Modelli stellari omologhi

Modelli stellari omologhi
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Equazione di stato di un gas ideale
Il gas stellare è un plasma ionizzato e la distanza tra le particelle è dell’ordine
del raggio atomico, ma maggiore del raggio nucleare (circa 105 volte più
grande). Quindi il materiale si comporta come un gas ideale.
PgasV  nkT  Pgas
n mH k T

V mH 

Pgas  
T

Con n numero di particelle per m3, k costante di Boltzmann, R=k/mH costante
dei gas,  peso molecolare medio pari alla massa media delle particelle in
termini di atomi di H (mH) .
Se teniamo conto della pressione di
radiazione si ottiene:
P
T

aT 4

3
2
Calcolo del peso molecolare medio :
Un calcolo esatto è complesso perchè dipende dalla frazione di ionizzazione
degli elementi nella stella. Si fa una assione semplificatrice: tutto il materiale
della stella è ionizzato. Questa assunzione è giustificata dal fatto che H e He
sono I più abbondanti e nell’interno di una stella sono sicuramente ionizzati
(sulla superficie questo può non essere più valido). Ricordiamo che:
X=frazione di massa di H
Y=frazione di massa di He
Z=frazione di massa di materiali più pesanti
X+Y+Z=1
Allora, in un 1m3 di materiale stellare di densità , c’è una densità di massa X
di H, Y di He, Z di elementi pesanti. In un gas completamente ionizzato:
H dà 2 particelle per mH (1 e- + 1 p+)
He dà 3/4 particelle per mH (una particella  e 2 e– )
Elementi pesanti danno ~1/2 particelle per mH (12C has nucleus plus 6e– = 7/12)
(16O has nucleus plus 8e– = 9/16)
3
2
nH  X
mH
nHe
3
Y
4mH
ma   n mH
1
3
 H 
 He 
per elementi pesanti
2
4
ci sono A/2 e per un atomo con A. Quindi
A
=
2
A/2 +1
e
Z 2
4
Alla fine quindi
2X 3Y
Z
n


m H 4m H 2m H
n

4m H
8X  3Y  2Z  

4m H
6X  Y  2
Ricordando che Z=1-X-Y. Allora il peso molecolare medio totale risulta
(ricordando che  = mn = nmH ):
4

6X  Y  2
P
T

aT

3
4
Questa è un ottima approssimazione eccetto che sulle zone esterne della
stella. Assumendo una composizione solare abbiamo: X=0.747,
Y=0.236, Z=0.017, e quindi ~0.6, cioè la massa media delle particelle
risulta un po’ più di mezza massa del protone.
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Opacità
L’opacità è la resistenza del materiale al flusso di radiazione attraverso di
esso. È causata da tutti I processi che portano all’assorbimento e alla
diffusione dei fotoni.
Sono 4 I processi più importanti:
• Assorbimento da stato legato a stato
legato.
• Da stato legato a libero
• Libero-libero (Bremsstrahlung).
Emissione durante l’avvicinamento e
allontanamento da uno ione
• scattering, collisione di un fotone
con un elettrone (effetto Compton)
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Formula approssimata per l’opacità
C’è bisogno di una equazione per l’opacità per poter risolvere le
equazioni di struttura stellare. Per le stelle in equilibrio termodinamico
con un flusso di energia verso l’esterno lento, si ha:
  (,T,chemical composition)
Sommando tutti I coefficienti relativi alle interazioni, si ottiene
un’espressione relativamente semplice:
   0  T 
Dove , sono funzioni che variano lentamente in funzione di densità e
Temperatura. 0 è una costante per una data composizione chimica.
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La figura mostra l’opacità in funzione della
Temperatura per una stella con densità
fissata  (10-1 kgm-3 ). La curva continua
deriva da calcoli numerici, la linea
tratteggiata da formule approssimate di tipo
leggi di potenza.
A alte temperature  è piccola e rimane
costante. La maggior parte degli atomi è
ionizzata, I fotoni sono energetici e
quindi il Bremsstrahlung è poco
probabile. Domina l’effetto Compton che
non dipende da T (==0)
   0 (curva c)
L’opacità è bassa a bassa T e decresce con T. Molti atomi non sono
ionizzati e pochi elettroni sono disponibili per Compton o Bremsstrahlung.
Una formula analitica approssimata dà : =1/2 , =4
1
   0  2T 4 (curva a)
A valori intermedi di Temperatura  ha un picco quando l’assorbimento
legato-libero e il Bremsstrahlung sono importanti e poi diminuisce.
   0 T 3.5 (curva b)
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Modelli stellari omologhi
Il set di equazioni di struttura stellare in funzione della massa m
sono:
dr
1
dL


dM 4r 2 
Con condizioni al contorno:
dM
dP
GM

dM
4r 4
dT
3 R L

dM 64 2 r 4T 3
R=0, L=0 at M=0
=0, T=0 at M=Ms
Possiamo aggiungere adesso 3 relazioni addizionali per P, , 
nell’ipotesi che il materiale della stella si comporti come un gas
ideale con pressione di radiazione trascurabile e leggi di potenza
per l’opacità e la produzine di energia.
P
 T

   0  T 
   0 T 
Dove , ,  sono costanti e 0 e 0 sono
costanti che dipendono dalla composizione
chimica.
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Modelli omologhi
L’obiettivo è quello di formulare le equazioni di struttura stellare in modo
tale da essere indipendenti dalla massa della stella MS. Definiamo m=M /
Ms e assumiamo che
r  M sa1 r  (m)
  M sa   (m)
2
Dove a1, a2, a3, a4, a5, sono costanti e
r, , L, T, P sono funzioni del solo
rapporto di mass m
L  M sa3 L (m)
T  M sa4T  (m)
P  M sa5 P (m)
Ad esempio la luminosità in
funzione di m
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Se sostituiamo le 5 precedenti equazioni nelle equazioni di struttura
stellare e imponiamo la condizione che le risultanti equazioni siano
indipendenti da MS otteniamo: 1) 5 equazioni per le 5 costanti a1, a2, a3,
a4, a5. 2) equazioni di struttura indipendenti da MS
4a1  a5  2
Queste equazioni possono essere
risolte per tutti I valori (ragionevoli) di
, ,  . La soluzione generale è
complessa ma ci sono delle soluzioni
particolari più semplici.
3a1  a2  1
a3   a4  a2  1
4a1  (4   )a4   a2  a3  1
a5  a2  a4
Le equazioni di struttura diventano:
dr 
1

dm 4 r 2  

dP
Gm

4
dm
4 r 

dL
  0  T 
dm


P 
 T 

(   3)
3 0  T
L
dT

dm
64 2 r 4

Con condizioni al contorno:
r*=0, L*=0 at m=0
*=0, T*=0 at m=1
Queste equazioni
possono essere
risolte al computer
per calcolare r*,
*, L*, T* e P* da
cui poi si ricavano
r, , L, T e P per
una stella di
massa MS
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Modelli stellari omologhi.
Senza risolvere completamente le equazioni di struttura stellare omologhe, è
possibile derivare relazioni massa-luminosità per stelle di sequenza principale e
anche una semplice relazione luminosità-temperatura effettiva. Queste
possono essere confrontate con le osservazioni.
Relazioni M-L e L-Te :
Dalla definizione di equazioni omologhe si ottiene immediatamente che:
L  M sa3 L (m)
Ls  M sa3
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Inoltre sappiamo che la luminosità e la Te sono legate al raggio della stella dalla
equazione:
L 4 R 2 Te4
Se combiniamo questa equazione con
Si ottiene:
Infatti:

r  M sa1 r (m)
L  M sa 3 L (m)
LS  Te
4 a3
a3  2 a1
2 a1  a3
a3
S
L* (1)  4 M S2 aa r  (1)2  Te 4  kM S2 a1 a3 T 4  kL
T4
 LS  T
4 a3
a3  2 a1
Le stelle si trovano quindi nel diagramma HR con una relazione del tipo
logLs – logTe che può essere identificata con la sequenza principale.
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I modelli omologhi prevedono quindi che la relazione massa luminosità sia del
tipo legge di potenza e che esiste una struttura nel diagramma HR dove si
trovano le stelle in seuqneza principale. Tuttavia, dobbiamo confrontare le
predizioni teoriche del modello con I dati osservativi. Bisogna quindi risolvere
le 5 equazioni:
4a1  a5  2
3a1  a2  1
a3  a4  a2  1
4a1  (4   )a4  a2  a3  1
a5  a2  a4
Per l’opacità, per temperature intermedie si ha che =1 e =-3.5 mentre
una approssimazione ragionevole per la produzione di energia dalla
catena PP è data da: =4.
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Allora:

 0
T 3.5
  0 T 4
Sostituendo =1, =-3.5 e =4 nelle equazioni algebriche precedenti si ottiene:
4a1  a5  2
3a1  a
2 1
a3  4a4  a2  1
4a1  7.5a4  a2  a3  1
a5  a2  a4
RIsolvendo queste equazioni di ottiene:
71
a3 
13
1
a1 
13
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Se sostituiamo questi risultati nelle equazioni per M-L e L-Te otteniamo:
LS  M
5.46
s
LS  T
4.12
e
La relazione Massa-Luminosità osservata non è una semplice legge
di potenza, ma nella parte centrale, approx. intorno ad una massa
solare, in effetti può essere vista come una legge di potenza con
esponente di circa 5. Questo è in buon accordo con le previsioni del
modello. Allo stesso modo la parte bassa della sequenza principale
nel diagramma HR per L-Te è ben rappresentata da una legge di
potenza con esponente pari a circa 4.1. In definitiva, abbiamo
verificato teoricamente le relazione osservativa tra Massa e
Luminosità per stelle di sequenza principale e, in particolare,
l’esistenza di una sequenza principale.
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Conclusioni:
Con delle scelte opportune della:
1) Equazione di stato per il gas stellare
2) Opacità
Introducendo inoltre l’ipotesi che le equazioni siano
scalabili con la massa della stella Ms si sono ottenute
le equazioni omologhe di struttura stellare.
Queste hanno portato a delle relazioni MassaLuminosità e Massa-Temperatura efficace che sono
in buon accordo con le osservazioni per stelle di tipo
solare.
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