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I NUMERI NATURALI
DIMENSIONE
EPISTEMOLOGICA
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Cos'è un numero naturale?
Definiamo i numeri naturali!!
Euclide
Frege
Definizioni dal Libro VII degli Elementi:
Unità è ciò secondo cui ogni cosa è detta uno
Enriques
Numero è la moltitudine composta di unità
Peano
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Cos'è un numero naturale?
Definiamo i numeri naturali!!
Euclide
Approccio cardinale
Frege
Enriques
Peano
definizione di numero
naturale come classe
di equivalenza
di insiemi finiti equipotenti
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Cos'è un numero naturale?
Definiamo i numeri naturali!!
Euclide
Frege
Approccio con le grandezze
confronto tra grandezze
Enriques
Peano
omogenee e
unità
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Cos'è un numero naturale?
Definiamo i numeri naturali!!
Euclide
Frege
Approccio ricorsivo
descrizione assiomatica
Enriques
Peano
dell'aritmetica
ciò che studieremo
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Cos'è un numero naturale?
Definiamo i numeri naturali!!
Poiché questi enti (numeri, punti, ecc.) hanno sempre sfidato ogni
tentativo di una adeguata descrizione, lentamente sorse tra i
matematici del XIX secolo l'idea che la questione del significato di
questi oggetti come cose sostanziali, se pure ha senso, non lo avesse
nel campo della matematica. Le uniche affermazioni rilevanti che li
riguardano non si riferiscono alla realtà sostanziale, e stabiliscono
soltanto delle relazioni tra gli oggetti matematicamente non definiti e
le regole che governano le operazioni con essi.
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Cos'è un numero naturale?
Definiamo i numeri naturali!!
Nel campo della scienza,matematica, non si può e non si deve
discutere ciò che i punti, le rette, i numeri sono effettivamente: ciò
che importa e ciò che corrisponde a fatti verificabili sono la struttura
e le relazioni, che due punti determinano una retta, che i numeri si
combinano secondo certe regole per formare altri numeri, ecc.
Assiomatica di Peano
Nel lavoro di sistemazione della matematica,
presentava una descrizione assiomatica
dell'aritmetica
tra tutti i concetti aritmetici
a disposizione, se ne
scelsero alcuni senza darne
una definizione esplicita e si
utilizzarono per definire
altri concetti.
Concetti
primitivi
tra tutte le proposizioni
aritmetiche vere, se ne
scelsero alcune che sono
accettate senza
dimostrazione.
Assiomi o
postulati
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Assiomatica di Peano
fine
Nel lavoro di sistemazione della matematica,
presentava una descrizione assiomatica
dell'aritmetica
Concetti
primitivi
Assiomi o
postulati
Perché scegliere alcuni concetti senza definirli?
Non si può definire ogni concetto?
un caso forse noto: Euclide e la geometria
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Assiomatica di Peano
Concetti
primitivi
0
Sc
Assiomatica di Peano
Assiomi o
postulati
fine
fine
Assiomatica di Peano
Assiomi o
postulati
Lo zero è un numero
Ogni numero ha un successivo ed uno solo
Lo zero non è successivo di alcun numero
Se due numeri hanno successivi uguali,
allora sono uguali
Principio d'induzione matematica
Definizione
operazioni
Assiomatica di Peano
Assiomi o
postulati
Lo zero è un numero
fine
Assiomatica di Peano
Assiomi o
postulati
Ogni numero ha un successivo ed uno solo
fine
Assiomatica di Peano
Assiomi o
postulati
Lo zero non è successivo di alcun numero
fine
Assiomatica di Peano
Assiomi o
postulati
Se due numeri hanno successivi uguali,
allora sono uguali
fine
Assiomatica di Peano
Assiomi o
postulati
Il metodo si compone di due passi:
1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di
solito, si prova per M = 0 o M = 1)
2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale
m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:
Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la
proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo
per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).
Principio ( o metodo) d'induzione matematica
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Assiomatica di Peano
La definizione delle operazioni
addizione
Addizione
moltiplicazione
+
per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero
naturale a + b in modo che valgano le due proprietà
seguenti:
•a+0=a
• a + Sc(b) = Sc(a + b)
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Assiomatica di Peano
La definizione delle operazioni
addizione
Moltiplicazione
moltiplicazione
x
per ogni coppia (a,b) di numeri naturali associa il numero
naturale a x b in modo che valgano le due proprietà
seguenti:
•ax0=0
• a x Sc(b) = (a x b) + a
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