Appunti sulle equazioni di secondo grado

EQUAZIONI DI 2° GRADO
Classe II
a.s. 2010/2011
Prof.ssa Rita Schettino
DEFINIZIONE

Un’equazione, in , si dice di secondo grado se, ridotta
a forma normale, è del tipo:
ax 2  bx  c  0
COMPLETA

ax  c  0
PURA

ax 2  bx  0
SPURIA
2
con a  0
 Risolvere un’equazione significa determinare i due
valori reali di x (soluzioni o radici), se esistono, che
soddisfano l’equazione data
prof.ssa R. Schettino

2
DEFINIZIONE

Si definisce DISCRIMINANTE dell’equazione e si
indica con la lettera greca (delta) il termine
prof.ssa R. Schettino
  b  4ac
2

E’ importante il segno di  perché da esso scaturisce la
realtà delle soluzioni dell’equazione
3
FORMULE RISOLUTIVE
c
x 
a
b
x
a
se è COMPLETA
prof.ssa R. Schettino
 b  b 2  4ac  b  
x

2a
2a
se è PURA e con a e c discordi
e
x0
se è SPURIA
4
OSSERVAZIONI
•
•
prof.ssa R. Schettino
•
Si noti che le formule per la pura e la spuria si ottengono
dalla prima sostituendo rispettivamente b=0 e c=0 (lo si
faccia per esercizio)
Si noti che i radicali presenti nelle formule sono di indice
pari (radicali quadratici) e quindi vanno fatte le
considerazioni per i radicali algebrici
Come si sa l’esistenza dei suddetti radicali dipende dal
segno del radicando , quindi
 Se   0 il radicale esiste in  ed ammette due valori
 
e
- 
quindi l’equazione ammette due soluzioni reali
 Se  < 0 il radicale non esiste in  quindi l’equazione
risulta impossibile in 
5
OSSERVAZIONI

In più
Se  > 0 i valori dei due radicali sono opposti quindi le
soluzioni sono reali e distinte
 Se  = 0 il valore dei due radicali è 0 quindi le soluzioni
sono reali e coincidenti

Pertanto
  0  x1  x 2  

 equazione risolvibil e in 
  0  x1  x 2   

0 
x1 , x 2  
equazione impossibil e in  6
prof.ssa R. Schettino

ESEMPI
a) 2 x 2  5 x  3  0
x
completa : a  2, b  5 e c  -3
25  4  2   3
 5  25  24
 5  49


22
4
4
5
b)
2x 2  x 
x
1
30
2  4
completa : a 

2 
3
  1
x2 
57
1

4
2
2, b  -1 e c  -
24 6
prof.ssa R. Schettino
si noti che   49  0 quindi le soluzioni sono
57
57
x
da cui x1 
 3
e
4
4
3
  24 6  0
2 2
2 2
ed essendo il radicale doppio irriducibi le le soluzioni sono
x1 
1
24 6
2 2
e
x2 
1
24 6
2 2
7
ESEMPI
c)
3 x  2 
 2 x 2   x  1 x  3
2
svolgendo gli opportuni calcoli si giunge alla forma normale
spuria : a  2, b  7
7
le soluzioni sono x1  0 e x 2  
2
d ) 2 x3 x  2    x  2 
5x 2  4  0
le soluzioni sono
x1  
2 5
5
e
2
prof.ssa R. Schettino
2x 2  7x  0
svolgendo le operazioni si giunge alla forma
pura : a  5, c  -4
x
x2  
4
2

5
5
razionaliz zando si ha
2 5
5
8
e)
2 x  22
 1 sviluppand o i calcoli si ha
4 x 2  8x  5  0
8  64  80 8   16

8
8
essendo   -16  0 l' equazione è impossibil e in 
x
prof.ssa R. Schettino
•Dagli esempi si evince che:
 Individuato il tipo di equazione, si applica la relativa
formula facendo massima attenzione ai segni dei
coefficienti a, b e c
Calcolato il  , se  > 0 si determinano le soluzioni reali
e distinte; se  = 0 soluzioni reali e coincidenti oppure se
<0 l’equazione si classifica “impossibile in”
9
QUADRO RIASSUNTIVO
>0
soluzioni reali e distinte x1 x2 

=0
soluzioni reali e coincidenti x1=x2 

<0
equazione impossibile in 
prof.ssa R. Schettino

(imparare BENISSIMO tali condizioni)
10
SOMMA E PRODOTTO DELLE SOLUZIONI

Dalla formula risolutiva si ricava che:
e
c
p  x1  x2 
a
prof.ssa R. Schettino
b
s  x1  x2  
a
Ciò significa che è possibile determinare la somma s e
il prodotto p delle soluzioni di un’equazione di 2°
grado utilizzando i coefficienti, senza dover risolvere
l’equazione
 Ed inoltre potendo scrivere un’equazione nella forma

b
c
x  x 0
a
a
2
si può osservare che risulta
x  sx  p  0
2
11
SOMMA E PRODOTTO DELLE SOLUZIONI

Di qui scaturiscono i seguenti tipi di esercizi:
 Determinare
prof.ssa R. Schettino
immediatamente le
soluzioni di semplici equazioni cercando
due numeri (qualora esistano perché  > 0)
che abbiano somma s e prodotto p (lo si può
fare a mente)
 Determinare due numeri reali di cui
siano dati la loro somma e il loro prodotto
 Impostare un’equazione che ammetta
come soluzioni due numeri prefissati,
sostituendo la loro somma s come
coefficiente di x e il loro prodotto p come 12
termine noto
ESEMPI
a ) x 2  9 x  14  0
s9
p  14
due numeri reali la cui somma è 9 e il cui prodotto è 14
sono .....x1  2 e x 2  7
x 2  14 x  40  0
s  14
p  40
due numeri la cui somma è 14 e il cui prodotto è 40
sono .........
5
3
c) 2 x 2  5 x  3  0
s
p
2
2
prof.ssa R. Schettino
b)
i numeri cercati e quindi le soluzioni dell' equazione sono
3
x1  1
e
x2 
2
13
ESEMPI
5
1
e p
2
6
per determinar e i numeri reali che hanno la somma s e il prodotto p
5
1
si imposta l' equazione x 2  x   0
2
6
Facendo i dovuti calcoli e applicando la formula risolutiva si ha
d ) Dati
s
1
4
e)
Determinar e due numeri la cui somma è 3 e il prodotto è 3 3  3
x2  
e
Si imposta l' equazione
x1  3  3
e
2
che sono i numeri richiesti
3
prof.ssa R. Schettino
x1 
x 2  3 x  3 3  3  0 le cui soluzioni sono
x 2  3 che sono i numeri cercati
14
ESEMPI
f ) Scrivere l' equazione che ammette per soluzioni x1  5 e
Si calcola la somma x1  x 2 
e il prodotto x1  x 2  
2
3
10
e si imposta l' equazione
3
prof.ssa R. Schettino
x2 
13
2
x2  
13
10
x
0
2
3
g ) Scrivere l' equazione che ammette come soluzioni
x1  2  2
Si calcola la somma s  x1  x 2  2  2  2  2  4
per cui l' equazione richiesta è
e
x2  2  2



e il prodotto p  2 - 2 2  2  2
x 2  4x  2  0
15
SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO
DI 2° GRADO
•
•
•
ax  bx  c  ax  x1 x  x2 
prof.ssa R. Schettino
•
Può presentarsi il caso di dover scomporre in
fattori un trinomio di 2° grado che non sia un
quadrato perfetto
La teoria delle equazioni di 2° grado ci
permette di risolvere tale questione
Si considera l’equazione associata al trinomio
dato, si risolve con l’applicazione della formula
risolutiva determinando le soluzioni x1 e x2
Infine il trinomio si scompone nel seguente
modo:
2
16
ESEMPIO
Scomporre in fattori il trinomio 2x2+3x-2
 Si considera 2x2+3x-2=0 le cui soluzioni sono
x1= -2 e x2 = ½
 Quindi il trinomio si scompone in
2(x+2)(x-1/2) che, svolgendo i calcoli, diventa
(x+2)(2x-1)
 Cosa succede se l’equazione associata al trinomio non
ammette soluzioni reali?
 Si spieghi perché i trinomi x2-x+1 o x2+x-1 o i binomi
x2+1 o x2 +3 (somme di due quadrati) non sono
scomponibili
17

prof.ssa R. Schettino
REGOLA DI CARTESIO
 Questa
prof.ssa R. Schettino
regola consente di conoscere il segno
delle radici di un’equazione di 2° grado senza
determinarle numericamente
 Considerati i coefficienti e termine noto di
un’equazione in forma normale a, b e c
 si dice “ permanenza di segno” se due
termini consecutivi (ossia a e b oppure b e c)
hanno lo stesso segno;
 si dice “variazione di segno” se due termini
consecutivi hanno segno opposto.
18
REGOLA DI CARTESIO

Es: l’equazione 3x2-5x-1=0 ammette due soluzioni
reali e distinte (perché a e c sono discordi quindi è
sicuramente  > 0) : una positiva ( che corrisponde
alla variazione di segno di a=3 e b=-5) e una
negativa (che corrisponde alla permanenza di segno
di b=-5 e c=-1)
prof.ssa R. Schettino
La regola di Cartesio afferma che: In un’equazione in
cui   0 (quindi ammette radici reali)
Ad ogni permanenza corrisponde una soluzione
negativa
Ad ogni variazione corrisponde una soluzione
positiva
19

Es: l’equazione 7x2+14x+1=0 , per cui è   0
(verificare), ammette due soluzioni negative
corrispondenti alle due permanenze di segno (a=7
e b = 14; b=14 e c=1)
prof.ssa R. Schettino
20
DEFINIZIONE DI EQUAZIONE
PARAMETRICA

x  2k  1x  3  k   0
2
in cui si nota che il secondo coefficiente e il termine
noto sono espressi in funzione del parametro k.
 Ciò significa che ad ogni valore reale del parametro
corrisponde una precisa equazione di 2° grado che
ammetterà soluzioni o sarà impossibile
prof.ssa R. Schettino
Equazione parametrica di 2° grado è
un’equazione in cui i coefficienti a , b o il termine
noto c dipendono da un parametro letterale variabile
in , indicato ad esempio con la lettera k. Es:
21

Si tratta generalmente di scoprire quale o quali
valori del parametro danno luogo ad equazioni di
quella famiglia che rispettano condizioni
richieste.
prof.ssa R. Schettino

Pertanto quando si studia o discute un’equazione
parametrica, si sta studiando una famiglia di
infinite equazioni, ognuna delle quali si ottiene
assegnando un valore al parametro k.
22
 Per
 Se
k = 3 l’equazione diventa 3x2-5x+5=0
 Se
k = -2 l’equazione diventa 3x2-5x=0
 Se
prof.ssa R. Schettino
capire: 3x2-5x+k2-4=0 è un’equazione
parametrica perché il termine noto k2-4
assume valori diversi a seconda del valore
assegnato a k
 Infatti se k = 1l’equazione diventa: 3x2-5x-3=0
k = 0 l’equazione diventa 3x2-5x-4=0 e così
23
via
 Si
prof.ssa R. Schettino
noti che nel primo e quarto esempio si sono
ottenute equazioni complete con soluzioni reali e
distinte, nel secondo caso si è ottenuta un’equazione
completa impossibile in , nel terzo caso
un’equazione spuria che ammette una soluzione nulla
 Studiare l’equazione parametrica dell’esempio,
significa determinare per quali valori di k si
ottengono equazioni che rispondono a precise
richieste
 Ad esempio, si potrebbe determinare quali valori del
parametro danno equazioni con soluzioni coincidenti,
oppure quali valori del parametro danno equazioni
con soluzioni opposte o, ancora, quali valori del
parametro danno equazioni che ammettono soluzioni
24
reali,e così via.
FORMULE IMPORTANTI
FORMULA DA
IMPORRE
Soluzioni reali e distinte
 = b2 -4ac > 0
Soluzioni reali e coincidenti
 =b2 -4ac = 0
Soluzioni complesse o equazione impossibile in

 =b2 -4ac < 0
Somma delle radici s = m
-
Prodotto delle radici p = n
x1 
b
 m
a
c
 n
a
Soluzioni opposte x1=-x2
Soluzioni reciproche
prof.ssa R. Schettino
CONDIZIONE RICHIESTA
x1+ x2 =
1
x2

x1  x 2 
b
 0
a
c
1
a
Somma dei quadrati delle radici x12+x22=q
x1  x2 2  2  x1  x2
Somma dei cubi delle radici x13+x23=q
x1  x2 3  3  x1  x2 x1  x2   q
q
25
1° ESEMPIO DI STUDIO DI UN’EQUAZIONE
PARAMETRICA DI 2° GRADO

Determinare il valore del parametro m affinché
l’equazione x2-(m-3)x+m2+3m+3=0 abbia:
b)
c)

a)
Una soluzione nulla (= 0)
Una soluzione reciproca dell’altra
La somma dei quadrati delle soluzioni sia uguale a 23
prof.ssa R. Schettino
a)
Studiamo caso per caso:
Affinché una soluzione sia nulla bisogna che
l’equazione sia spuria e quindi che il termine noto sia
uguale a 0. Perciò imponendo che il termine noto
dell’equazione data m2+3m+3 sia uguale a 0
determiniamo i valori di m perché l’equazione sia
spuria e che abbia perciò una soluzione nulla,
26
condizione richiesta dall’esercizio
a)
Perciò dobbiamo risolvere l’equazione m2+3m+3 = 0
b)
Una soluzione reciproca dell’altra significa che
x1 
c
x

x

 1, per cui imponendo che il
Equivale alla condizione 1 2
a
prodotto sia uguale a 1, determiniamo i valori di m tali che le
soluzioni siano reciproche :
c
 m 2  3m  3  1
a
prof.ssa R. Schettino
Applicando la formula risolutiva scopriamo che questa equazione
non ha soluzioni per cui concludiamo che non esiste alcun
valore del parametro m per cui l’equazione parametrica sia
spuria; ciò vuol dire che non esiste alcuna equazione, tra le
infinite equazioni della famiglia parametrica, che ammetta la
soluzione nulla.
1
x2
Risolvendo questa equazione di 2° grado nell’incognita m, si
determinano m1  1 e m2  2 ; ciò vuol dire che esistono due
valori del parametro, e perciò due equazioni della famiglia
parametrica, che ammettono soluzioni reciproche. Quali sono le
27
equazioni e quali le soluzioni reciproche? Riflettere e rispondere.
c)
La somma dei quadrati delle radici è data dalla
penultima formula della tabella per cui imponendo
che quella formula sia uguale a 23, determiniamo i
valori cercati di m
x1  x2 2  2  x1  x2  23 Notiamo che nella nostra equazione la
prof.ssa R. Schettino
somma delle radici è uguale a m-3 e che il prodotto è uguale a
m2+3m+3, per cui la condizione richiesta diventa:
(m-3)2-2(m2+3m+3)=23 che, risolta, dà i valori m = -2 e m = -10
Ciò vuol dire che esistono due valori di m e quindi due equazioni
della famiglia parametrica che ammettono la condizione
richiesta dall’esercizio. Anche qui, come si fa a sapere quali
equazioni rispettano la richiesta fatta dall’esercizio?
N. B. Esercitarsi a decodificare le condizioni richieste dallo studio di
equazioni parametriche e sarà più facile determinare i valori del
parametro richiesti
28
ALTRI ESEMPI

Per quali valori di k l’equazione x2=k+2 ha due radici reali
e distinte?

prof.ssa R. Schettino
La condizione richiesta equivale alla condizione algebrica  > 0 (vedere
la tabella), per cui, essendo un’equazione pura imponiamo k + 2 > 0
da cui k> -2 , ciò vuol dire che per tutti i valori di k maggiori di -2
l’equazione corrispondente ammette due radici reali e distinte.
Data l’equazione parametrica kx2-2(k-1)x+1= 0
determinare i valori di k per cui il prodotto delle radici è 3
c
1
La condizione richiesta equivale a x1  x 2  3 ossia
 3 e
l’equazione 1  3 ammette la soluzione k  1 a k
k
3
N. B. Esercitarsi a decodificare le condizioni richieste dallo studio di
equazioni parametriche e sarà più facile determinare i valori del
29
parametro richiesti