Il primo insieme numerico che abbiamo scoperto è stato l’insieme dei
numeri naturali, l’insieme N.
L’impossibilità di trovare in N il quoziente tra due numeri naturali ci ha
portati a vedere la frazione come quoziente sempre possibile e
abbiamo scoperto l’insieme dei numeri razionali, cioè l’insieme Q .
Di questo insieme sappiamo che:
• è infinito e ordinato;
• è chiuso rispetto all’addizione, alla moltiplicazione e alla divisone:
• in esso non sempre è possibile la sottrazione;
• è formato dai numeri decimali limitati e illimitati periodici;
• contiene l’insieme N, ovvero i numeri naturali fanno parte
dell’insieme Q.
Q
+
N
Numeri decimali limitati
Numeri decimali periodici
Negli insiemi Q+ e N non è sempre possibile eseguire
la sottrazione; questo problema e un altro di natura
pratica, come vedremo, portano alla necessità di
ampliare ulteriormente i nostri numeri.
Come sai già, per indicare:
• temperature sopra o sotto lo zero,
• altitudini sopra o sotto il livello del mare,
• bilanci in attivo o in passivo,
• date prima o dopo Cristo.
• ecc.
Si ricorre all’uso di numeri preceduti dal segno + o dal segno -.
Tutti i numeri naturali o razionali che conosciamo preceduti dal segno
+ o – si chiamo rispettivamente:
• + 9 - 8 + 24 - 35 + 230
semplicemente numeri interi
• 3 1 1,5 8,4 0,8
5
9
numeri interi relativi o
numeri razionali relativi
Questi numeri formano altri insiemi numerici, esattamente:
I numeri naturali preceduti dal segno + formano l’insieme dei numeri
interi positivi che si indica con Z.+
I numeri naturali preceduti dal segno meno formano l’insieme dei
numeri interi negativi che si indica con Z I due insieme Z + e Z - formano complessivamente l’insieme dei
numeri interi che si indica
con Z.
+
L’ insieme Z coincide con N, ovvero i numeri naturali coincidono con i
numeri interi positivi che, quando non c’è possibilità di equivoco, si
possono scrivere senza segno + davanti: + 7 = 7, N = Z+. All’insieme Z
appartiene quindi anche il numero 0 (zero) al quale non si attribuisce
alcun segno.
I numeri razionali preceduti dal segno + formano
l’insieme dei numeri razionali positivi che si
indica con Q +
I numeri razionali preceduti dal segno – formano
l’insieme dei numeri razionali negativi che si
indica con Q I due insiemi Q +e Q -formano complessivamente
l’insieme dei numeri razionali relativi che si
indica con Q
Soffermiamoci, per il momento, sull’insieme dei numeri interi e
rappresentiamoli sulla retta orientata dei numeri. Per fare ciò:
1) Disegniamo la semiretta orientata di origine O e
prolunghiamola anche dalla parte opposta: avremo due semirette
di origine O a cui facciamo corrispondere il numero 0;
O
0
2) Stabiliamo il verso di percorrenza sulla retta da O verso destra
per i numeri positivi e verso sinistra per i numeri negativi;
-
+
3) Fissiamo l’unità di misura e, in base a essa,
troviamo le immagini dei numeri sulla retta.
-4
-2
+1
+2
+4
+
Osserviamo che:
• i numeri interi sono costituiti da un segno (+ o -) e da un
numero naturale;
• il segno + dei numeri naturali positivi si può anche sottintendere;
• la parte numerica senza il segno prende il numero di modulo o
valore assoluto e si indica nel seguente modo:
5 , 5 (leggi “valore assoluto di +5 o di -5”)
Ed è ovviamente: 5 5, 5 5
• i numeri aventi tutti lo stesso segno si dicono concordi, i numeri
con segno fra loro diverso si dicono discordi:
- 4, - 2 e - 1 sono concordi;
+ 1, + 2 e + 4 sono concordi;
- 4 e + 1; + 2 e - 8 sono discordi.
• due numeri discordi ma con lo stesso valore assoluto si
dicono opposti;
-4 e + 4; + 2 e – 2 sono opposti.
Sulla retta orientata avremo:
opposti
-4
-6
-3 -2
concordi
0 +1
discordi
+4
+3
+6
+5
+
+7
u
concordi
Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno.
Due numeri interi relativi si dicono discordi se hanno segno
diverso. Due numeri interi relativi si dicono opposti se sono
discordi ma hanno lo stesso valore assoluto.
Per confrontare due numeri interi osserviamone la rappresentazione
sulla retta orientata:
Andando verso sinistra il valore diminuisce
numeri negativi
-4 -3 -2 -1 0
Andando verso destra il valore aumenta
numeri positivi
+1
+2
+3
+4 +5 +6
+7
Possiamo affermare che:
• Qualsiasi numero positivo è maggiore di un qualsiasi
numero negativo, ovvero fra due numeri discordi è
maggiore sempre il positivo.
• lo zero è minore di qualsiasi numero positivo e maggiore
di un qualsiasi numero negativo.
• Fra due numeri concordi è maggiore quello che ha
maggior valore assoluto.
• Fra due numeri concordi negativi è maggiore quello che
ha minore valore assoluto.
Addizionare due numeri interi significa contare, dopo il primo, tante
unità quante sono quelle del secondo.
Ma il secondo numero può essere positivo o negativo e il segno,
ovviamente, va tenuto presente. In che modo? Contando, in
riferimento alla retta orientata, verso destra, se il numero da
addizionare è positivo, verso sinistra se è negativo.
Vediamo alcuni esempi:
1)
(+ 3) + (+ 4) = ?
Partiamo dal numero + 3 e contiamo verso destra quattro unità;
perveniamo così al numero + 7;
u
(+ 3) + (+ 4) = +7
+4
0
+3
+7
2)
(-2) + (-6) = ?
Partiamo dal numero – 2 e contiamo, andando verso
sinistra, sei unità; perveniamo così al numero – 8.
(- 2) + (- 6) = - 8
u
-6
-8
+
-2
0
3)
(+ 5) + (- 2) = ?
Partiamo dal numero + 5 e contiamo, andando verso
sinistra, due unità; perveniamo al numero + 3.
(+ 5) + (- 2 ) = + 3
u
-2
0
+3
+
+5
4)
(- 5) + (+ 2) = ?
Partiamo dal numero – 5 e contiamo, andando
verso destra, due unità; perveniamo al numero – 3.
(- 5) + (+ 2) = - 3
-
+2
-5
u
+
-3
0
• La somma di due numeri interi relativi concordi è
un numero intero concorde a essi e avente per
valore assoluto la somma dei valori assoluti:
(+ 4) + (+ 7) = + 11; (- 4) + ( - 6) = - 10
• La somma di due numeri interi relativi discordi è un numero
intero concorde all’addendo che ha maggior valore assoluto e
avente per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.
(- 5) + ( + 13) = + 8; (+ 4) + (- 19)= - 15
• La somma di due numeri interi opposti è uguale a zero:
(- 9) + (+9) = 0
Sottrarre due numeri relativi vuol dure trovare un
terzo numero che, addizionato al secondo, dia come
risultato il primo.
(+ 9) - ( + 4) = + 5; (+ 10) - ( - 8) = + 18; (- 3) - (+ 8) = - 11
La differenza fra due numeri interi si ottiene
addizionando al primo l’opposto del secondo.
Si dice addizione algebrica una successione di addizioni e di
sottrazioni fra numeri relativi.
Il risultato si chiama somma algebrica.
Semplificazione nel calcolo di una somma algebrica
Un ‘addizione algebrica può essere eseguita in modo più spedito,
tenendo conto delle seguenti considerazioni.
1) Le parentesi, che servono a separare il segno di operazione dal
segno del numero, le possiamo sopprimere, così come il segno di
operazione, avendo però cura di trascrivere il secondo numero con lo
stesso segno se sopprimiamo il segno di addizione, cambiandolo di
segno se sopprimiamo il segno di sottrazione; se per esempio
dobbiamo eseguire:
(+ 5) + (- 3) scriveremo: + 5 – 3 = + 2
Nel caso in cui si voglia eseguire:
( + 7) - ( - 4) scriveremo: + 7 + 4 = + 11
2) Nell’addizione algebrica valgono le proprietà commutativa e
associativa viste in aritmetica, per cui si possono addizionare
prima tutti i numeri positivi, poi tutti i numeri negativi e quindi
addizionare i due numeri relativi ottenuti.
Per esempio:
( + 5) - ( + 4) - ( - 2) + ( + 10) + ( - 3) =
+ 5 - 4 + 2 + 10 – 3 = + 17 – 7 = + 10
Moltiplicare due numeri relativi vuol dire trovare un terzo numero
che contenga tante unità uguali al primo numero quante sono le
unità del secondo.
1) (+ 7) ∙ (+ 3) = ?
( + 7) ∙ (+ 3) = ( + 7)+ ( + 7)+ ( + 7) = + 7 + 7 + 7 = + 21
2) (- 5) ∙ ( + 4) = ?
(- 5) ∙ ( + 4) = - 5 - 5 - 5 - 5 = - 20
3) ( + 3) ∙ ( - 5) = ?
( + 3) ∙ ( - 5) = - 5 - 5 - 5 = - 15
Il prodotto di due numeri relativi è un numero che ha per valore
assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è positivo se i due numeri
sono concordi, negativo se i due numeri sono discordi.
Tabella dei segni:
x
+
-
+
+
-
+
che si legge:
“+ per + dà +
+ per – dà –
- per + dà –
- per – dà +”
Dividere due numeri relativi (il secondo diverso da zero) vuol dire
trovare quel numero relativo che, moltiplicato per il secondo, ci dà
come prodotto il primo.
(+15) : (+3) = +5 perché (+5) · (+3) = +15
(-21) : (-7) = +3
perchè (+3) · (-7) = -21
(-56) : (+8) = -7
perchè (-7) · (+8) = -56
(+16) : (-2) = -8
perché (-8) · (-2) = +16
Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo che ha
come valore assoluto il quoziente dei valori assoluti ed è positivo
se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi.
Tabella dei segni:
:
+
-
+
+
-
+
che si legge: “+ diviso + dà +
+ diviso - dà - diviso + dà - diviso - dà + ”
