Overflow
Overflow traboccamento
• Si verifica se il risultato di un’operazione non puo’ essere
rappresentato con il numero di bit a disposizione
Nel caso di complemento a due (la norma):
• Si verifica solo se i segni sono uguali
-124+ 10000100
67= 01000011
_____ ________
-57
11000111
70+ 01000110
70= 01000110
____ ________
140 10001100
1
Segni discordi.
Risultato corretto.
Segni concordi.
Risultato scorretto (140 è fuori dal
range):OVERFLOW.
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Numeri frazionari
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Fixed point
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Numeri frazionari
Floating point come la notazione scientifica
esponenziale
• Esempio:
1753.427 si puo’ rappresentare come:
0.1753427*104= 1.753427*103=...= 1753427*10- 3
Aumenta la gamma di valori rappresentabili
Diminuisce e diventa variabile la precisione:
Non tutti i numeri sono rappresentabili con una certa
rappresentazione
• 10/3 = 3.33?????
• In base tre il risultato dell’operazione e’ rappresentabile:
101/10 = 10.1
3
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Gamma di rappresentazione
Le possibilita’ di rappresentare un certo valore non sono
uniformi in tutta la gamma di valori rappresentabili.
Es. Esponente da –100 a +100 “significand” di 10 cifre
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Normalizzazione
Un numero normalizzato ha il significand con una sola
cifra prima del punto (virgola)
Se la base di rappresentazione e’ due, il numero prima
della virgola non puo’ che essere uno
• Quindi non occorre rappresentarlo
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Standard floating point
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I numeri sono sempre normalizzati, cioe’ la parte
frazionaria e’ del tipo 1.xxxxxxxxx….
Il primo 1 non viene rappresentato perche’ implicito
Lo zero si rappresenta con un esponente e frazione a zero
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Una possibile rappresentazione
floating point
Standard IEEE 754
• Singola precisione, 32 bit
• Doppia precisione, 64
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Rappresentazione dell’esponente
Biased, cioe’ “spostata” di meta’ della precisione
possibile
Esempio: se l’esponente e’ di 8 bit invece di rappresentare
l’esponente in complemento (da –128 a +127) lo si
rappresenta come:
• Esponente reale + 127
• Quindi l’esponente reale –127 viene rappresentato come 0,
l’esponente reale 0 come 127 e l’esponente reale 127 come
255
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Perche’? Per far si’ che due numeri floating point siano
confrontabili in grandezza dagli stessi circuiti che
confrontano i numeri interi.
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Standard IEEE
Singola
Doppia
precisione
Numero di bit nel segno
1
1
Numero di bit nell’esponente
8
11
Numero di bit nella frazione
23
52
Numero di bit, totale
32
64
Rappresentazione dell’esponente
eccesso 127
eccesso 1023
Campo dell’esponente
da -126 a +127
da -1022 a +1023
Numero normalizzato più piccolo
2-126
2-1022
Numero normalizzato più grande
appr. 2128
appr. 21024
Gamma
di
rappresentati
numeri
decimali appr. 10-38 a 1038
Numero più piccolo denormalizzato
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appr. 10-45
appr. 10-308 a 10308
appr. 10-324
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Esempio
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A cosa corrisponde questo numero?
Il bit di segno è 1, mentre il campo esponente contiene
129 e il campo significant contiene 1x2^-2:
il numero corrispondente alla notazione è quindi -1.01 x
2^2, che corrisponde al numero decimale -1.25 x 4=-5.0
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Esempio
Il numero -0.75 (in base 10) è anche -3/4 (in base 10)
oppure -3/22.
La sua rappresentazione binaria è quindi -0.11.
0
Nella notazione scientifica il valore è -0.11 x 2 , mentre la
notazione normalizzata è -1.1 x 2-1.
La rappresentazione generale per un numero in
precisione singola è
(-1)S X (1+significand) X 2(exponent-bias)
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Il numero e’ rappresentato come:
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Approssimazione
La rappresentazione floating point permette di rappresentare
numeri grandi e piccoli ma non sempre permette di
rappresentare tutte le cifre significative che sono il risultato di
un’operazione aritmetica
In questo caso si approssima il risultato
• Semplicemente troncando delle cifre
– L’errore e’ al massimo uguale al valore della cifra meno
significativa
• Troncando e modificando le cifre rimaste per minimizzare l’errore
– Aggiungendo o meno 1 alla cifra meno significativa a seconda
che la cifra eliminata sia maggiore o minore della meta’
– L’errore in questo caso e’ la meta’ della cifra meno
significativa
– Se la cifra troncata e’ esattamente la meta’ non e’ facile
scegliere
• Se si sceglie sempre in un modo si rischia di aumentare gli errori
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Somma e sottrazione
• I numeri devono essere denormalizzati per avere esponente
uguale
– Se I numeri sono di grandezza molto diversa la
denormalizzazione di uno dei numeri puo’ richiedere
una sostanziale perdita di precisione (digit “escono” da
destra)
• L’operazione viene fatta sul significand
• Un eventuale overflow puo’ essere gestito sistemando gli
esponenti
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Moltiplicazione e divisione
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I numeri non devono essere denormalizzati
Gli esponenti vengono sommati (o sottratti)
Eventuali overflow si sistemano aggiustando gli
esponenti
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Configurazioni speciali
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La rappresentazione standard non prevede alcuni casi
particolari che sono utili
Denormalizzati: bit prima della virgola e’ zero, rendono
meno rapida la transizione tra il piu’ piccolo numero
normalizzato rappresentabile e lo zero
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