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Marinelli Claudia
Introduzione alla TEORIA DEI GIOCHI
 Introduzione alla TEORIA DEI GIOCHI
 Definizione (Gioco strategico)
Un gioco strategico è un modello di interazione tra
soggetti che devono decidere quali azioni compiere per
raggiungere un determinato obiettivo.
Definizione (Teoria dei giochi)
E’ la scienza che studia i giochi strategici.
2
Introduzione alla TEORIA DEI GIOCHI

Un gioco strategico consiste di:

un insieme di giocatori;

per ogni giocatore, un insieme di azioni;

per ogni giocatore, preferenze sull’insieme di
profili.
3
Introduzione alla TEORIA DEI GIOCHI

Funzione di payoff
E’ possibile rappresentare le preferenze attraverso una
funzione di guadagno(payoff), che associa un numero
ad ogni profilo in modo tale che i profili con numeri più alti
sono preferiti rispetto a quelli con numeri più bassi.
Più precisamente, la funzione di payoff  rappresenta le
preferenze di un soggetto se per ogni coppia di profili
a , b risulta:
 ( a )   ( b)
se e solo se il soggetto preferisce il profilo a al profilo b.
4
Introduzione alla TEORIA DEI GIOCHI

Problema:
Quali azioni saranno scelte dai
giocatori?

Ogni giocatore cerca di massimizzare il proprio
guadagno.

In generale, l’azione migliore per un giocatore
dipende dall’azione degli altri partecipanti.

Il giocatore deve formulare una teoria sulle azioni
degli altri giocatori.
5
Equilibri di Nash
 EQULIBRI DI NASH

Definizione (EQULIBRIO DI NASH)
Un equilibrio di Nash è un profilo di azione a * con la
proprietà che nessun giocatore i può fare meglio
scegliendo un’azione differente da a **i , assumendo che
ogni altro giocatore i  j aderisce a a j .

Nello stato idealizzato in cui i giocatori di ogni partita del
game sono scelti in maniera casuale da una collezione
di popolazioni, un equilibrio di Nash corrisponde ad uno
stato stabile.

Se, ogni volta che viene fatta una partita, il profilo delle
azioni è quello dell’equilibrio di Nash a * , allora nessun
giocatore ha qualche ragione per scegliere un’azione
differente dalla propria componente di a *.
6
Equilibri di Nash
Questa definizione non implica nè che ogni gioco strategico
ha un equilibrio di Nash nè che ce ne sia al più uno per
ogni gioco strategico.
Uno dei giochi strategici più noti è il “Dilemma Del
Prigioniero”. Il suo nome viene da una storia che
coinvolgeva due sospetti in un crimine; la sua importanza
viene dalla grande varietà di situazioni in cui i partecipanti
hanno a che fare con decisioni simili a quelle messe di
fronte ai due sospetti della storia.
7
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”
 Esempio : “ Il Dilemma del Prigioniero”
Due sospetti in un grave crimine sono messi in due celle
separate. Ci sono abbastanza prove da incolpare ognuno
dei due di un crimine minore, ma non abbastanza prove
da incolpare uno dei due del crimine maggiore, a meno
che uno dei due non agisca da informatore contro l’altro
(Quiet). Se entrambi stanno zitti (Fink), ognuno dei due
sarà accusato del crimine minore e saranno condannati
ad un anno di prigione. Se uno e solo uno dei due
confessa, egli sarà liberato e sarà usato come testimone
contro l’altro, che sarà condannato a quattro anni di
prigione. Se entrambi confessano, saranno condannati
entrambi a tre anni di prigione.
8
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”
 Modello
•
Giocatori : I due sospetti.
•
Azioni
{Quiet,Fink}
•
Preferenze
L’ordine dei profili di azione dal migliore al peggiore:
 primo sospetto
 (Fink,Quiet)
lui viene liberato
 (Quiet,Quiet)
lui viene condannato ad un
anno di prigione
 (Fink,Fink)
lui viene condannato a tre anni
di prigione
 (Quiet,Fink)
lui viene condannato a quattro
anni di prigione
9
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”

secondo sospetto
Per gli stessi motivi, l’ordine dei profili di azione del
secondo sospetto è:
 (Quiet,Fink)
 (Quiet,Quiet)
 (Fink,Fink)
 (Fink,Quiet).
Possiamo rappresentare il gioco in maniera compatta in
una tavola.
Per prima cosa scegliamo le funzioni di payoff che
rappresentano gli ordinamenti delle preferenze dei due
sospetti.
10
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”
Per il primo sospetto abbiamo bisogno di una funzione
per la quale
1(Fink,Quiet) 1(Quiet, Quiet)  1(Fink, Fink)  1(Quiet, Fink)
Una semplice specifica sarebbe
1(Fink, Quiet)  3
1(Quiet, Quiet)  2
1(Fink, Fink)  1
1(Quiet, Fink)  0.
Allo stesso modo, per il secondo sospetto potremmo
scegliere la funzione 2 per la quale
2 (Quiet, Fink)  3
2 (Quiet, Quiet)  2
2 (Fink, Fink)  1
2 (Fink, Quiet)  0
11
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”
Usando queste rappresentazioni, il gioco è illustrato nella
seguente figura .
sospetto 2
Quiet
Fink
Quiet
sospetto 1
2,2
0,3
3,0
1,1
Fink
Esaminando le quattro possibili coppie di azioni possiamo
vedere che la coppia (Fink,Fink) è l’unico equilibrio di
Nash.
* 12
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”
 La coppia (Fink,Fink) è un equilibrio di Nash perché:
 Se
fissiamo che il secondo giocatore sceglie Fink, per
il primo giocatore è meglio scegliere Fink piuttosto
che Quiet, dato che nel primo caso avrebbe un
guadagno di 1 maggiore del guadagno di 0 che
avrebbe nel secondo caso.
 Analogamente,
se fissiamo che il primo giocatore
sceglie Fink, per il secondo giocatore è meglio
scegliere Fink piuttosto che Quiet, dato che nel primo
caso avrebbe un guadagno di 1 maggiore del
guadagno di 0 che avrebbe nel secondo caso.
13
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”
Pertanto, se uno dei due giocatori si sposta unilateralmente
da Fink a Quiet passerebbe da un guadagno positivo ad un
guadagno nullo.
 Nessun altro profilo è un equilibrio di Nash:
•
(Quiet,Quiet) non è un equilibrio di Nash perché
sia al primo che al secondo giocatore conviene
cambiare unilaterlamente la propria azione dato
che, in tal caso, passerebbe da un guadagno di 2
ad un guadagno di 3.
•
(Fink,Quiet) non è un equilibrio di Nash perché al
secondo
giocatore
conviene
cambiare
unilateralmente la propria azione dato che, in tal
caso, passerebbe da un guadagno di 0 ad un
guadagno di 1.
14
Equilibri di Nash – “Il Dilemma del prigioniero”
•
(Quiet,Fink) non è un equilibrio di Nash perché al
primo
giocatore
conviene
cambiare
unilateralmente la propria azione dato che, in tal
caso, passerebbe da un guadagno di 0 ad un
guadagno di 1.
Nel dilemma del prigioniero, il problema principale è se i
giocatori devono cooperare o no.
Nel seguente gioco, i giocatori sono daccordo nel
cooperare, ma sono in disaccordo sulla migliore soluzione.
15
Equilibri di Nash – “Bach o Stravinsky?”
 Esempio: “Bach o Stravinsky?”
Due persone vogliono uscire insieme.
Ci sono due concerti disponibili: uno di musica di Bach
ed uno di musica di Stravinsky. Una persona preferisce
Bach e l’altra preferisce Stravinsky.
Se essi vanno a concerti differenti, entrambi saranno
scontenti allo stesso modo.
16
Equilibri di Nash – “Bach o Stravinsky?”
Bach
Bach
Stravinsky
Stravinsky
2,1
0,0
0,0
1,2
• (Bach,Bach):
Se il giocatore 1 si sposta da Bach a Stravinsky, il proprio
payoff decresce da 2 a 0;
se il giocatore 2 passa da Bach a Stravinsky il suo payoff
decresce da 1 a 0.
Pertanto questo è un equilibrio di Nash.
17
Equilibri di Nash – “Bach o Stravinsky?”
•
(Bach,Stravinsky):
Se il giocatore 1 si sposta da Bach a Stravinsky, il
suo payoff cresce da 0 a 1, quindi questo non può
essere un equilibrio di Nash.
•
(Stravinsky,Stravinsky):
Se il giocatore 1 si sposta da Stravinsky a
Bach, il proprio payoff decresce da 1 a 0;
se il giocatore 2 passa da Stravinsky a Bach il suo payoff
decresce da 2 a 0.
Pertanto questo è un equilibrio di Nash.
18
Equilibri di Nash – “Bach o Stravinsky?”
Bach
Stravinsky
Bach
2,1
0,0
0,0
1,2
Stravinsky
•
(Stravinsky,Bach):
Se il giocatore 2 si sposta da Bach a Stravinsky, il
suo payoff cresce da 0 a 2, quindi questo non può essere
un equilibrio di Nash.
19
Equilibri di Nash – “Bach o Stravinsky?”
Concludiamo, quindi, che il gioco ha due equilibri di Nash,
che corrispondono agli stati in cui entrambi i giocatori
scelgono la stessa azione.
Come il dilemma del prigioniero, questo esempio modella
una grande varietà di situazioni.
Vediamo ora un caso di gioco puramente conflittuale.
20
Equilibri di Nash – “Matching Pennies”
 Esempio: “Matching Pennies”
Due persone, ognuna delle quali ha una moneta, devono
simultaneamente mostrare un lato (Testa o Croce) delle
loro monete. Se entrambi mostrano lo stesso lato, la
seconda persona paga un euro alla prima persona; se
mostrano lati differenti, la prima persona paga un euro
alla seconda persona. Ogni persona è attenta solo alla
quantità di soldi che riceve e, ovviamente, preferisce
ricevere piuttosto che dare.
21
Equilibri di Nash – “Matching Pennies”
Un gioco strategico che modella questa situazione è
mostrato nella figura
Testa
Croce
Testa
Croce
1,-1
-1,1
-1,1
1,-1
In questo gioco, gli interessi dei giocatori sono
diametralmente opposti (un gioco del genere è detto
“strettamente competitivo”): il giocatore 1 preferirebbe fare
la stessa azione del giocatore 2, mentre quest’ultimo
preferirebbe fare un’azione diversa da quella del giocatore 1.
22
Equilibri di Nash – “Matching Pennies”
Controllando ognuna delle quattro possibili coppie di azioni
possiamo immediatamente vedere che questo gioco non
ha un equilibrio di Nash. Infatti:


(Testa,Testa)
non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 2 conviene passare
da Testa a Croce portando, così, il
suo guadagno da -1 a +1.
(Croce,Croce) non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 2 conviene passare
da Croce a Testa portando, così, il
suo guadagno da -1 a +1
23
Equilibri di Nash – “Matching Pennies”

(Testa,Croce)

(Croce,Testa) non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 2 conviene passare
da Croce a Testa portando, così, il
suo guadagno da -1 a +1.
non può essere un equilibrio di Nash
perché all’agente 1 conviene passare
da Testa a Croce portando, così, il
suo guadagno da -1 a +1.
24
Equilibri di Nash – Prezzo dell’anarchia
 Prezzo dell’anarchia
Koutsoupias, Papadimitriou
• Definizione
Dati un gioco G e una funzione sociale f (somma
delle funzioni di payoff di tutti i giocatori) N ,sia
l’insieme
di tutti gli equilibri di Nash e OPT lo stato
di G che ottimizza f . Il prezzo dell’anarchia  G ( f )
del gioco G rispetto a f è definito come:
G ( f )  sup f ( s )
sN
f (OPT )
• Misura la perdita di ottimalità di un sistema non
regolato a causa della mancanza di cooperazione tra i
giocatori e di coordinazione centrale.
25
Equilibri di Nash – Prezzo dell’anarchia
Per spiegare come definire e misurare la qualità di uno
stato stabile, riprendiamo l’esempio del “Dilemma del
prigioniero”, in cui il problema principale è se i giocatori
devono cooperare o no.
Se i due sospetti potessero cooperare, si accorderebbero
sullo stato (Quiet,Quiet) = OPT.
Ne consegue che il prezzo dell’anarchia risulta essere:
1
G ( f ) 
2
26
Equilibri di Nash – Prezzo dell’anarchia
Subottimalità degli Equilibri di Nash
In generale, un comportamento egoistico di agenti che
popolano un sistema non cooperativo può risultare in
uno stato stabile, il cui valore sociale può essere lontano
dall’ottimo sociale.
27
Routing egoistico della rete
 ROUTING EGOISTICO: INTERNET
Un problema fondamentale nella gestione di traffico a larga
scala e nelle reti di comunicazione è quello del routing del
traffico per ottimizzare le prestazioni della rete.
 Problema
Data una quantità di traffico tra ogni coppia di nodi della
rete, trovare i percorsi che minimizzano la somma dei
tempi di attesa (latenza totale).
28
Routing egoistico della rete
Risulta spesso difficile (quasi impossibile) imporre strategie
di routing ottimali o quasi-ottimali sul traffico di una rete.
Una delle prime strategie proposte è la valutazione di un
costo marginale, anche noto come congestione.
Si considera che su ogni arco ogni utente deve pagare un
costo (tempo) aggiuntivo, pari al ritardo dovuto alla
presenza di altri utenti su tale arco.
Molti decenni dopo, alcuni ricercatori, utilizzando tale
strategia, sono riusciti a scoprire che, sotto alcune
assunzioni, è possibile far fronte all’inefficienza del routing,
scegliendo appropriatamente gli archi della rete.
29
Routing egoistico della rete
 Caratteristiche di Internet
 Le reti sono formate da nodi dislocati in modo
eterogeneo nel mondo e sono caratterizzate da
un’architettura aperta che gli permette una continua e
incontrollata crescita;
 gli utenti della rete si comportano,generalmente, in
maniera “egoistica” (selfish agents);
 il tempo di attesa per un collegamento è dipendente
dal carico del link (congestione della rete);
30
Routing egoistico della rete
 Modellizzazione del problema
E’ chiaro che un sistema del genere può essere ben
modellato utilizzando la teoria dei giochi.
giocatori
azioni
utenti della rete
possibili percorsi attraverso cui
gli utenti possono trasmettere il
proprio traffico
 Assunzioni:
•
•
•
tutti gli utenti agiscono in modo del tutto egoistico;
il traffico di un utente è inoltrato tutto su di uno
stesso percorso e contemporaneamente;
ogni utente controlla una frazione trascurabile
dell’intero flusso.
31
Routing egoistico della rete-Modello
 Modello di una rete
•
Un grafo diretto G = (V,E);
•
k coppie origine-destinazione (s1, t1 ), ..., (s k , t k ) ;
•
ammontare del traffico ri da si a ti , i = 1,2, ...,k;
•
un insieme Pi di cammini da si a ti
•
un insieme P 
;
P ;
i
i
•
per ogni arco ei  E con traffico x, una funzione di
latenza li (x ) ;
32
Routing egoistico della rete-Modello
•
li (x ) è non negativa, differenziabile e non decrescente;
•
un vettore di flusso f P = quantità di traffico del tratto
si - t i in P ;
•
per ogni arco e  E il flusso f e 
•
un flusso
P:eP
fP
;
f si dice ammissibile se per ogni i:

•

PPi
f P  ri
chiamiamo la tripla (G , r , l ) un’ istanza.
33
Routing egoistico della rete-Modello
•
La latenza di un cammino P risulta essere:
lP ( f )  eP le ( f e )
•
il costo di tutti i flussi C ( f ) = latenza totale, risulta:
C ( f )   lP ( f ) f P  eE le ( f e ) f e
PP
 Flussi e Teoria dei giochi
 flusso
la moltitudine di agenti non
cooperativi
 latenza totale
funzione (o benessere)
sociale
34
Routing egoistico della rete-Modello
Esempio:
Una unità di traffico deve andare da s a t
l( x)  x
il ritardo dipende
dalla congestione
1/2
s
t
1/2
l ( x)  1
nessun effetto
di congestione
Ognuno dei due cammini porta metà del traffico
complessivo.
35
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"
 Esempio: “Paradosso di Braess”(1968)
Sia s un quartiere, t una stazione ferroviaria. Due
conducenti vogliono andare e tornare da s a t.
Per il momento, assumiamo che ci siano due rotte che
non interferiscono tra loro, ognuna comprendente una
strada lunga e larga, e una corta e stretta. Per simmetria,
ci aspettiamo che ognuno dei due cammini porti metà del
traffico complessivo, cosicché tutti i conducenti
impiegano 90 minuti (1,5) per viaggiare da s a t.
36
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"
v
1
x
Latenza= 1+0.5 =1.5
1/2
0
s
1
1/2
t
x
w
Supponiamo ora, con l’obiettivo di diminuire i tempi, di
poter introdurre una strada molto corta e molto larga che
collega direttamente i punti intermedi delle due strade, con
funzione di latenza nulla(indipendente dalla congestione
della strada).
37
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"
Come reagiscono i conducenti?
Ogni conducente può risparmiare 30 minuti di viaggio
(assumendo che gli altri utenti non cambino rotta),
seguendo il cammino s → v → w → t.
v
x
1
0
s
1
Latenza = 1+1 =2
t
x
w
Supponiamo che tutti i conducenti, volendo usare la nuova
strada, devino i loro cammini precedenti, per seguire il
cammino s → v → w → t.
38
Routing egoistico-”Paradosso di Braess"
A causa della forte congestione sui tratti (s, v) e (w, t), tutti i
conducenti impiegano 2 ore per andare e tornare da s a t.
Inoltre questa congestione implica che nessuno dei due
cammini precedenti risulti essere migliore, in questo modo
nessuno dei conducenti è incentivato a cambiare strada.
Ancora peggio, ogni altro modello di traffico è instabile: tutti
i conducenti sarebbero incentivati a cambiare cammino.
E’ quindi ragionevole aspettarsi che tutti i conducenti
seguano il cammino s → v → w → t e che quindi
impieghino 30 minuti in più(0.5) del modello originale. Ne
2
4
segue:
G ( f ) 

1.5
3
39
Routing egoistico della rete-Flussi di Nash


Flussi di Nash
Definizione
Un flusso f ammissibile per l’istanza (G , r, l )
è a
Equilibrio di Nash se per ogni i  {1,...,k } , P1  P2 e
  [0, f P1 ] , lP ( f )  lP ( ~f ) , dove
1
2
 fP  
~

fP   fP  
f
 P
P  P1
se P  P2
se
altrimenti
40
Routing egoistico della rete-Flussi di Nash

Principio di Wardrop
•
Lemma
Un flusso f ammissibile per l’istanza (G , r, l ) è a
Equilibrio di Nash se e solo se per ogni i  { 1,...,k}
e P1 , P2  Pi , con f P1  0 , vale
lP1 ( f )  lP2 ( f ).
f assegna
In particolare, tutti i cammini a cui la
quantità positiva di flusso hanno la stessa latenza, si
indica con Li ( f ) .
41
Routing egoistico della rete-Flussi di Nash
• Proposizione
Se f è un flusso a Equilibrio di Nash per l’istanza
(G , r, l ) , allora
k
C ( f )   Li ( f )  ri
i 1
42
Routing egoistico della rete-Flussi ottimali



Flussi ottimali
Un flusso ottimale è un flusso che minimizza la latenza
totale.
Programmazione Convessa


MinC ( f )  Min   ce ( f e ) 
 eE

s.a.
f
PPi
fe 
 ri
P
f
PP:eP
p
fP  0
dove ce ( f e )  le ( f e )  f e
i  { 1,...,k}
e  E
P  P
43
Routing egoistico della rete-Flussi ottimali

Soluzione (flusso ottimale)
•
•
La funzione obiettivo ce ( f e )  le ( f e )  f e è convessa,
ottimo locale = ottimo globale;
Siano
ce 
d
ce (x)
dx
cP ( f )   ce ( f e )
eP
Lemma 1
Un flusso f è ottimale per un programma convesso
della forma(NPL) se e solo se per ogni i  { 1,...,k} e
P1,P2  P,con f P1  0, vale
cP1(f)  cP2 (f)
44
Routing egoistico della rete-Flussi ottimali

Interpretazione di Beckmann
le* ( f e )  ce ( f e )  (le ( f e )  f e )  le ( f e )  le ( f e )  f e
Corollario
Sia (G,r,l) un’istanza con x  le(x) funzione convessa
*
l
e
per ogni arco , con costo marginale . Allora un flusso
ammissibile f per (G,r,l) è ottimale se e solo se è un
*
flusso di Nash per l’istanza (G,r,l ).
45
Routing egoistico della rete-Equilibri di Nash

Esistenza di Equilibri di Nash
Lemma
Un’ istanza (G,r,l), con funzione di latenza continua, non
decrescente, ammette un flusso ammissibile di Nash.
~
Inoltre, se f, f sono flussi di Nash, allora
~
C(f)  C(f).
46
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia
 Il prezzo dell’ anarchia nella rete
 Definizione
Per un’ istanza (G,r,l)
con un flusso ottimale
di Nash , il prezzo
dell’anarchia
f
*
f flusso
e un
C(f)
ρ(G,r,l) 
C(f * )

limite superiore buono ma non ottimo

Corollario: se x  le x     le t dt , con   1 , allora

x
0
 (G , r , l )  
47
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia

Corollario: se le ( x)   ae,i xi con p intero
i 0
positivo e a e ,i reali non negativi, allora
p
 (G , r , l )  p  1
Es.

le ( x )  x 2 , p  2,  (G, r, l )  3
Osservazione
In particolare, questo corollario afferma che in
un’istanza con funzione di latenza lineare (cioè
ogni funzione di latenza le (x )
ha la forma
le ( x)  ae ( x)  be ( x) con ae , be  0), il costo di un
flusso di Nash è al più il doppio del costo del flusso
di minima latenza.
48
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia
 Risultati Bicriteri
 Teorema
Se f è un flusso di Nash per (G,r,l) e f * è ammissibile
per (G,2 r,l) , allora C(f)  C(f * ).
 Teorema
*
(G,r,l)
f
Se f è un flusso di Nash per
e
è ammissibile
1
per (G,( 1  γ)r,l), allora C(f)  C(f * ).
γ
49
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia
Per ogni arco e  E
C ( f )  e ae f e2  be f e
le(x)  ae x  be
(ae , be  0)
*
le* ( x )  2ae x  be
denotiamo la funzione del costo marginale

 Altri risultati per funzioni di latenza lineari
Lemma
Sia (G,r,l) un’istanza con funzioni di latenza le(x)  ae x  be
per ogni e  E . Allora
a) un flusso f è di Nash in G se e solo se per ogni
coppia i sorgente-destinazione e P,P  P con f P  0,
a
eP
f  be   ae f e  be
e e
eP
50
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia
b) un flusso f
*
è ottimale in G se e solo se per ogni
coppia i sorgente-destinazione e P,P  Pcon f P  0
*
*
2
a
f

b

2
a
f
 e e e  e e  be
eP
eP
 Corollario
Sia G una rete in cui la funzione di latenza le di ogni
arco è della forma le(x)  ae x , allora per ogni vettore
di costo r , un flusso ammissibile per (G,r,l) è ottimale se
e solo se è un flusso di Nash.
51
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia


Lemma 2
Supponiamo che (G,r,l)
abbia funzioni di latenza
linerari e che f
sia un flusso di Nash, allora
a) il flusso f / 2 è ottimale per (G,r / 2 ,l) ,
b) il costo di crescita marginale del flusso sul
cammimo P
rispetto a f / 2
equivale alla
latenza di P con flusso f .
Lemma 3
(G,r,l) abbia funzioni di latenza
Supponiamo che
linerari e che f * sia un flusso ottimale. Sia L*i(f * ) il
costo marginale di crescita del flusso su un cammino
si  ti rispetto a f *. Allora per ogni δ  0 un flusso
ammissibile in (G,( 1  δ)r,l) ha almeno costo
k
C(f * )  δ  L*i(f * )ri
i 1
*
52
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia
 Teorema
Se (G,r,l) ha funzione di latenza lineare, allora
dim
4
 (G , r , l ) 
3
 Altri risultati per funzioni di latenza generiche
 Teorema
Sia (G,r,l) un’istanza e V (G )  n , allora
 (G, r, l )  n / 2
53
Routing egoistico della rete-Prezzo dell’anarchia
Conclusione
Attualmente, non ci sono ulteriori risultati per istanze
con generiche funzioni di latenza, ma le buone
prestazioni
di
Internet,
che
osserviamo
quotidianamente, possono essere una prova che esiste
una modellizzazione per tali casi con un “ragionevole”
prezzo dell’anarchia .
54