Funzioni continue

Funzioni continue
Prof. V. Scaccianoce
1
Funzione continua in un punto
• Una funzione f(x) definita in un intervallo si dice
continua in un punto dell’intervallo se, per x
tendente a quel punto f(x) converge al suo valore
in quel punto
f ( x)continua in c  lim f ( x)  f (c)
x c
oppure posto x  c  h
lim f (c  h)  f (c)
h 0
Prof. V. Scaccianoce
2
Funzione continua in un punto
Quindi deve
• Esistere il valore della funzione in quel punto
• Esistere il limite della funzione per x tendente
a quel punto e coincidere col valore della
funzione
Prof. V. Scaccianoce
3
Funzione continua in un punto
Dalla definizione di limite si può anche dire
• Una funzione è continua in un punto c se
avvicinandosi x a c la funzione si avvicina a f(c)
oppure cade in un ε intorno di f(c)
f ( x) : D( f ( x))  (a, b)  c  (a, b) continua in c
def

x  c  f ( x )  f (c )  
oppure
x  c  f (c )    f ( x )  f (c )  
Prof. V. Scaccianoce
4
Funzione continua a destra o a
sinistra di un punto
• Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice
continua a destra di un punto c dell’intervallo se
lim f ( x)  f (c)
x c
• Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice
continua a sinistra di un punto c dell’intervallo se
lim f ( x)  f (c)
x c
Prof. V. Scaccianoce
5
Esempi
• La funzione y=[x] (parte intera di x) per
ogni x intero è continua solo a destra
• Una funzione definita nell’intervallo (a,b)
in a è continua solo a destra, in b solo a
sinistra
Prof. V. Scaccianoce
6
Teoremi sulle funzioni continue
Dalla definizione di continuità e dai teoremi
sui limiti segue che
• Se 2 funzioni sono continue in un punto c
è continua in c
– La loro somma
– La loro differenza
– Il loro prodotto
– Il loro quoziente (se la funzione al
denominatore non si annulla in c)
Prof. V. Scaccianoce
7
Teoremi sulle funzioni continue
• Una funzione costante è continua in
qualsiasi punto
• La variabile x è continua in qualsiasi punto
• Le funzioni razionali intere sono continue
in qualsiasi punto
• Le funzioni razionali fratte sono continue
per ogni valore della x che non annulli il
denominatore
Prof. V. Scaccianoce
8
f(x)=k continua x
• La funzione è definita per ogni valore
• Esiste il limite per x tendente ad un
qualsiasi punto c ed è k infatti
• | f(c)-k|=|k-k|=0<ε
Prof. V. Scaccianoce
9
f(x)=x continua x
• La funzione è definita per ogni valore
• Esiste il limite per x tendente ad un
qualsiasi punto x0 ed è x0 infatti
• | f(c)- c |=| c - c |=0<ε
Prof. V. Scaccianoce
10
Teoremi sulle funzioni continue
• Le funzioni senx e cosx sono continue per
ogni valore della x
• La funzione y=ax (a>0) è continua x
• La funzione lgax (a>0) è continua x>0
• La funzione y=n√x è continua x>=0
Prof. V. Scaccianoce
11

Esempi
1
lim sen ( x)  sen ( ) 

6
2
x
6
lim ( x 3  5 x 2  7)  23  5  2 2  7  5
x2
lim 5 x  53  125
x 3
2
 x
lim  3  2 lg x    3  2 lg 1  2  5
x 1
x



1 13
lim (2tg x  cos x)  2tg
 cos  6  

3
3
2 2
x
2
2
3
x 2  3 x  7 25  15  7 17
lim


x 5
2x 1
10  1
11
Prof. V. Scaccianoce
12
Continuità in un intervallo
• Sia y=f(x) una funzione definita in [a.b]
essa è continua in tale intervallo se lo è
per ogni punto dell’intervallo
(dal punto di vista intuitivo equivale a dire
che il diagramma della funzione è “tutto
d’un pezzo”)
Prof. V. Scaccianoce
13
Teoremi sulla continuità
Se una funzione è continua in x0
• Se f(x0)>0 esiste un intorno di x0 in cui
f(x) > (Permanenza del segno)
• Se una funzione è continua in [a;b] e se
f(a)e f(b) hanno segno opposto, allora
esiste almeno x0 in cui f(x0)=0
(Esistenza degli zeri)
Prof. V. Scaccianoce
14
Teoremi sulla continuità
Se una funzione è continua in [a,b]
• in tale intervallo assume valore massimo
M e minimo m (Weierstrass)
• in tale intervallo assume tutti i valori
compresi tra il massimo e il
minimo(Bolzano-Darboux)
• se agli estremi assume valori opposti, si
annulla almeno in un punto dell’intervallo
Prof. V. Scaccianoce
15
Funzione di funzione
• Data la funzione z=g(x) da A a B e si
chiama funzione di funzione o funzione
composta y=f(z)=f(g(x)) quella funzione
che ad ogni valore di z=g(x) associa un
determinato valore
• Esempio: z=g(x)=2x2+3 è una funzione il
cui codominio è z≥3 y=f(z)=lg(z) ha quindi
senso e y=lg(2x2+3) è la funzione
composta tra f e g, cioè f(g(x))
Prof. V. Scaccianoce
16
Teorema
• Se g(x) ammette limite finito l per x che tende a
x0 e f(z) è continua in l allora
lim f ( g ( x))  f ( lim g ( x))  f (l )
x x0
x x0
Prof. V. Scaccianoce
17
Funzione inversa
• Se una funzione y=f(x) è biunivoca ad ogni
valore di y corrisponde uno ed un solo valore di
x quindi si può parlare di funzione che ad ogni
valore della y fa corrispondere un valore x
(x=g(y)) tale funzione è chiamata funzione
inversa
• Esempi y=x2+5 è biunivoca per x≥0 l’inversa è
x=√(y-5)
• y=lg(x) è monotona la sua inversa è x=ay
Prof. V. Scaccianoce
18
Teorema
• Se una funzione è continua in un intervallo
ed assume i valori m ed M come minimo e
massimo, la sua funzione inversa è
continua nell’intervallo (m,M)
Prof. V. Scaccianoce
19
senx
Limiti fondamentali
senx
lim
1
x 0
x
y
tgx
O
x
Si dimostra l’esistenza del limite destro
senx
lim
1
x 0
x
x
Per x che tende a 0+ senx>0
Poiché senx<x<tgx
dividendo per senx>0
1<x/senx<1/cosx invertendo
cosx<senx/x<1
poiché cosx e continua
e per il teorema del
confronto CVD
Analogamente si dimostra l’esistenza del limite sinistro
senx
lim
1
x 0
x
Essendo uguali i 2 limiti è dimostrato il limite richiesto
Se la variabile è espressa inProf.
gradi
il limite vale π/180
V. Scaccianoce
20
Limiti fondamentali
1  cos x 1
lim

2
x 0
x
2
DIMOSTRAZIONE
2
1  cos x 1  cos x
1  cos x
1
lim

 lim

2
2
x 0
x
1  cos x x0
x
1  cos x
2
sen x
1
1
lim


2
x 0
x
1  cos x 2
Prof. V. Scaccianoce
21
Limiti fondamentali
x
 1
lim 1    e
x 
 x
e=2,71… ed è la base dei logaritmi neperiani
O anche
lim 1  x   e
x 0
1
x
Prof. V. Scaccianoce
22
Limiti fondamentali
lg a (1  x )
 lg a e
x 0
x
lg( 1  x )


 1
 o anche lim
x 0
x


lim
lg a (1  x )
lim
 lim lg a (1  x ) x  lg a lim (1  x ) x  lg a e
x 0
x 0
x 0
x
1
1
a x 1
lim
 lg a
x 0
x
posto a x  1  t
( per
cioè
ax  1 t
x  lg a (1  t )
a x 1
t
x  0, t  0) lim
 lim

x 0
x

0
x
lg a (1  t )
1
 lg e a
lg a e
Prof. V. Scaccianoce
23
Punti di discontinuità o singolari
• 1a specie: se in quel punto esistono finiti i
limiti destro e sinistro e sono diversi
• La differenza dei 2 limiti si chiama salto
• Esempio la funzione f(x)=[x] (parte intera
di x) per ogni x intera ha una discontinuità
di 1a specie con salto=1
Prof. V. Scaccianoce
24
Punti di discontinuità
• 2a specie: quando in quel punto non
esiste uno dei 2 limiti destro o sinistro o se
esiste è ±∞
• y=sen(1/x) in x=0 ha discontinuità di 2a
specie perché in tale punto non esiste
limite né destro né sinistro
• y=a1/x con a>1 ha in x=0 una discontinuità
di 2a specie perché il limite per x che tende
a 0 da destra è +∞
Prof. V. Scaccianoce
25
Punti di discontinuità
• 3a specie: se esiste il limite finito della
funzione il quel punto, ma ivi essa non è
definita o, se è definita, il suo valore non è
uguale al valore del limite.
• In questo caso la discontinuità si dice
anche eliminabile
• f(x)=sen(x)/x ha in 0 una discontinuità di 3a
specie infatti per x=0 esiste il limite, ma la
funzione non è definita
Prof. V. Scaccianoce
26
Esercizi
• Studiare i punti singolari di y=tg(1/x)
– La funzione non esiste per x=0 e x=π/2+kπ
– Per x=0 non esiste né il limite destro né il
sinistro (discontinuità di 2a specie)
– Per x=π/2+kπ la funzione vale ±∞
(discontinuità di 2a specie)
Prof. V. Scaccianoce
27
Forma indeterminata 0/0
• Se si tratta di una funzione razionale fratta P(x)/Q(x) poiché
i polinomi sono funzioni continue il limite per x tendente a c
sarà P(c)/Q(c), per il teorema del resto si avrà quindi che
sia P(c) che Q(c) sono divisibili per (x-c) si opera quindi la
semplificazione in quanto per x che tende a c x non è c e
quindi si può dividere

1 x
1 x
1  1

 

lim

lim

x 1 2 x 2  2
x 1  2(1  x )(1  x )
x 1 
 2(1  x)  4
lim
1 x
x 1
1

lim

lim
1
x  1 x 2  3 x  2
x 1 ( x  1)( x  2)
x 1 x  2
lim
Se non si tratta di un
polinomio fratto, si utilizza il
metodo della sostituzione
da solo o in combinazione
con la fattorizzazione con
limiti notevoli
arctg ( x)
posto y  arctg ( x) ( per x  0, y  0)
x 0
x
y
y
 lim
 lim
 cos y  11  1
y 0 tg ( y )
y 0 sen ( y )
lim
Prof. V. Scaccianoce
28
Forma indeterminata 0*∞
• In certi casi è sufficiente operare delle semplificazioni dopo
aver spostato i fattori in modo da poterli semplificare

lim x  4
x 2
2

1
1
 lim ( x  2)( x  2)

x  2 x2
x2
( x  2) 2
lim ( x  2)
 lim ( x  2) ( x  2)  0
x 2
x 2
x2
Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della
sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con
limiti notevoli
1  sen 2 ( x)
sen( x) cos 2 ( x)
lim tg ( x) 
 lim


x 0
x

0
x
cos( x)
x
sen( x)
lim
 cos x  11  1
x 0
Prof. V. Scaccianoce
x
29
Forme indeterminate ∞-∞
• Se si tratta di un polinomio intero P(x) si mette in
evidenza il monomio di grado maggiore (è facile
costatare che il limite corrisponde al limite di
quel solo monomio e quindi è + o - ∞ a seconda
del coefficiente e del grado del monomio)
• In altri casi, dopo aver individuato i termini a e b
che tendono a +∞ e -∞ si razionalizza
moltiplicando per la somma algebrica degli
stessi termini di cui il 2° cambiato di segno.
Prof. V. Scaccianoce
30
Forme indeterminate ∞/∞
• Se si tratta di un polinomio fratto P(x)/Q(x) si
mette in evidenza il termine di grado maggiore e
si semplifica stando attenti ai segni
• È valida la seguente tabella
Numeratore >
di grado
del
denominatore
den>num
x tende a
+∞
x tende a
-∞
Segni
concordi
discor
di
Segni
concordi
discor
di
+∞
-∞
+∞
-∞
Se il grado del numeratore è uguale a quello del
Scaccianoce
denominatore il risultato è Prof.
datoV.dal
rapporto dei
coefficienti di grado massimo
x tende a
±∞
0
31