energia e sviluppo sostenibile
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TRASFORMATORE (Parte I) Allievi Ing. Navale e Scienza Materiali Versione aggiornata al 11/11/ 2013 RICHIAMI PRELIMINARI Proprietà di solenoidalità del vettore induzione magnetica B e flusso concatenato con una linea chiusa Solenoidalità di B S superficie chiusa B ndS 0 S S S1 S2 B ndS S1 B n1dS B n 2 dS 0 S2 S S1 B n1dS B n 2 dS S2 Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ • Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ. • Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità: B ndS S in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale n a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ. Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ; congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ Legge di Faraday Data la f.e.m. (forza elettromotrice), associata al campo elettrico non conservativo K e alla linea chiusa orientata γ: e K tdl Legge di Faraday Tale f.e.m. è legata al flusso di B concatenato con γ dalla relazione: e = - d /dt in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e. Legge di Ampére Dati il campo magnetico H , una linea chiusa orientata λ e la corrente i concatenata con questa, si ha: H t dl i assumendo il segno + se il verso della corrente i è congruente con quello di λ ed il segno – nel caso contrario Legge di Ampére; congruenza del verso di i rispetto a quello di λ Legge di Ampére Nel caso di N spire in serie di un avvolgimento attraversate dalla corrente i e concatenate con λ, la stessa legge assume la forma: H tdl Ni % Legge di Ampére Se conferiamo un carattere algebrico al numero di spire, attribuendo un segno ad N, corrispondente al verso con cui sono avvolte le N spire intorno a λ, possiamo esprimere la legge di Ampere nella forma: H t dl Ni % Legge di Ampére Ovviamente il segno di N non è una caratteristica intrinseca dell’avvolgimento poiché riferito alla congruenza tra il verso delle N spire attraversate dalla corrente i con il verso di λ. % Legge di Ampére In analogia con la f.e.m e associata al campo elettrico K : e K tdl la quantità Ni associata al campo magnetico H : Ni H tdl è denotata come forza magneto motrice (f.m.m.). Riluttanza di un tubo di flusso del vettore induzione magnetica B • Sia S la sezione retta del tubo di flusso sufficientemente piccola rispetto alla sua lunghezza • Il flusso di B si può esprimere come φ=B·S • Sia λ la linea media del tubo di flusso % % H tdl Ni Hdl Ni H S B S dl Ni 1 dl Ni S R 1 dl S R Ni Configurazione schematica di un trasformatore Se l’avvolgimento primario è alimentato con v(t) e l’avvolgimento secondario è connesso ad un utilizzatore si ha un trasferimento di potenza dal circuito primario a quello secondario, attraverso l’accoppiamento magnetico dei 2 avvolgimenti. Simbolo circuitale del doppio bipolo trasformatore i1 v1 i2 v2 Simbolo circuitale del trasformatore negli schemi degli impianti Andamento del campo di induzione magnetica B % Andamento del campo di induzione magnetica Distinguiamo tre tubi di flusso le cui linee medie sono p (tubo di flusso principale che si sviluppa prevalentemente nel ferro concatenato con entrambi gli avvolgimenti) e σ1 e σ2 (tubi di flusso disperso con un consistente sviluppo in aria e concatenati con uno solo dei due avvolgimenti) Tubo di flusso principale S np B Tale flusso determina l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti e contribuisce al trasferimento di potenza dal primario al secondario p B n p dS S F.e.m. indotta dal flusso principale • La f.e.m. indotta in ciascuno degli avvolgimenti dal flusso principale è dato dalla somma delle f.e.m. indotte delle singole spire in serie • Al fine di calcolare la f.e.m. indotta nella singola spira, dobbiamo tener conto che il singolo avvolgimento sarà orientato e che pertanto l’orientamento della singola spira visto dall’alto potrà essere antiorario oppure orario F.e.m. indotta dal flusso principale Pertanto , analogamente a quanto fatto per la legge di Ampére, a N1 e N2 può essere convenzionalmente attribuito un segno algebrico, connesso al verso (congruente o non congruente) dei due avvolgimenti rispetto a quello assunto positivo per le linee di flusso di B nel tubo di flusso principale. e p1 N1 d p dt ep 2 N2 d p dt F.e.m. indotte dai flussi dispersi I flussi dispersi 1 (primario) e 2 (secondario) sono proporzionali ad i1 ed i2. Le f.e.m. indotte da tali flussi sono: lσ1 e lσ2 sono le induttanze di dispersione dei 2 avvolgimenti di1 e 1 l 1 dt e 2 di2 l 2 dt Accoppiamento magnetico perfetto Se i flussi dispersi 1 e 2 e le induttanze di dispersione l 1 e l 2 sono nulli, l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti si dice perfetto Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo Leggi di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per i due avvolgimenti v1 + ep1 + eσ1= r1 i1 v2 + ep2 + eσ2= r2 i2. Legge di Ampére p H tdl N1i1 N 2i2 % Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo LKT per i due avvolgimenti d p di1 v1 r1 i1 l 1 N1 dt dt d p di2 v2 r2 i2 l 2 N2 dt dt Legge di Ampére R p N1i1 N 2i2 Trasformatore ideale Ipotesi semplificative: • Avvolgimenti perfettamente conduttori→ r1=r2=0 • Accoppiamento magnetico perfetto tra i due avvolgimenti →lσ1= lσ2=0 • Riluttanza trascurabile del tubo di flusso principale →R=0 % Trasformatore ideale Equazioni nel dominio del tempo d p v1 N1 v2 N 2 dt d p dt 0 N1i1 N2i2 Trasformatore ideale in regime sinusoidale v1 2V1 sin( t ) Equazioni nel dominio dei fasori: V1 jN1 p V2 jN 2 p V 1 / V 2 N1 / N 2 0 N1 I1 N 2 I 2 I 1 / I 2 N 2 / N1 % Trasformatore ideale in regime sinusoidale Posto: a N1 / N2 (rapporto di trasformazione) le equazioni del trasformatore ideale si riducono a: V1 V2 I1 a 1 a I2 Doppio bipolo Trasformatore ideale: rappresentazione grafica Equazioni V1 V2 a I1 1 a I2 Doppio bipolo Trasformatore ideale V1 V2 a I1 1 a I2 Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze V1 aV2 1 I1 I 2 a V1 I1 V2 I 2 ( P1 jQ1 ) ( P2 jQ2 ) P1 P2 Q1 Q2 % Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze i2 i1 v1 v2 P1 potenza assorbita dal primario (avvolgim. 1) P2 potenza erogata dal secondario (avvolgim. 2) e trasferita all’utilizzatore. P1 P2 Pot. attiva assorbita = Pot. attiva erogata Rendimento unitario Applicazioni del trasformatore • • • • Abbassatore di tensione Elevatore di tensione Piccolissime potenze di pochi W Grandi trasformatori di diverse centinaia di MVA (reti di produzione, trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica) Struttura della rete elettrica nazionale (produzione, trasmissione e distribuzione) Traliccio ad alta tensione Isolatori Doppio bipolo Trasformatore ideale V1 V2 a I1 1 a I2 Trasformatore ideale: proprietà di trasformazione delle impedenze Essendo V1 aV2 V1 z '2 I1 I 2 a I1 dove V2 z2 I 2 z' 2 a 2 z 2 Nucleo magnetico E’ necessaria la realizzazione del nucleo ferro-magnetico , sovrapponendo uno sull’altro lamierini di una lega ferro-silicio opportunamente isolati tra loro per ridurre le perdite per le correnti di Foucault. L’aggiunta di silicio al ferro contribuisce anche a ridurre le perdite per isteresi. Strutture Trasformatore monofase Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello Trasformatore monofase; nucleo magnetico a mantello Trasformatore trifase, banco tri-monofase Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare Trasformatore trifase Trasformatore trifase, connessione magnetica a triangolo A B Trasformatore trifase a cinque colonne
