DISCRETO O
CONTINUO ?
ESISTONO GLI
IRRAZIONALI ?
DISCRETO o CONTINUO
Introduzione
Un sistema si dice:
discreto se è costituito da elementi isolati, non contigui
tra loro.
Mentre è considerato continuo se contiene infiniti
elementi e non vi sono spazi vuoti.
i numeri naturali N={0,1, 2, 3, ...}, formano un insieme
discreto e numerabile (infinito).
Viceversa, l'intervallo costituito da tutti i numeri reali
compresi tra 0 e 1 costituisce un insieme continuo
DISCRETO O CONTINUO?
In Fisica un corpo materiale può essere considerato sia
discreto, in quanto costituito da particelle elementari, sia
continuo, in quanto questo numero è elevatissimo.
Questi esempi mostrano come la distinzione tra discreto e
continuo non sia elementare, ma abbia bisogno di un
approfondimento rigoroso.
Cominciò con i Pitagorici il modello del pensiero binario:
- Il finito, positivo e rassicurante perché imposta ordine;
- l'infinito, negativo perché genera disordine e smarrimento.
Il concetto stesso di infinito lo fornirono i numeri
irrazionali, come ad es: radice di 2 .
Mediante una dimostrazione per assurdo, è
possibile trovare approssimazioni razionali della
radice di 2, senza però mai arrivare ad una
soluzione de-finita.
• I numeri Irrazionali
La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente
attribuita a Pitagora, o più precisamente al
pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una
argomentazione dell'irrazionalità e di √2. Secondo la
tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre
tentava di rappresentare la √2 come frazione
Teorema
Tesi:
La radice di 2 non è un numero razionale cioè non si può esprimere
come
rapporto di due numeri interi e primi fra loro
2
m
n
Dimostrazione (per assurdo):
(Per esempio consideriamo m = 4 e n = 3)
E neghiamo la tesi
ottiene
m
2 , elevando al quadrato i due membri si
n
m2 = 2n2
Ora, questo è assurdo poiché il numero naturale m2 scomposto in
fattori primi (24) o non contiene il fattore 2 o lo contiene un numero pari
di volte, mentre il numero naturale 2n2 (2*32) scomposto in fattori
primi, contiene il fattore 2 un numero dispari di volte.
Quindi l’assurdo e vera la Tesi.
Proviamo ora ad applicare il teorema di
Pitagora ad un triangolo rettangolo ISOSCELE,
di cateto 1: quanto misura l’ipotenusa?
√2
Applicando il teorema risulta che
l’ipotenusa = √12+12= √2
Dato che √2, come appena
dimostrato, è un numero
irrazionale e quindi è
illimitato (non periodico),
come è possibile che
l’ipotenusa che è un
segmento finito rappresenti
tale numero?
32
42
52
ALLORA ESISTONO DAVVERO I
NUMERI IRRAZIONALI?
LA RADICE QUADRATA DI 2
la radice quadrata di due
2
è
anche conosciuta come costante di
PITAGORA.
E’ un numero reale irrazionale, e vale:
1,414213562373095048801….........
L’algoritmo più usato dai calcolatori
che ci permette di calcolare le cifre di
2 è il metodo babilonese
procedimento:
si scelga un qualunque valore iniziale
Fo ; poi, utilizzandolo come primo
valore, iterare la seguente funzione
ricorsiva:
F0 1
F1
2 F0
2
1,414213562373095048801….........
2 Fn 1
Fn
1
2
Fn
E prendendo come valore iniziale
RADICE CON
EXCEL
Fn =1
si ha:
CALCOLO
DELLA
RADICE
METODO DI
NEWTON
1 1 3
2
F1 1,5
1,5 2,25
2 1 2
1,5 1
2
F2
1, 416666667 1, 416666667 2,0069
2 1,5
1, 416666667
1
F3
1, 414215686 (1, 414215682 ) 2 2,000006
2
1, 416666667
1, 414215686
1
F4
1, 414213563 (1, 414213563 ) 2 2,000000002
2
1, 414215686
Ma dovendo fermarsi a n finito troveremo solo un numero razionale.
ESISTONO GLI IRRAZIONALI ?
FORMULE RICORSIVE PER IL CALCOLO DELLE RADICI
LA RADICE QUADRATA DI 2
(utilizzando il Metodo babilonese)
E LA RADICE QUADRATA DI n
( Metodo elaborato nel nostro Istituto
dal prof. Luigi Sità)
RISOLVONO IL PROBLEMA
MENTRE LA RADICE ENNESIMA DI
a con la formula:
•
Conduce ad una elaborazione caotica sensibile alle
condizioni iniziali e imprevedibile quanto più n cresce.
(formula elaborata dal prof. Luigi Sità )
INTRODUZIONE AL
CAOS
Mentre la Formula di Newton
converge alla radice
• Dimostrazione
formula
Un sistema si dice caotico se presenta
almeno una delle seguenti caratteristiche:
Sensibilità alle condizioni iniziali.
Imprevedibilità.
Irreversibilità.
Prenderemo in considerazione
l’irreversibilità
l’imprevedibilità e
analizzando i seguenti esperimenti:
Tra Matematica
e Caos
L’imprevedibilità
Applicazione di Bernoulli
xn1 2 xn mod 1 con x1 0, 1 0,5
x
x1 = 0,2
x2 = 2x1 = 0,4
1
x3 = 2x2 = 0,8
0,8
x4 = 2x3 = 1,6 = 0,6
x5 = 2x4 = 0,2
0,6
0,4
0,2
n
Tra Matematica
e Caos
L’imprevedibilità
Simulazione con visual basic
Clicca sull’immagine
Tra Matematica
e Caos
L’imprevedibilità
Conclusioni
È sensibile alle condizioni iniziali
È imprevedibile
È irreversibile
Avanti
L’imprevedibilità
Tra Matematica
e Caos
Applicazione di Bernoulli
PROCESSO IRREVERSIBILE:
Consideriamo il numero:
0,4
questo potrebbe essere il successivo di:
0,2
Oppure di:
0,7
1,4mod1
Non possiamo stabilire con esattezza la condizione di partenza.
Esperimento di Ludwig Eduard
Boltzmann
Mediante: il
Modello delle
urne di
Ehrenfest
1
12
7
9
3
4
E L’Applicazione all’espansione
libera di un gas
supponendo che le 12 palline delle due
urne siano molecole di un gas
2
6
5
10
1
5
9
2
6
1
0
3
7
1
1
4
8
1
2
11
8
Studio del moto di un gas attraverso il:
Modello delle urne di Ehrenfest
Ogni volta che si estrae un biglietto, la pallina corrispondente cambia urna, e il
biglietto viene reinserito.
1
12
7
9
A
3
4
2
6
5
10
B
11
1
5
9
2
6
1
0
3
7
1
1
4
8
1
2
8
Bigliettini numerati
Modello delle urne di Ehrenfest
Dopo un certo numero di estrazioni avremo un certo numero di palline nell’urna
blu (A) e un certo numero nell’urna rossa (B).
Operando in termini probabilistici possiamo indicare tale stato con il simbolo
[NA,NB]; a tale stato corrispondono tutti i microstati ottenibili permutando le palline
in A e B.
Cosa accade se effettuiamo un numero grandissimo di estrazioni?
Simulazione con visual basic
Clicca sull’immagine
Applicazione all’espansione libera di un gas
Ma supponiamo che le palline delle due urne siano 12 molecole di un gas e che
le due urne siano due regioni comunicanti.
Che cosa accade?
Questo modello ci torna utile?
Clicca sull’immagine
Laboratorio
t = t0
t = t1
t = t2
t = t3
Sn
Dx
100
60
80
40
60
20
40
100
100
80
80
60
60
40
L’irreversibilità
Laboratorio
Applichiamo la legge dei gas perfetti:
P1 V1 n1RT1
P2 V2 n2 RT2
P1 V1
n R T1
1
P2 V2 n2 R T2
Dividendo membro a membro si ottiene:
Essendo i volumi uguali
al tempo t1
V1 = V2 e le temperature uguali T1 = T2 si ottiene:
P1 n1
P2 n2
per l’applicazione di EHRENFEST ( stato più probabile )
quindi pressione uniforme nei due recipienti
n1 n2
n1 n2 P1 P2
Conclusioni
È irreversibile e quindi è un sistema caotico!
IL Caos
Trasformazione del fornaio
L’applicazione generalizzata
nelle 2 variabili x e y
Trasformazione:
Lungo l’asse x
Lungo l’asse y
si raddoppia
si dimezza
Simulazione con visual basic
della trasformazione del fornaio
e la scintilla.
Clicca sull’immagine
Mediante questi esperimenti abbiamo
dimostrato come i corpi ed in particolare l’aria
siano modelli discreti.
Quindi come possono esistere i numeri
irrazionali, che non sono ben definiti, per
misurare corpi discreti come nel caso della
diagonale di un quadrato di lato unitario?
Esistono davvero i numeri
irrazionali?
ESISTONO GLI IRRAZIONALI ?
I proff: Bruno Reffo, Luigi Sità, Di Paola Fabrizio e
Iannuzzi Albina.
Con la collaborazione dei seguenti alunni:
POSTAZIONE SU PC,
ROVELLI MAURO, LOSMA FRANCESCO.
PRESENTAZIONE e BOTTIGLIONI (Irrazionali, Bolztmann e Ehrenfest)
SIBOLDI CHIARA, COCCO BASTIAN, MIDALI FATIMA , BOSIO ALESSANDRO,
AVOGADRO NICOLO' , BUSI ALESSANDRA , BEGNIS MATTIA, BIANCHI THIBAUT,
GERVASONI LARA , RUBIS SOFIA, PESENTI MARINA, POZZI ANDREA
ZILIATI SIMONE e PANDINI DAVIDE.
SCARICA ELETTRICA ( trasformazione del fornaio)
MILESI DANIELE, CORNAGO STEFANO, GALIZZI MATTEO , BORDOGNA FRANCESCO
