Equadiff a coefficienti costanti

EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
LINEARI A
COEFFICIENTI
COSTANTI
Argomenti della lezione
 Equazioni lineari con
coefficienti costanti.
Termini noti di tipo
particolare. Oscillazioni
forzate
 Accenno ai sistemi
EQUAZIONI
LINEARI CON
COEFFICIENTI
COSTANTI
Consideriamo un’equazione d’ordine
n completa con coefficienti costanti
y(n) + a1 y(n-1) + … + an y = b(x)
Qui i coefficienti a1 , … , an sono
numeri reali, mentre b(x) è una
funzione che in generale è supposta
continua
L’equazione omogenea associata è
y(n) + a1 y(n-1) + … + an y = 0
Si dice polinomio caratteristico il
polinomio
P(z) = zn + a1 zn-1 + … an-1 z + an
L’equazione
zn + a1 zn-1 + … an-1 z + an = 0
si dice equazione caratteristica
Siano a1, a2, …, ar, le radici reali
dell’equazione caratteristica, di
molteplicità m1, m2, … , mr; siano
poi b1, b2, …, bs e b1, b2, …, bs le
radici complesse e le complesse
coniugate, ciascuna di molteplicità
n1, n2, … , ns.
Allora
P(z) = (z- a1)m  ... (z- ar)
1
mr

(z - b1)n  (z - b1)n … (z - bs)n (z - bs)n
1
1
s
Ricordiamo che se b = a + i b,
allora b = a - i b.
s
Analogamente alla fattorizzazione
del polinomio P(z), si può pensare
a una fattorizzazione dell’operatore
differenziale che dà l’equazione
omogenea
L(y) = y(n) + a1 y(n-1) + … + an y =
(D - a1I)m  ... (D - arI) m 
1
r
(D - b1I)n  (D - b1I)n …
1
1
(D - bsI)n (D - bsI)n y = 0
s
s
È facile vedere che se  e  sono due
numeri reali o complessi e y(x) è una
funzione due volte derivabile
(D - I) (D - I) y = (D - I) (D - I) y =
[D2 –( + ) D +  I] y =
= y” –( + )y’ +   y
Dunque la fattorizzazione di L(y) ha
senso, poiché si può pensare fatta in
un ordine arbitrario
Se y soddisfa (D - I) y = 0 oppure
(D - I) y = 0, allora è anche
y” –( + )y’ +   y = 0.
Dunque ogni soluzione di
(D - I)p y = 0 dove  è uno degli ai o
uno dei bk, è una soluzione dell’
equazione omogenea.
Se p=1, è facile riconoscere che
una soluzione di (D - I) y = 0 è data
da
y=e
x
= exp( x)
Se  è un numero reale allora la
funzione è un esponenziale a valori
in R. Se  = c + i d, la soluzione,
grazie alle formule d’Eulero, si
scrive
e(c+id)x = ecx (cos d x + i sen d x)
In questo caso anche c – i d è
soluzione del polinomio
caratteristico e perciò anche
e(c-id)x = ecx (cos d x - i sen d x)
è soluzione dell’equazione
differenziale. Poiché l’equazione
è lineare, anche una loro
combinazione lineare è soluzione.
Dunque sono soluzioni relative a
radici complesse coniugate dell’
equazione caratteristica
ecx cos d x = [e(c+id)x + e(c-id)x ]/2
ecx sen d x = [e(c+id)x - e(c-id)x ]/(2i)
Queste soluzioni hanno il
vantaggio di essere date da
funzioni a valori reali.
Che cosa si può dire se p > 1 ?
Si osserva che, in generale,
(D - I) (xk ex) = k xk-1 ex
se k  1
(D - I)2 (xk ex) = k(k-1) xk-2 ex
se k  2
E quindi
(D - I)n (xk ex) = 0 se k < n
Dunque sono soluzioni dell’
equazione omogenea le seguenti
funzioni
e
a1x,
xe
a1x,
… , x(m -1) e
1
a1 x
………………………………….
e
ar x,
xe
ar x,
… , x(m -1) e
r
ar x
relative alle soluzioni reali del
polinomio caratteristico;
Se bk = ak + i bk si trovano le
seguenti soluzioni
e a x cos(b1x), x e a x cos(b1x), … ,
x(n -1) e a x cos(b1x)
1
1
1
1
e a x sen(b1x), x e a x sen(b1x), … ,
x(n -1) e a x sen(b1x)
1
1
1
1
……………………………………………..
ea x cos(bsx), x ea x cos(bsx), … ,
x(n -1) ea x cos(bsx)
s
s
s
s
ea x sen(bsx), x ea x sen(bsx), … ,
x(n -1) ea x sen(bsx)
s
s
s
s
Tutte le funzioni qui ricordate sono
lin. indip. su tutto R. Dunque
ogni soluzione dell’equazione
omogenea è combinazione lineare
delle funzioni presentate in
precedenza. Naturalmente deve
valere la relazione
n = m1 + m 2 + … + mr +
2(n1+ n2 +… + ns)
Esempio
Si trovi l’integrale generale di
y(4) –2y’” + 2y” –2y’ + y = 0
L’equazione caratteristica è
z4 –2 z3 + 2 z2 –2 z + 1 = 0
Ossia
(z –1)2 (z2 + 1) = 0
Le radici sono z1 =1 di molteplicità
2 e z2 = i, z3 = -i che sono semplici
Quindi le seguenti sono le quattro
soluzioni linearmente indipendenti
dell’equazione omogenea
y1 = ex , y2 = x ex
y3 = cos x , y4 = sen x
La soluzione generale è
y = c1 ex + c2 x ex + c3 cos x + c4 sen x
Con un’opportuna scelta delle
costanti si può risolvere ogni
problema di Cauchy. Si voglia
trovare la soluzione che soddisfa
le condizioni iniziali
y(0) = 0, y’(0) = -1,
y”(0) = 0, y’”(0) = 1
Si trova
c1 = c2 = c3 = 0, c4 = -1
E quindi
y(x) = - sen x
EQUAZIONE
COMPLETA
Ricordiamo la formula generale che
fornisce un integrale particolare del
sistema completo, specializzandola
al caso di un’equazione d’ordine n.
Ricordiamo la formula generale
Y(x) = U(x)  U (t)  B(t)dt
-1
Ci interessa solo la prima
componente di Y(x). Conviene
ricordare che B(x) = (0,..,0,b(x))T
U(t)-1B(t) =
(b(t)/W(t))(Wn1(t), .. ,Wnn(t))
Qui W(t) = det U(t) , si dice il
wronskiano del sistema
fondamentale
T
E quindi, la prima componente di
U(x) U(t)-1B(t) è
(y1(x)Wn1(t)+ y2(x)Wn2(t)+ .. +
yn(x) Wnn(t)) b(t)/W(t)
In definitiva otteniamo la
seguente formula generale
y1(t)………..yn(t)
y’1(t)………..y’n(t)
……………………..
y1(n-2)(t)….yn (n-2)(t)
y(x) =

y1(x)………..yn(x)
W(t)
b(t) dt
In particolare, per un’equazione
d’ordine 2
y1(t)y2(t)
y(x) =

y1(x)y2(x)
W(t)
b(t) dt
Cioè
y(x) =

y1(t) y2(x)- y1(x)y2(t)
y1(t) y’2(t)- y’1(t)y2(t)
b(t) dt