La gravitazione universale-leggi di Keplero

LA GRAVITAZIONE
Prof. Antonello Tinti
La gravità terrestre
La gravità celeste
La forza di attrazione gravitazionale
Galileo Galilei
(Pisa, 15 febbraio 1564 – Arcetri, 8 gennaio 1642)
Galileo Galilei è stato un fisico, filosofo, astronomo e matematico italiano, considerato il padre
della scienza moderna.
Il suo nome è associato ad importanti contributi in dinamica e in astronomia - fra cui il
perfezionamento del telescopio –
e all'introduzione del metodo scientifico.
Sospettato di eresia e accusato di voler sovvertire la filosofia naturale aristotelica e le Sacre Scritture,
Galileo fu processato e condannato dal Sant'Uffizio al confino nella propria villa di Arcetri.
Scrisse anche un trattato di astronomia intitolato Sidereus Nuncius
Conduce alcuni studi sulla teoria copernicana
e alcuni esperimenti sul pendolo,
durante uno studio sul moto accelerato.
Nel 1609, mentre Keplero pubblica la sua "Nuova astronomia", che contiene le prime due leggi del moto planetario,
Galileo comincia ad interessarsi ad un nuovo strumento, costruito in Olanda: il telescopio.
Fino a quel momento le osservazioni astronomiche erano state compiute ad occhio nudo.
Dopo avergli apportato dei miglioramenti, ne presenta al Senato di Venezia un esemplare, al quale da' il nome di "perspicillum“ .
A Padova, con il nuovo strumento, Galileo compie una serie di osservazioni della Luna nel dicembre 1609,
e il 7 gennaio 1610 osserva delle "piccole stelle" luminose vicine a Giove.
Nel marzo 1610, rivela nel "Sidereus Nuncius" che si tratta di 4 satelliti di Giove,
che poi battezza Astri Medicei in onore di Cosimo II de' Medici, Gran Duca di Toscana.
Soltanto in seguito, su suggerimento di Keplero, i satelliti prenderanno i nomi con i quali sono conosciuti oggi: Europa, Io, Ganimede e Callisto.
La scoperta di un centro del moto che non fosse la Terra comincia a minare alla base la teoria tolemaica del cosmo.
Giovanni Keplero
(Weil der Stadt, 27 dicembre 1571 – Ratisbona, 15 novembre 1630)
Giovanni Keplero (Johannes Kepler) fu un astronomo, matematico e
musicista tedesco.
Scoprì empiricamente le leggi che regolano il movimento dei pianeti e che
sono chiamate, appunto, leggi di Keplero.
Nell'Astronomia nova, Keplero enuncia due delle tre leggi che portano il suo nome.
Esse rappresentano un modello di descrizione del moto dei pianeti del sistema solare:
1)
I pianeti percorrono orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
2) Un raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali.
(Koyrè, nel 1966, percorrendo i calcoli tortuosi di Keplero concluse che questa legge derivi da una premessa errata e da calcoli
Inoltre stabilì che questa legge venne ricavata prima della legge delle orbite ellittiche.
La legge comunque è esatta ed è una semplice conseguenza della conservazione del momento angolare).
3)
Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita è costante.
Isaac Newton
(Woolsthorpe-by-Colsterworth, 25 dicembre 1642 – Londra, 20 marzo 1727)
Isaac Newton è stato un matematico, fisico, filosofo naturale, astronomo, teologo ed alchimista inglese.
É considerato una delle più grandi menti di tutti i tempi.
Fu Presidente della Royal Society.
Pubblicò Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,
opera nella quale descrisse la legge di gravitazione universale e,
attraverso le sue leggi del moto, stabilì i fondamenti per la meccanica classica.
Newton fu il primo a dimostrare che la luce bianca è composta
dalla somma (in frequenza) di tutti gli altri colori.
Christiaan Huygens
(L'Aia, 14 aprile 1629 – L'Aia, 8 luglio 1695)
Christiaan Huygens è stato un matematico, astronomo e fisico olandese, fra i protagonisti della rivoluzione scientifica.
Nel 1655, adoperando un telescopio di propria fabbricazione, scoprì la luna di Saturno, Titano,
e teorizzò che Saturno fosse circondato da un anello sottile e piatto, non collegato al pianeta, inclinato rispetto all'eclittica.
Nello stesso anno osservò la Nebulosa di Orione.
Molte delle osservazioni astronomiche di Huygens furono raccolte nel Systema Saturnium (1659)
A lui si deve anche la prima ipotesi in merito alla conservazione dell’energia,
introducendo il concetto di forza viva, che successivamente sarà chiamata energia cinetica, applicata concettualmente
anche alla possibilità di spiegare i fenomeni naturali in termini di cambiamenti di velocità e posizione di atomi microscopici.
Prima legge di Keplero
Le orbite dei pianeti attorno al Sole sono ellissi
di cui il Sole occupa uno dei due fuochi
Il Modello Tolemaico non riusciva più a giustificare i dati
sperimentali circa le orbite dei pianeti e in particolare dei
loro satelliti
Il Modello Eliocentrico giustificava benissimo le
differenze di velocità angolare di un pianeta in alcuni
punti della sua traiettoria.
La I legge di Keplero consente di conoscere a priori
tutte le possibili posizioni che possono essere
occupate da un pianeta, una volta che si conosce il
semiasse maggiore e l’eccentricità della sua
traiettoria.
Seconda legge di Keplero
Il raggio vettore di un pianeta spazza aree
uguali in tempi uguali
Sia ∆t piccolo
Siano AB e CD due archi di
traiettoria percorsi nello stesso
∆t
R1
R2
AB e CD sono sufficientemente
piccoli e quindi possiamo
considerarli due archi di
circonferenza di raggi R1 e R2
Quindi anche le velocità agli estremi degli archi sono uguali,
e quindi in ogni arco il moto è circolare uniforme
vA = vB = v1
vC = vD = v2
Il sistema Pianeta-Sole è un sistema isolato
Il momento angolare del pianeta ruotante si conserva
L = m v R = costante
m v1R1 = m v2R2
v1R1 = v2R2
E poiché il moto è circolare uniforme
AB
v1 
t
AB = v1 ∆t
CD
v2 
t
CD = v2 ∆t
AB
CD
 R1 
 R2
t
t
AB  R1  CD  R2
Le due areole sono approssimate da due triangoli, per cui dividendo per 2…
AB  R1 CD  R2

2
2
Area( ASB)  Area(CSD)
1
AB  R  costante
2
Terza legge di Keplero
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore a dell’orbita e il quadrato del
periodo di rivoluzione T attorno al Sole è lo stesso per tutti i pianeti.
a
3
1
2
1
3
2
2
2
a
a

T
T
Quindi se esiste un corpo centrale dotato di una certa
massa MS attorno a cui orbitano più corpi di masse
diverse attorno ad orbite diverse, allora il rapporto prima
considerato dipende solamente dalla massa del corpo
centrale.
a13
 K M S 
2
T1
La legge di gravitazione
universale
Le leggi della fisica sono le stesse per tutti i corpi dell’Universo
I principi della dinamica
m1  m2
F G
2
r
Approssimiamo l’orbita ellittica con una circonferenza
L’eccentricità è molto bassa
c
e   1
a
Christian Huygens (L’Aia 1629 – L’Aia1695
Fu il primo ad affermare che la forza che si
esercita tra il Sole e un pianeta è inversamente
proporzionale al quadrato della distanza tra i
loro centri.
Il moto del pianeta di massa m è un moto circolare uniforme
ac   r
2
2

T
Accelerazione centripeta
4
Fc  mac  m r  m 2 r
T
2
2
Forza centripeta
Applichiamo la III legge di Keplero
Ricavandoci …..
r13
 K M S 
2
T1
3
r
1
T12 
K M S 
4 K M S 
4 K M S 
4
Fc  m 2 r  m
rm
3
2
T
r
r
2
2
2
4 K M S 
ac 
2
r
2
E per il II principio della dinamica . . .
Abbiamo l’accelerazione centripeta del pianeta
Newton ipotizzò che tale forza fosse anche
direttamente proporzionale al prodotto delle masse
dei due corpi
4 K M S 
1
Fc  m
 GM S m 2
2
r
r
2
Che porta a chiedere che . . .
Da cui la famosa legge . . .
G
K M S  
MS
2
4
MS m
F G
2
r
La forza gravitazionale
Due corpi puntiformi di massa m1 e m2 posti
a distanza r si attraggono fra loro con una
forza diretta lungo la loro congiungente.
m1  m2
F G
2
r
È una forza centrale
Raggio d’azione infinito
G è detta costante di gravitazione universale
Il valore di G è molto piccolo
2
N

m
G  6,674 1011
kg 2
Forza gravitazionale e il
III principio della dinamica
Anche se i due corpi non sono a contatto ciascuno di essi
esercita una forza uguale e contraria a quella che agisce su
di esso, diretta lungo la congiungente i centri e simultanee.
FTerra = - FLuna
Il fenomeno delle maree
Ma i pianeti … non sono
corpi “puntiformi”
La forza di attrazione gravitazionale tra due corpi
estesi si calcola con la legge di gravitazione
universale quando i corpi ….
Hanno dimensioni molto piccole rispetto
alla loro distanza
Hanno simmetria sferica, e in questo caso r è la
distanza tra i loro centri
Calcolo della forza
gravitazionale tra la Terra
e la Luna
MT= 6,0 x 1024 kg
mL = 7,3 x 1022 kg
FTL   FLT

d = 3,8 x 108 m
M T  mL
G
 ...
2
r


2
24
22


N

m
6
,
0

10
kg

7
,
3

10
kg
11
20

...   6,7 10


2

10
N
2
2 
8
kg 
3,8 10 m



Ma allora… che cosa è il
peso P=mg ?
Newton suppose che…
…La caduta dei corpi in prossimità della superficie
terrestre è determinata dall’interazione gravitazionale
tra la Terra con ciascuno di essi.
…L’accelerazione di gravità g=9,8 fosse proprio
originata da tale forza
h
M m
M m
F  G 2  G
r
R  h 2
R
O
2
h h 
 h
2 
2


 R  h   R  1    R  1  2   2   R
R R 
 R

2
2
Poichè
2
2
h  R
h
 1
R
h2
 1
2
R
Quindi . . .
M m
F  G 2
R
Un semplice calcolo dimostra che
GM
m
 9.8 2  g
2
R
s
Quindi . . .
GM
F
m  m g  P
2
R
L’accelerazione di gravità terrestre g già studiata da Galilei quale accelerazione
naturale o intrinseca posseduta da tutti i corpi lasciati cadere , conferma la legge
di gravitazione universale di Newton e viene a sua volta giustificata da essa.