Elementi di Trasmissione del Calore

Università degli studi di Cassino
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Modulo
di
Elementi di Trasmissione del Calore
Conduzione – Simmetria
Cilindrica
Titolare del corso
Assistenti al corso
Prof. Giorgio Buonanno
Ing. Gaspare Giovinco
Anno Accademico 2005-2006
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
T
Simmetria cilindrica senza generazione in regime
stazionario
T1
T1  T2
r1
r2
T
0

T
0
z
T  f r 
T2
0
T
0

r
Il numero delle condizioni al contorno, nella direzione di ciascuna
variabile indipendente, è uguale al relativo ordine massimo di
derivazione nell’equazione differenziale che governa il fenomeno.
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Simmetria cilindrica senza generazione in regime
stazionario
1 d  dT
r
r dr  dr
r

0

dT
 c1
dr
T  r   c1  ln  r   c2
c1
T  r1   T1
T1  c1  ln  r1   c2
T  r2   T2
T2  c1  ln  r1   c2
T1  T2 


r 
ln  1 
 r2 
T  T 
c2  T1  1 2  ln  r1 
r 
ln  1 
 r2 
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Simmetria cilindrica senza generazione in regime
stazionario
T
T  r   T1
T  T   r 
 1 2 ln
r 
ln  2 
 r1 
T1
 
 r1 
T1  T2
T2
Q  r   k  A  r  
q  r   k 
dT
dT
 k  2    r  L 
 cost
dr
dr
0
r1
r2
r
c
dT
 k  1
dr
r
Come ci si aspettava dal primo principio della termodinamica, la potenza termica
è costante. Al contrario il flusso termico ha un andamento iperbolico, questo
perché al crescere di r cresce l’area sulla quale si ripartisce la potenza termica.
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Simmetria cilindrica senza generazione in regime
stazionario
Adimensionalizzazione
T*  1  r*
T* 
r
ln  
r1 

*
r 
r 
ln  2 
 r1 
T  r   T2
T1  T2
T*
1
1
r*
Elementi di Trasmissione del Calore
Conduzione
Simmetria cilindrica senza generazione in regime
stazionario
Definizione della resistenza termica
Q  k  A  r  
dT
1
1 T T
 k  2    r  L   c1  k  2    r  L   1 2 
dr
r
r
r 
ln  1 
 r2 
T T
T T
=k  2    L  1 2  1 2
R
 r1 
ln  
 r2 
r 
ln  2 
 r1 
R
k  2   L
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Simmetria cilindrica con generazione in regime
stazionario
1 d  dT
r
r dr  dr
'''
 u
0

k

c
dT
u'''

r 1
dr
2k
r
c1  0
u''' 2
T 
r  c2
4k
dT
k 
 re   h  T  re   T 
dr
u''' 2
c2  T  re  
re ;
4k
u'''
T  re   T 
re
2h
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Simmetria cilindrica con generazione in regime
stazionario
T
2

u'''
u''' 2   r  
T  r   T 
re 
re 1   
2h
4k   re  


2

u''' 2   r  
T  r   T  re  
re 1   
4k   re  


Te
0
re
r
L’andamento della temperatura all’interno del cilindro è descritto da un
paraboloide con asse coincidente con l’asse di simmetria del cilindro. La massima
temperatura, rispetto a quella superficiale, si ha sull’asse di simmetria.
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Simmetria cilindrica con generazione in regime
stazionario
q  r   u'''
r
2
u'''
Q r   q r   Ar  
r  2    r  L  u'''    r 2  L
2
r
L’andamento del flusso termico all’interno del cilindro è lineare, mentre la
potenza termica ha un andamento parabolico.
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Simmetria cilindrica con generazione in regime
stazionario
Adimensionalizzazione
u''' 2
Tmax  T 0   T  re  
re
4k
T* 
T  r   T  re 
Tmax
r* 
*
T*
1
r
re
*2
T  1 r
1
r*
Conduzione
Elementi di Trasmissione del Calore
Raggio critico di isolamento
Te
NEL CASO DI UN TUBO O CONDOTTO METALLICO LA
TEMPERATURA
DEL
METALLO INTERNO PUO’
ESSERE LA STESSA DEL FLUIDO CONTENUTO;
INOLTRE LO SPESSORE DEL METALLO PUO’ ESSERE
TRASCURABILE RISPETTO ALLO SPESSORE DELL’
ISOLANTE.
R tot 
ln  r2 r1 
2k tubo L
R cond 

ln  r2 r1 
2k tubo L
1
R conv 
h e Ae
Ae  2   re  L
1
h eAe
k
re,critico  isolante
he
ri’
re
ri
Ti
R tot
R cond
R conv
Elementi di Trasmissione del Calore
Conduzione
Raggio critico di isolamento
per re<re,critico le perdite aumentano con l’aggiunta di materiale isolante
per re>re,critico ogni aggiunta di isolante fa diminuire le perdite