TRASFORMATORE
(Parte I)
Allievi Ing. Navale e Scienza Materiali
Versione aggiornata al 11/11/ 2013
RICHIAMI PRELIMINARI
Proprietà di solenoidalità del vettore
induzione magnetica B e flusso
concatenato con una linea chiusa
Solenoidalità di B
S superficie chiusa
B ndS 0
S
S S1 S2
B ndS
S1
B n1dS B n 2 dS 0
S2
S
S1
B n1dS B n 2 dS
S2
Flusso concatenato con una linea
chiusa orientata γ
• Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i
due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono
indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da
γ.
• Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa
orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore
concatenato con γ la quantità:
B ndS
S
in cui Sγ è
una qualsiasi superficie orlata da γ e la
normale n a Sγ è orientata in maniera congruente
all’orientazione di γ.
Flusso concatenato con una linea chiusa
orientata γ; congruenza del verso della
normale alla superficie S rispetto a quello
della linea γ
Legge di Faraday
Data la f.e.m. (forza elettromotrice),
associata al campo
elettrico non
conservativo K e alla linea chiusa
orientata γ:
e K tdl
Legge di Faraday
Tale f.e.m. è legata al flusso di B
concatenato con γ dalla relazione:
e = - d /dt
in cui vale il segno – se il flusso
concatenato con γ è calcolato con la
stessa orientazione di γ con cui è definita
la f.e.m e.
Legge di Ampére
Dati il campo magnetico H , una linea chiusa
orientata λ e la corrente i concatenata con
questa, si ha:
H
t
dl
i
assumendo il segno + se il verso della corrente i
è congruente con quello di λ ed il segno – nel
caso contrario
Legge di Ampére; congruenza del
verso di i rispetto a quello di λ
Legge di Ampére
Nel caso di N spire in serie di un
avvolgimento attraversate dalla corrente i
e concatenate con λ, la stessa legge
assume la forma:
H tdl Ni
%
Legge di Ampére
Se conferiamo un carattere algebrico al
numero di spire, attribuendo un segno ad
N, corrispondente al verso con cui sono
avvolte le N spire intorno a λ, possiamo
esprimere la legge di Ampere nella forma:
H
t
dl
Ni
%
Legge di Ampére
Ovviamente il segno di N non è una
caratteristica intrinseca dell’avvolgimento
poiché riferito alla congruenza tra il verso
delle N spire attraversate dalla corrente i
con il verso di λ.
%
Legge di Ampére
In analogia con la f.e.m e associata al campo
elettrico K :
e K tdl
la quantità Ni associata al campo magnetico H :
Ni H tdl
è denotata come forza magneto motrice (f.m.m.).
Riluttanza di un tubo di flusso del
vettore induzione magnetica B
• Sia S la sezione retta
del tubo di flusso
sufficientemente
piccola rispetto alla
sua lunghezza
• Il flusso di B si può
esprimere come
φ=B·S
• Sia λ la linea media
del tubo di flusso %
%
H tdl Ni
Hdl Ni
H
S
B
S dl Ni
1
dl Ni
S
R
1
dl
S
R Ni
Configurazione schematica di un
trasformatore
Se l’avvolgimento primario è alimentato con v(t) e l’avvolgimento
secondario è connesso ad un utilizzatore si ha un trasferimento
di potenza dal circuito primario a quello secondario, attraverso
l’accoppiamento magnetico dei 2 avvolgimenti.
Simbolo circuitale del doppio bipolo
trasformatore
i1
v1
i2
v2
Simbolo circuitale del
trasformatore negli schemi degli
impianti
Andamento del campo di induzione
magnetica B
%
Andamento del campo di induzione
magnetica
Distinguiamo tre tubi di
flusso le cui linee medie
sono p (tubo di flusso
principale che si sviluppa
prevalentemente nel ferro
concatenato con entrambi
gli avvolgimenti) e σ1 e
σ2 (tubi di flusso disperso
con un consistente
sviluppo in aria e
concatenati con uno solo
dei due avvolgimenti)
Tubo di flusso principale
S
np
B
Tale flusso determina
l’accoppiamento
magnetico dei due
avvolgimenti e
contribuisce al
trasferimento di
potenza dal primario
al secondario
p B n p dS
S
F.e.m. indotta dal flusso principale
• La f.e.m. indotta in ciascuno degli avvolgimenti
dal flusso principale è dato dalla somma delle
f.e.m. indotte delle singole spire in serie
• Al fine di calcolare la f.e.m. indotta nella singola
spira, dobbiamo tener conto che il singolo
avvolgimento sarà orientato e che pertanto
l’orientamento della singola spira visto dall’alto
potrà essere antiorario oppure orario
F.e.m. indotta dal flusso principale
Pertanto , analogamente a quanto fatto per la legge di
Ampére, a N1 e N2 può essere convenzionalmente
attribuito un segno algebrico, connesso al verso
(congruente o non congruente) dei due avvolgimenti
rispetto a quello assunto positivo per le linee di flusso di
B nel tubo di flusso principale.
e p1 N1
d p
dt
ep 2 N2
d p
dt
F.e.m. indotte dai flussi dispersi
I flussi dispersi 1
(primario) e 2
(secondario) sono
proporzionali ad i1
ed i2. Le f.e.m.
indotte da tali flussi
sono:
lσ1 e lσ2 sono le induttanze di
dispersione dei 2 avvolgimenti
di1
e 1 l 1
dt
e 2
di2
l 2
dt
Accoppiamento magnetico perfetto
Se i flussi dispersi 1
e 2 e le induttanze
di dispersione l 1 e
l 2 sono nulli,
l’accoppiamento
magnetico dei due
avvolgimenti si dice
perfetto
Equazioni di base del trasformatore
nel dominio del tempo
Leggi di Kirchhoff
delle tensioni (LKT)
per i due avvolgimenti
v1 + ep1 + eσ1= r1 i1
v2 + ep2 + eσ2= r2 i2.
Legge di Ampére
p
H tdl N1i1 N 2i2
%
Equazioni di base del trasformatore
nel dominio del tempo
LKT per i due
avvolgimenti
d p
di1
v1 r1 i1 l 1
N1
dt
dt
d p
di2
v2 r2 i2 l 2
N2
dt
dt
Legge di Ampére
R p N1i1 N 2i2
Trasformatore ideale
Ipotesi semplificative:
• Avvolgimenti perfettamente conduttori→
r1=r2=0
• Accoppiamento magnetico perfetto tra i
due avvolgimenti →lσ1= lσ2=0
• Riluttanza trascurabile del tubo di flusso
principale →R=0
%
Trasformatore ideale
Equazioni nel dominio del tempo
d p
v1 N1
v2 N 2
dt
d p
dt
0 N1i1 N2i2
Trasformatore ideale in regime
sinusoidale
v1 2V1 sin( t )
Equazioni nel dominio dei fasori:
V1 jN1 p
V2 jN 2 p
V 1 / V 2 N1 / N 2
0 N1 I1 N 2 I 2
I 1 / I 2 N 2 / N1
%
Trasformatore ideale in regime
sinusoidale
Posto:
a N1 / N2 (rapporto di trasformazione)
le equazioni del trasformatore ideale si
riducono a:
V1
V2
I1
a
1
a
I2
Doppio bipolo Trasformatore
ideale: rappresentazione grafica
Equazioni
V1
V2
a
I1
1
a
I2
Doppio bipolo Trasformatore ideale
V1
V2
a
I1
1
a
I2
Trasformatore ideale: proprietà di
trasparenza alle potenze
V1 aV2
1
I1 I 2
a
V1 I1 V2 I 2
( P1 jQ1 ) ( P2 jQ2 ) P1 P2
Q1 Q2
%
Trasformatore ideale: proprietà di
trasparenza alle potenze
i2
i1
v1
v2
P1 potenza assorbita dal primario (avvolgim. 1)
P2 potenza erogata dal secondario (avvolgim. 2) e
trasferita all’utilizzatore.
P1 P2
Pot. attiva assorbita = Pot. attiva erogata
Rendimento unitario
Applicazioni del trasformatore
•
•
•
•
Abbassatore di tensione
Elevatore di tensione
Piccolissime potenze di pochi W
Grandi trasformatori di diverse centinaia di
MVA (reti di produzione, trasmissione e
distribuzione dell’energia elettrica)
Struttura della rete elettrica
nazionale (produzione,
trasmissione e distribuzione)
Traliccio ad alta tensione
Isolatori
Doppio bipolo Trasformatore ideale
V1
V2
a
I1
1
a
I2
Trasformatore ideale: proprietà di
trasformazione delle impedenze
Essendo
V1 aV2
V1 z '2 I1
I 2 a I1
dove
V2 z2 I 2
z' 2 a 2 z 2
Nucleo magnetico
E’ necessaria la realizzazione del
nucleo ferro-magnetico ,
sovrapponendo uno sull’altro
lamierini di una lega ferro-silicio
opportunamente isolati tra loro per
ridurre le perdite per le correnti di
Foucault. L’aggiunta di silicio al ferro
contribuisce anche a ridurre le
perdite per isteresi.
Strutture Trasformatore monofase
Trasformatore monofase;
nucleo magnetico a mantello
Trasformatore monofase;
nucleo magnetico a mantello
Trasformatore trifase,
banco tri-monofase
Trasformatore trifase, connessione
magnetica a stella
Trasformatore trifase, connessione
magnetica a stella complanare
Trasformatore trifase, connessione
magnetica a stella complanare
Trasformatore trifase
Trasformatore trifase, connessione
magnetica a triangolo
A
B
Trasformatore trifase a cinque
colonne
