Esercizi sul calcolo dei limiti

Lezione del 27 novembre
2013
Calcolo dei limiti
Esercizio 1
lim  2 x  1
x 3
La funzione è un polinomio e quindi è continua in tutto R.
E’ quindi continua in un intorno di 1. Per definizione
lim  2 x  1  2  3  1  6  1  5
x 3
Calcolo dei limiti
1
x 3 2 x  1
lim
Se la funzione è continua in un intorno di 3, avremo subito che
1
1
1


x 3 2 x  1
3 2 1 7
lim
Al numeratore c’è il polinomio costante 1 che è una funzione continua su tutto R.
Al denominatore c’è 2x+1 che si annulla per
x
1
2
Ricordiamo che…..
• Teorema
i) le funzioni costanti sono continue
ii) la funzione
f ( x)  x
è continua
iii) sia f una funzione continua, allora –f |f|, sono funzioni
continue
iv) Siano f e g funzioni continue. Allora
g, f + g , f * g
f  g sono continue
f/g è continua in tutti i punti diversi dalle radici di g
Calcolo dei limiti
1
2x 1
è continua in tutto R meno
1

2
Teorema Per ogni coppia di punti sulla retta, trovo un intorno del primo separato
da un intorno del secondo (Haussdorf).

1
2
3
In questo intorno di 3, non ci sono punti “cattivi”
la funzione
1
2x 1
è continua in un intorno di 3!!!
Criticato in Germania perché gli si disse la topologia era “matematica non per uomini”
Calcolo dei limiti
lim
x 0
5

2
x
La funzione ha dominio R-{0} e 0 è un punto di frontiera del dominio.
Non possiamo applicare la definizione di limite per le funzioni continue.
Seguiamo le regole del calcolo e i limiti notevoli
lim
x 0
 
1
1 


lim
5
lim

  5   
x 0
x 0 x 2
x2


Calcolo dei limiti
Limiti notevoli
1
lim  
x  x0  x
1
lim   
x  x0 x
Regola 1 Siano f,g : D  R e sia x0 un punto di frontiera per D
Allora
a)
b)
lim f ( x)  g ( x)  lim  f ( x)  lim  g ( x)
x  x0 
x  x0
x  x0
lim f ( x) g ( x)  lim  f ( x) lim  g ( x)
x  x0 
x  x0
x  x0
Regola 2 Siano f, g: D  R e sia x0 un punto di frontiera per D
, sia y0=f(x0) allora
lim  g ( f ( x))  lim  g ( y)
x  x0
y  y0
y0  f ( x0 )
Esercizio 2
1
lim

x  1 1  x 2
posto
Si ha
f ( x)  1  x
1
g  f  x  
1 x
Per la Regola 2
lim
x  1
1
1
 lim 2  
2
1  x  y0 y
g ( y) 
1
y2
f ( 1)  0
Esercizio 2
1

x  1 1  x 2
Secondo modo
lim
y  1 x
posto
Si ha
1
1
lim
 lim 2  
x  1 1  x 2
y 0 y
se
1
1
 2
2
1  x  y
x  1 allora y  0
Esercizio 3
x2  2x 1
lim
x  1
2
x2  2x 1 1  2 1
lim

 1
x 1
2
2
Resta solo da far vedere che la funzione è continua in un intorno di -1
x2  2x 1 1 2
1
 x x
2
2
2
questo è un polinomio e quindi è continuo in tutto R
Grafico approssimato di una
funzione
f ( x)  1 
1
x2
Dom(f) = R-{0}
La funzione è continua in tutto R-{0}
O è un punto di frontiera del dominio
1 
1

lim 1  2   lim 1  lim 2  1    
x 0
 x  x 0 x 0 x
x2 1
f ( x)  2  0
x
Se
x  1.x  1
Grafo approssimato di una
funzione
Grafo reale della funzione