j
n


V  n  1


2


s
s
j 1 

Stat 03 - 37 / 43
Distribuzione della varianza campionaria corretta
Se ricordiamo che :
 X j  Xn 

W   Z j   

s
j 1
j 1 

n
2
n
2
possiamo notare che :
2
Sn
V  n  1 2 
s
2
 X j  Xn 

  W



s
j 1 

n
e, ricordando che W segue una distribuzione chi-quadro
possiamo affermare che anche
V segue una distribuzione chi-quadro con n - 1 gradi di libertà.
Stat 03 - 38 / 43
Distribuzione della varianza campionaria corretta
Definiamo infine una nuova variabile che indichiamo C 2 :
V
C 
n 1
2
che risulta essere una
“variabile modificata di chi-quadro con n - 1 gradi di libertà”
2
Sn
V  n  1 2
s
V
C 
n 1
2







2
Sn
n  1 2
2
S
s  n
C2 
n 1
s2
Stat 03 - 39 / 43
La varianza campionaria corretta e la C 2
E  C2 E

 Sn 2 
 2  1
s 
E  Sn 2   s2
Stat 03 - 40 / 43
La varianza campionaria corretta e la C 2
2


S
2
2
n
var C  var  2  
 s  n 1

2
2
var S n 
s4
n 1

2
lim var S n  0
 
 
n
 
Stat 03 - 41 / 43
Lo stimatore varianza campionaria corretta
• Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la
variabile casuale X, distribuita in modo normale con media m e
varianza s2 , un campione di n elementi a cui corrisponde
l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn }
posto:
n
1
S 
n 1
2
n
 X
j
 Xn
2
n  1
j 1
si ha che la varianza campionaria corretta:
– è uno stimatore corretto in quanto
– è uno stimatore consistente in quanto :
E  Sn 2   s2
  0
lim var S n
n 
n  1
2
Stat 03 - 42 / 43
Lo stimatore varianza campionaria corretta
• Estraendo casualmente da una popolazione per cui è definita la
variabile casuale X, distribuita in modo normale con media m e
varianza s2 , un campione di n elementi a cui corrisponde
l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn }
posto:
n
1
S 
n 1
2
n
 X
j
 Xn
2
n  1
j 1
si ha che :
 X j  Xn 
S
1





s
n  1 j 1 
s

2
n
2
n
2
n  1
– segue una distribuzione C 2 con n-1 gradi di libertà.
Stat 03 - 43 / 43
Lo stimatore varianza campionaria corretta
• Il rapporto fra la varianza campionaria corretta dei
campioni estratti casualmente da una popolazione
per cui è definita la variabile casuale X, distribuita in
modo normale con media m e varianza s2 , e la stessa
varianza s2 della X è una variabile casuale che
segue una distribuzione C 2 con n-1 gradi di libertà.
E C
2
E

 Sn 
 2  1
s 
2
E  Sn 2   s2
2

Sn 
2
2
var C  var  2  
 s  n 1

2
2
var S n 
s4
n 1
 
 