Equazioni di 2° grado
Forma normale
Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma
normale o canonica se è nella forma
ax2+bx+c=0
con a, b e c reali e a≠0
3x2+2x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta
in forma normale (a=3, b=2 e c=-5)
In una equazione scritta in forma normale il primo
termine è di 2° grado ed a è detto coefficiente del
termine di 2° grado, il secondo termine è di 1°
grado e b è detto coefficiente del termine di 1°
grado il terzo termine, di grado zero, è detto
termine noto
Riduzione a forma normale
Se una equazione non è scritta in
forma normale la prima cosa da fare
è quella di riportarla in tale forma
attraverso l’effettuazione di
operazioni e passaggi dal 2° al 1°
membro dell’uguaglianza
Esempio:
4x-2=3(x2–x)↔
4x-2=3x2–3x↔
-3x2+7x-2=0
Soluzioni
Le soluzioni di una equazione di 2° grado,
dette anche zeri o radici, sono sempre 2
e sono quei valori che sostituiti alla
incognita x rendono l’equazione una
identità
x=1 e x=2 sono soluzioni per l’equazione
x2–3x+2=0
infatti 12–3+2=0 e 22–6+2=0
Equazioni incomplete
Se manca il termine di primo grado
o il termine noto o entrambi
l’equazione si dice incompleta
Le equazioni incomplete si
suddividono in
Spurie
Pure
Monomie
Spurie
Una equazione di secondo grado in
cui manchi il termine noto (cioè
quella in cui è c=0) si dice spuria
2x 4x 0
2
ax 2 bx 0
Una equazione spuria ha 2 soluzioni di cui una è 0 e
l’altra –b/a nell’esempio -2
Pure
Una equazione di secondo grado in cui
manchi il termine di 1° grado (cioè quella
in cui è b=0) si dice pura
3 x 12 0
2
ax 2 c 0
Una equazione pura ha 2 soluzioni opposte ±√(c/a)
nell’esempio ±2
Monomie
Una equazione di secondo grado in cui
manchi il termine di 1° grado e il
termine noto (cioè quella in cui è
a=b=0) si dice monomia
2x 0
2
ax 2 0
Una equazione monomia ha 2 soluzioni entrambe uguali a
zero
Discriminante
Si chiama discriminante di una
equazione di 2° grado, e si indica con
Δ, l’ espressione b2-4ac
b 4ac
2
Formula risolutiva
Le soluzioni si ricavano dalla formula
x1, 2
Che si può anche esprimere
b
2a
b b 2 4ac
x1, 2
2a
La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete
Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta,
dividendo numeratore e denominatore per 2
b
4
x1, 2 2
a
2
b
b
ac
2
2
x1, 2
a
Soluzioni: casistica
Se Δ>0 le soluzioni sono 2, reali e
distinte
Se Δ=0 le soluzioni sono 2, reali e
coincidenti
S={(-b+√Δ)/2a, (-b-√Δ)/2a}
S={-b/2a}
Se Δ<0 le soluzioni non esistono
S={Ø}
Se a e c sono discordi il discriminante è
sicuramente positivo (non vale il viceversa)
Esempio 1
2x 5x 3 0
25 4 3 2 1 0
2
2 soluzioni diverse
x1, 2
3
x1
5 1
2
22
x2 1
Esempio 2
4 x 2 20 x 25 0
formula ridotta
100 25 4 0
4
2 soluzioni coincident i
b
10 5
2
x1, 2
a 4 2
Esempio 3
2x2 2x 5 0
4 4 5 2 36 0
nessuna soluzione
Esempio 4
x2 6x 7 0
formula ridotta
9 (7) 16 0
4
2 soluzioni diverse
x1, 2 3 16
x1 7
x2 1
Casi particolari
In certi casi ci si può trovare di
fronte al prodotto di più polinomi di
grado minore o uguale a 2
uguagliato a zero: non conviene
eseguire le operazioni, ma
scomporre l’equazione in più
equazioni alternative sfruttando la
proprietà dell’annullamento del
prodotto
Esempio 5
x
2
4 3x 2 6 x 1 0 x 2 4 0 3x 2 6 x 1 0
la prima equazione è spuria con soluzioni x1, 2 2
la 2
a
ha
9 3 (1) 12 0
4
2 soluzioni diverse
x3, 4
3 12
3
3 2 3
x3
3
3 2 3
x4
3
Equazioni frazionarie
Nelle equazioni frazionarie, una
volta ridotte a forma normale
eliminando i denominatori, è
necessario scartare le radici che
annullano il m.c.m. dei
denominatori, se entrambe le radici
sono da scartare, l’equazione è
impossibile.
Esempio 6
x
3
6
2
0 m.c.m. ( x 1)( x 1)
x 1 x 1 x 1
x x 1 3( x 1) 6 0 x 2 x 3 x 3 6 0 x 2 2 x 3
tra le soluzioni non s ' accetta 1 che annullano l ' m.c.m.
formula ridotta
1 (3) 4 0
4
2 soluzioni diverse
x1, 2 1 4
x1 3
x2 1
tra le soluzioni non s ' accetta 1
Equazioni a coefficienti letterali
Nel caso nell’equazione compaiano lettere
occorre verificare che Il loro valore
Non renda il discriminante negativo
(condizione di realtà)
Non azzeri alcun denominatore (condizione di
possibilità)
Nel caso si annulli il coefficiente del termine di
2° grado si avrà una sola soluzione
Questo procedimento si chiama
discussione dell’equazione
Esempio 7
2 x 2 4ax a (2a 1) 0
formula ridotta
4a 2 2a (2a 1) 2a
4
2 soluzioni diverse se a 0
x1, 2
2a 2a
2
2 soluzioni coincident i se a 0
x1, 2 a
nessuna soluzione se a 0
Esempio 8
x 2 ax 1 0
a 4 0 valore di a
2
2 soluzioni diverse
a a 4
2
2
x1, 2
Relazioni tra coefficienti e soluzioni di
equazioni di 2° grado
Tra i coefficienti e le soluzioni di una equazione di 2°
grado con Δ≥0 esistono le relazioni
b
x1 x2
a
c
x1 x2
a
Relazioni tra coefficienti e soluzioni di
equazioni di 2° grado
Per definizione x1 e x2 sono soluzioni
dell’equazione
(x-x1)(x-x2)=0 e quindi di x2-(x1+x2)x+x1x2
Viceversa 2 numeri ci cui si conosca somma
e prodotto sono soluzioni di x2-sx+p dove s
e p sono somma e prodotto dei numeri dati
Il trinomio ax2+bx+c, se ha soluzioni, si può
scomporre come a(x-x1)(x-x2) se Δ>0
oppure come a(x-x1)2=a[x+b/(2a)]2 se Δ=0
Teorema di Cartesio
Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno le soluzioni sono
negative
Se solo il coefficiente del termine di 1° grado è negativo le
soluzioni sono positive
Se solo il coefficiente del termine di 2° grado è positivo le
soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è
positiva
Se solo il termine noto è negativo le soluzioni sono discordi e
quella maggiore in valore assoluto è negativa
a
b
c
p=c/a
s= -b/a
x1
x2
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
+
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
+
+
-
+
+
-
-
-
-
+
Esempio 9
Data l’equazione 2x2-3x+1
determinare somma e prodotto
delle radici senza risolvere
l’equazione
s=-b/a=3/2
p=c/a=1/2
Esempio 10
Trovare l’equazione di 2° grado
avente per soluzioni -1/2 e 2/3
x2-sx+p quindi x2-x/6-1/3 ed
eliminando i denominatori
6x2-x-2
Esempio 11
Determinare 2 numeri sapendo che la
loro somma è 2m e il loro prodotto m2-4
Deve essere x2-2mx+m2-4=0 cioè
x1, 2 m m m 4 m 2
2
2
Equazioni parametriche
Si dice parametrica una equazione avente
almeno un coefficiente dipendente da una
o più lettere dette parametri
Esempio: x2+3mx+m-1=0 al variare di m
si hanno diverse equazioni e quindi
diverse soluzioni
Se m=0 x2-1=0
Se m=1 x2+3x=0
Se m=2 x2+6x+1=0
S={-1,+1}
S={-3,0}
S={-3±√2}….
?
Questione fondamentale è
determinare i valori dei parametri
che soddisfano determinate
condizioni
Esempio 12 a
2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia radici coincidenti
Deve essere Δ=0 quindi
(k 1) 2 16 0 k 2 2k 1 16 0
k 2k 15 0 k1, 2
2
5
1 1 15
3
Esempio 12 b
2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia una radice nulla
L’equazione ha radice nulla se spuria (c=0)
Quindi ma c=2 quindi per nessun valore di
k il termine noto è nullo
Esempio 12 c
2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia radici opposte
Ciò avviene quando l’equazione è pura cioè
b=0
(k 1) 0 k 1
Esempio 12 d
2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia radici reciproche
Deve essere
1
c
x1 x1 x2 1 1
x2
a
poichè ciò è vero vale k
Esempio 12 e
2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
La somma delle radici dell’equazione sia 3
Deve essere
b
k 1
x1 x2 3
3 k 7
a
2
Esempio 12 f 2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
Il prodotto delle radici dell’equazione sia 4
Deve essere
c
c
x1 x2 4 impossibil e perchè
1
a
a
Esempio 12 g
2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
La somma dei quadrati delle radici dell’equazione sia 7
Deve essere
x12 x22 7 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 7
2
c
b 2 2c
b
7
2 7 2
a
a
a
a
(k 1) 2 4
7 (k 1) 2 5 4
4
2
k 2 2k 1 20 0 k 2 2k 19 0
k1, 2 1 1 19
2x2–(k-1)x+2=0
Esempio 12 h
Determinare per quali valori di k
La somma dei reciproci delle radici
dell’equazione sia 4
x1, 2 m m m 4 m 2
2
2
