Le funzioni di probabilità

Probabilità 03 - 1 / 41
Lezione 4
Probabilità
Probabilità 03 - 2 / 41
Nella prima parte ...
La definizione
frequentista della
probabilità:
La definizione classica
della probabilità:
La definizione
assiomatica della
probabilità:
assiomi di
Kolmogoroff
P E   0
P S   1




P 
i 1
P
P
s
E  
n
E  A

Ei  


P
i 1
nE
E   Nlim
 N
Ei 
Probabilità 03 - 3 / 41
Nella seconda parte…
Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che:
– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,
– ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,
– soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff
P E   0
• P S   1
•
E  A
• se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi
dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene
allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari
alla somma delle probabilità dei singoli eventi:
P





i 1

Ei  


P
i 1
Ei 
Probabilità 03 - 4 / 41
Variabile casuale
definizione:
La variabile casuale X è una funzione avente come dominio
lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato
che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.
requisito:
l’insieme di tutti gli elementi
s S tali che la loro
immagine X(s) sia minore
di un determinato x R
deve essere un evento.
x2  E = { s1, s3 }
Probabilità 03 - 5 / 41
Variabile casuale
“Mappatura” di S
(C,C)

0
(T,C)

1
(C,C)

2
Probabilità 03 - 6 / 41
Popolazione oggetto
• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli
elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.
• Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda
che sia composta da un numero finito o infinito di elementi
(persone, oggetti, misure, osservazioni, …)
• Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli
elementi della popolazione oggetto
che sono classificabili come
“grandezze misurabili”
(numerali, razionali,
strumentali, selettive,
complesse).
Probabilità 03 - 7 / 41
Dalla popolazione oggetto
alla variabile casuale
Caratteristica
comune della
popolazione
oggetto
Misure della
caratteristica
comune della
popolazione oggetto
Valori della
variabile casuale X
con
dimensione fisica
con
unità di misura
adimensionale
Probabilità 03 - 8 / 41
Dallo spazio campione
alla retta reale
tramite la variabile casuale
definizione:
La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo
spazio campione S e come codominio la retta reale,
fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] )
in cui si opera.
convenzione:
Indicheremo con
X(s) la variabile
casuale e con
x i valori che
essa assume
Probabilità 03 - 9 / 41
Sommario
• I modelli della popolazione oggetto
– grandezza caratteristica
– introduzione ai modelli della popolazione oggetto
• funzione “di probabilità cumulativa”
• funzione “densità di probabilità”
– variabili casuali discrete
– variabili casuali continue
• I parametri dei modelli
– i valori attesi
– i quantili
• La distribuzione normale
– la distribuzione di Gauss
– la distribuzione normale “standardizzata”
Probabilità 03 - 10 / 41
parte 3 (segue)
Le funzioni di
probabilità
Probabilità 03 - 11 / 41
Modelli della popolazione oggetto
Le funzioni di probabilità, cioè la
– densità di probabilità fX ( x ) e la
– distribuzione cumulativa di probabilità
FX
( x ),
sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la
popolazione oggetto per quanto è attinente al
valore (della misura) della caratteristica comune.
Probabilità 03 - 12 / 41
Variabili casuali
continue
Probabilità 03 - 13 / 41
Funzione di distribuzione cumulativa
La “funzione di distribuzione cumulativa FX ( x )” può essere
concepita sia con riferimento a variabili casuali discrete, sia con
riferimento a variabili casuali continue.
In entrambi i casi la FX ( x ):
• ha per dominio l’asse reale,
• per codominio l’intervallo chiuso [ 0 , 1 ],
• ed è definita come:
FX ( x ) = P
[X x ] =P [{s:X(s) x } ]
Probabilità 03 - 14 / 41
Funzione di distribuzione cumulativa
• La funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ), nel caso di una
variabile casuale X di tipo continuo, presenta un andamento
diverso da quello già visto nel caso discreto:
Probabilità 03 - 15 / 41
Funzione di densità di probabilità
definizione:
Data una variabile casuale continua X si dice
“ funzione di densità di probabilità di X ” o “ funzione di densità ”
quella funzione fx ( x ) per cui:
x
F
X
(x) 

f X u  du

ricordiamo che se X è discreta:
la funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) è legata alla funzione
di densità discreta fX dalla relazione:
F
X
(x)

 f x 
X
j: x j  x
j
Probabilità 03 - 16 / 41
Funzione di densità di probabilità
• La funzione di densità di probabilità fX ( x ) è
una funzione da R nell’intervallo chiuso [ 0,1 ]
che gode delle seguenti proprietà:
•
f X x  0, x R

•


f X x  dx  1
Probabilità 03 - 17 / 41
I parametri
dei modelli della
popolazione oggetto
Probabilità 03 - 18 / 41
Modello della popolazione
• Le funzioni di densità di probabilità fX ( x ) e distribuzione
cumulativa FX ( x ) sono “modelli matematici” con cui si cerca
di descrivere la popolazione per quanto è attinente alla
caratteristica comune.
Probabilità 03 - 19 / 41
Parametri della distribuzione
• Le funzioni di densità di probabilità fX ( x ) e distribuzione
cumulativa FX ( x ), oltre ad essere funzione della variabile X,
dipendono anche da altri parametri.
• Questi parametri, di regola
legati a quelli che si
definiscono “valori attesi”,
rivestono grande importanza
nella caratterizzazione della
forma della distribuzione.
• I principali parametri di una distribuzione sono:
– la media
– la varianza
Probabilità 03 - 20 / 41
Media
definizione:
Si definisce “media” (o “valore atteso”) della variabile casuale X
la funzione:

X 

x f X  x  dx

X 

x j f X x j 
j 1
N
X 

j 1
xj
N
• X variabile casuale continua
con funzione di densità fX ( x )
• X variabile casuale discreta con punti
massa x1 , x2 , … , xn , …
e con funzione di densità discreta fX
• X variabile casuale discreta con punti
massa x1 , x2 , … , xn , … equiprobabili
Probabilità 03 - 21 / 41
Varianza
definizione:
Data una variabile casuale X con media X si definisce
“varianza” la funzione:
var X  


x   X 
2
f X  x  dx

var X  
 x
  X  f X x j 
2
j
j 1
var X  

N
j 1
x
j
 X 
N
• X variabile casuale continua con
funzione di densità fX ( x )
• X variabile casuale discreta con
punti massa x1 , x2 , … , xn , …
e funzione di densità discreta fX
2
• X variabile casuale discreta con
punti massa x1 , x2 , … , xn , …
equiprobabili
Probabilità 03 - 22 / 41
Scarto quadratico medio
definizione:
si definisce “scarto quadratico medio” o “deviazione standard”
la radice quadrata (positiva) della varianza:
 X  var X 
Probabilità 03 - 23 / 41
Quantili
definizione:
il quantile q-esimo xq di una variabile casuale continua X
è il più piccolo valore x  R tale che F
x =q
X ( q)
Probabilità 03 - 24 / 41
Quantili
il quantile q-esimo xq di una variabile casuale continua X
è il più piccolo valore x  R tale che F
x =q
X ( q)
la definizione specifica che il quantile è “il più piccolo …”
e non “il valore …” per poter avere validità
sia con le variabili casuali continue sia con quelle discrete.
Probabilità 03 - 25 / 41
Quartili, percentili
tra i quantili più comunemente usati vi sono i tre quartili Q1, Q2 e Q3 che
hanno la caratteristica di suddividere l’area sottesa dalla funzione di densità
in quattro parti uguali, di modo che ciascuna di queste parti rappresenta il
25% del totale.
i percentili (o, più semplicemente, “centili”) sono quei quantili che
suddividono l’area in cento parti uguali.
Probabilità 03 - 26 / 41
Distribuzione normale
o “di Gauss” ( o “di Laplace” o di “De Moivre” )
Probabilità 03 - 27 / 41
Distribuzione normale
o “di Gauss”
definizione “classica”:
una popolazione con media  e varianza 2 ha
distribuzione normale se la sua densità fX ( x )
può essere espressa nella forma:
fX 
 1
1
x 
exp 
2 
 2
 x 


  
2



Probabilità 03 - 28 / 41
Distribuzione normale
o “di Gauss”
definizione “semantica”:
una popolazione con media  e varianza 2 ha
distribuzione gaussiana se la sua densità fX ( x )
può essere espressa nella forma:
fX 
 1
1
x 
exp 
2 
 2
 x 


  
2



Probabilità 03 - 29 / 41
Distribuzione normale
una popolazione distribuita in modo normale
su cui viene definita una variabile casuale continua X
con media  e varianza 2 può essere modellata mediante una
funzione di densità di probabilità fX ( x ) espressa nella forma:
fX 
 1
1
x 
exp 
2 
 2
 x 


  
2



Probabilità 03 - 30 / 41
Distribuzione normale
la media  e varianza 2 ( o la sua radice quadrata che viene
indicata come scarto quadratico medio  ) costituiscono i
parametri di forma della distribuzione normale in quanto
l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori
di tali parametri:
al variare del valore della media  la fX ( x ) trasla indeformata
Probabilità 03 - 31 / 41
Distribuzione normale
la media  e varianza 2 ( o la sua radice quadrata che viene
indicata come scarto quadratico medio  ) costituiscono i
parametri di forma della distribuzione normale in quanto
l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori
di tali parametri:
al variare del valore della varianza 2 la fX ( x ) si deforma
Probabilità 03 - 32 / 41
Dalla distribuzione normale alla
“normale standard”
• teorema 2.x:
se X è una variabile casuale con distribuzione normale,
media  e varianza 2 , allora la variabile casuale Z
X 
Z

ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.
La densità della Z è pertanto espressa dalla:
fZ  z  
 z2 
1
exp  
2
 2 
Probabilità 03 - 33 / 41
Dalla distribuzione normale alla
“normale standard”
• teorema 2.x:
se X è una variabile casuale con distribuzione normale,
media  e varianza 2 , allora la variabile casuale Z
X 
Z

ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.
Probabilità 03 - 34 / 41
Dalla distribuzione normale alla
“normale standard”
• se X è una variabile casuale con media  , varianza 2 ed ha
distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
x
z

risulta avere:
x
– media Z = 0,



x
1
Z  
f X x  dx    x f X  x  dx    f X x  dx  

  






 x f x  dx    f x  dx
X


X


Probabilità 03 - 35 / 41
Dalla distribuzione normale alla
“normale standard”
• se X è una variabile casuale con media  , varianza 2 ed ha
distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
risulta avere:
x
z

x
– media Z = 0,

x f X x  dx   
  Z 




f
x
dx

1
 X




 x f x  dx    f x  dx
X

X


0
Probabilità 03 - 36 / 41
Dalla distribuzione normale alla
“normale standard”
• se X è una variabile casuale con media  , varianza 2 ed ha
distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
x
z

risulta avere:
– media Z = 0,
var Z  
varianza var [ Z ] = 1,

 z   
2
z





x

 x

f X  x  dx   
 0  f X x  dx 


 
2

x   2
2
f X x  dx 
2


x


f X  x  dx


2
Probabilità 03 - 37 / 41
Dalla distribuzione normale alla
“normale standard”
• se X è una variabile casuale con media  , varianza 2 ed ha
distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
x
z

risulta avere:
– media Z = 0,
x
varianza var [ Z ] = 1,

 x    f x  dx  var X   
2
X


 x    f x  dx
2
var Z  
X

2
2



  var Z   1



Probabilità 03 - 38 / 41
Gli
stimatori
Probabilità 03 - 39 / 41
Popolazione oggetto
• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli
elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.
• Una popolazione può essere finita o infinita a seconda che sia
composta da un numero finito o infinito di elementi (persone,
oggetti, misure, osservazioni, …)
• La caratteristica comune agli elementi della popolazione oggetto
viene, nella maggior parte dei casi, espressa da un numero che
ne rappresenta il valore. Studieremo quindi popolazioni
costituite da insiemi di numeri che rappresentano i valori ottenuti
mediante la misurazione della caratteristica comune agli
elementi della popolazione oggetto, valori che risultano
distribuiti con una densita f [ ·].
Probabilità 03 - 40 / 41
Misurazione della caratteristica comune
• Il valore della caratteristica che accomuna gli
elementi della popolazione campione può essere
determinato con le più diverse procedure di
misurazione: quando le misure non sono tali da
procurare danni agli elementi misurati si può
ipotizzare una prova “a tappeto”, ma quando le
prove possono danneggiare i dispositivi la prova
deve essere condotta “su di un campione”.
Probabilità 03 - 41 / 41
Gli “stimatori”
• Quando non è possibile individuare il valore di un parametro
atteso dall’esame della distribuzione o dall’esame
dell’intera popolazione retta da quella distribuzione
si ricorre ad una
sua stima
esaminando
un campione
di numerosità
limitata con
l’ausilio di una
funzione
matematica
detta “stimatore”.