Campo elettromagnetico
in regime sinusoidale
Correnti impresse sinusoidali, agenti in um mezzo lineare
e stazionario, generano campi sinusoidali oscillanti alla
loro stessa frequenza
E e E(r) e j t
D e D(r) e j t
J 0 e J0 (r) e j t
H e H(r) e j t
B e B(r) e j t
J c e Jc (r) e j t
Equazioni di Maxwell per i fasori
D
H
J c J
t
B
E
t
0
H j D J c J 0
E j B
Equazioni costitutive dei mezzi lineari,
stazionari, isotropi, dispersivi nel tempo
mD
am m
t
pB
cp p
t
r J c
em
s
t
D
n E
a1
a0 D bn n
t
t
B
q H
c1
c0B dq q
t
t
J c
s E
e1
e0J c fs s
t
t
b1
E
b0 E
t
H
d1
d0 H
t
E
f1
f0 E
t
Equazioni costitutive in regime sinusoidale
mD
am m
t
am j D
m
D
n E
a1
a0 D bn n
t
t
E
b1
b0 E
t
j a1 D a0 D bn j E
n
j b
D
j a
m
n
n
m
j b1 b0
E
j a1 a0
Analogamente:
j d
B
j c
q
j d1 d0
p
j c1 c0
q
p
j f
j e
s
Jc
r
m
s
H
j f1 f0
E
j e1 e0
j b1 E b0 E
In regime sinusoidale
• le equazioni costitutive, scritte per i fasori, assumono
forma algebrica, anche nel caso di mezzi dispersivi nel
tempo;
• D, B e Jc sono variabili dipendenti da E e da H
attraverso “funzioni di trasferimento”, generalmente
complesse e dipendenti dalla frequenza;
• D, B e Jc possono essere eliminati dalle equazioni
fondamentali
Eliminazione di D, B, Jc
Jc
H j D J c J 0 j D
J0
j
Jc
D
E
j
j b
j a
n
m
n
m
E j B
B H
j b1 b0
1 j fs
r
j a1 a0 j j em
s
j f1 f0
j e1 e0
(permittività elettrica complessa)
j d
j c
q
j d1 d0
p
j c1 c0
q
p
(permeabilità magnetica complessa)
“Equazioni di Maxwell” in regime sinusoidale
H j E J 0
E j H
Poiché i rotori sono solenoidali, le equazioni ai rotori
implicano le equazioni alle divergenze
J0
E =
0 (densità della carica impressa)
j
H = 0
Se non dipende dalla posizione
E = 0
0
E =
Se non dipende dalla posizione
H = 0
H = 0
Se il mezzo è omogeneo il campo magnetico è solenoidale.
In assenza di cariche impresse anche il campo elettrico è
solenoidale.
Condizioni sulle
superfici di
discontinuità
n̂ H H J
n̂ E E 0
E ,H ,B ,D
n̂
E ,H ,B ,D
S
n̂ H H JS
n̂ E E 0
Sostituiscono le equazioni di Maxwell sulle superfici di
discontinuità
Spettri elettrici e magnetici dei materiali
0 j
0 j
( )
( )
spettro elettrico
( )
( )
spettro magnetico
Esempio 1 - Spettro elettrico dell’acqua
Esempio 2 - Isolanti non-polari e semiconduttori
fino ad alcune decine di gigahertz
D 0 r E
D 0 r E
J c E
Jc E
Jc
D
0 r
E
j
j
r
0
Esempio 3 - Conduttori metallici ad alta conducibilità
fino ad alcune migliaia di gigahertz
Materiale
Conducibilità [S/m]
Argento
Rame
Alluminio
Bronzo
6.289 107
5.714 107
3.3 107 – 3.57 107
4.0 107 – 5.5 107
Jc
D
0 r
E
E
j
j
j
0
0
Esempio 4 - Plasma freddo
D 0E
D 0 E
J c
J c 2p 0 E
t
j Jc 2p 0 E
2p
Jc
D
0 1
E
j
j j
2p
0 1
j j
2p 0
Jc
E
j
Esempio 4bis - Plasma freddo senza collisioni
Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di
collisione ( >> ) l’effetto delle collisioni può essere
trascurato (plasma senza collisioni). Si ha:
2p
2p
0 1
0 1 2
j j
2p
1 2
0
Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di
plasma si ha ≈ 0. L’effetto della ionizzazione tende a
scomparire.
Esempio 5 - Spettro magnetico di una ferrite
Grandezze energetiche
in regime sinusoidale
Le grandezze energetiche dipendono da prodotti scalari o
vettoriali di campi.
Esempi:
E J
J
2
J J
0 E2
2
0E E
2
Se si considerano due vettori sinusoidali
F < e Fe j t
G < e Ge j t
si ottiene
F G*
F G j 2 t
F G < e
<e
e
2
2
F G*
F G j 2 t
F G <e
<e
e
2
2
E H
F G*
F G j 2 t
F G < e
<e
e
2
2
F G
F G*
F G <e
2
t
T
2
Molti degli effetti macroscopici dell’interazione
elettromagnetica in regime sinusoidale dipendono dai
valori medi delle grandezze energetiche
F G*
F G <e
2
FG
F G <e
2
Esempi:
*
J
2
c
Jc
Jc Jc Jc Jc
e
2
2
2
*
*
E H*
E H <e
< eS
2
S
E H*
2
2
densità media di potenza
termica sviluppata per
effetto Joule
densità media del flusso di potenza
elettromagnetica
densità di potenza complessa
Bilancio energetico per i valori medi
D
B
E
H
E J c J
t
t
0
dV
V
S n̂ dSV
SV
E J
0
dV
V
V
D
E
J dV
t
V
B
H
t
dV
SV
S n̂ dSV
E J
0
E J 0*
e
2
E H*
S e
eS
2
*
E j E *
E j D Jc
D
E
J c e
e
2
2
t
E - j 0 j E*
e
2
E
2
0
2
H j B *
H j H * 0 H 2
B
H
e
e
t
2
2
2
Bilancio delle potenze medie
n̂
potenza “generata” dalle
correnti impresse
e
V
*
E J0
2
dV
0 E 2 0 H 2
dV
2
2
V
potenza dissipata
(perdite elettriche + perdite magnetiche)
V
J0
SV
e S n̂ dSV
SV
potenza “uscente”
Se le correnti impresse sono distribuite su lamine l’integrale di
volume viene sostituito da un analogo integrale di superficie
Densità della potenza dissipata
Wdiss
0 E
2
2
0 H
2
2
[W/m 3 ]
La potenza dissipata per perdite elettriche o magnetiche
non può essere negativa. Pertanto
0
0
In un mezzo ideale “senza perdite”
0
