1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale
annuncio pubblicitario
fine I NUMERI NATURALI DIMENSIONE EPISTEMOLOGICA fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Frege Definizioni dal Libro VII degli Elementi: Unità è ciò secondo cui ogni cosa è detta uno Enriques Numero è la moltitudine composta di unità Peano fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Approccio cardinale Frege Enriques Peano definizione di numero naturale come classe di equivalenza di insiemi finiti equipotenti fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Frege Approccio con le grandezze confronto tra grandezze Enriques Peano omogenee e unità fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Euclide Frege Approccio ricorsivo descrizione assiomatica Enriques Peano dell'aritmetica ciò che studieremo fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Poiché questi enti (numeri, punti, ecc.) hanno sempre sfidato ogni tentativo di una adeguata descrizione, lentamente sorse tra i matematici del XIX secolo l'idea che la questione del significato di questi oggetti come cose sostanziali, se pure ha senso, non lo avesse nel campo della matematica. Le uniche affermazioni rilevanti che li riguardano non si riferiscono alla realtà sostanziale, e stabiliscono soltanto delle relazioni tra gli oggetti matematicamente non definiti e le regole che governano le operazioni con essi. fine Cos'è un numero naturale? Definiamo i numeri naturali!! Nel campo della scienza,matematica, non si può e non si deve discutere ciò che i punti, le rette, i numeri sono effettivamente: ciò che importa e ciò che corrisponde a fatti verificabili sono la struttura e le relazioni, che due punti determinano una retta, che i numeri si combinano secondo certe regole per formare altri numeri, ecc. Assiomatica di Peano Nel lavoro di sistemazione della matematica, presentava una descrizione assiomatica dell'aritmetica tra tutti i concetti aritmetici a disposizione, se ne scelsero alcuni senza darne una definizione esplicita e si utilizzarono per definire altri concetti. Concetti primitivi tra tutte le proposizioni aritmetiche vere, se ne scelsero alcune che sono accettate senza dimostrazione. Assiomi o postulati fine Assiomatica di Peano fine Nel lavoro di sistemazione della matematica, presentava una descrizione assiomatica dell'aritmetica Concetti primitivi Assiomi o postulati Perché scegliere alcuni concetti senza definirli? Non si può definire ogni concetto? un caso forse noto: Euclide e la geometria fine Assiomatica di Peano Concetti primitivi 0 Sc Assiomatica di Peano Assiomi o postulati fine fine Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Lo zero è un numero Ogni numero ha un successivo ed uno solo Lo zero non è successivo di alcun numero Se due numeri hanno successivi uguali, allora sono uguali Principio d'induzione matematica Definizione operazioni Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Lo zero è un numero fine Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Ogni numero ha un successivo ed uno solo fine Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Lo zero non è successivo di alcun numero fine Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Se due numeri hanno successivi uguali, allora sono uguali fine Assiomatica di Peano Assiomi o postulati Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ). Principio ( o metodo) d'induzione matematica fine Assiomatica di Peano La definizione delle operazioni addizione Addizione moltiplicazione + per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero naturale a + b in modo che valgano le due proprietà seguenti: •a+0=a • a + Sc(b) = Sc(a + b) fine Assiomatica di Peano La definizione delle operazioni addizione Moltiplicazione moltiplicazione x per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero naturale a x b in modo che valgano le due proprietà seguenti: •ax0=0 • a x Sc(b) = (a x b) + a fine
