Il primo insieme numerico che abbiamo scoperto è stato l’insieme dei
numeri naturali, l’insieme N.
L’impossibilità di trovare in N il quoziente tra due numeri naturali ci ha
portati a vedere la frazione come quoziente sempre possibile e
abbiamo scoperto l’insieme dei numeri razionali, cioè l’insieme Q .
Di questo insieme sappiamo che:
è infinito e ordinato;
è chiuso rispetto all’addizione, alla moltiplicazione e alla divisone;
in esso non sempre è possibile la sottrazione;
è formato dai numeri decimali limitati e illimitati periodici;
contiene l’insieme N, ovvero i numeri naturali fanno parte
dell’insieme Q .
Q
+
N
Numeri decimali limitati
Numeri decimali periodici
Negli insiemi Q+ e N non è sempre possibile eseguire
la sottrazione.
Questo problema e un altro di natura pratica, come
vedremo, portano alla necessità di ampliare
ulteriormente i nostri numeri.
Come è noto, per indicare:
• temperature sopra o sotto lo zero
• altitudini sopra o sotto il livello del mare
• bilanci in attivo o in passivo
• date prima o dopo Cristo
si ricorre all’uso di numeri preceduti dal segno + o dal segno Tutti i numeri naturali o razionali che conosciamo preceduti dal segno
+ o – si chiamano rispettivamente:
• +9 -8 +24 -35 +230
•
3
5
1
9
1,5 8,4 0,8
numeri interi relativi (Z)
numeri razionali relativi (Q)
Soffermiamoci, per il momento, sull’insieme dei numeri interi e
rappresentiamoli sulla retta orientata dei numeri. Per fare ciò:
1) Disegniamo la semiretta orientata di origine O e prolunghiamola
anche dalla parte opposta; avremo due semirette di origine O a cui
facciamo corrispondere il numero 0.
O
0
2) Stabiliamo il verso di percorrenza sulla retta; da O verso destra
per i numeri positivi e da O verso sinistra per i numeri negativi.
O
+
3) Fissiamo l’unità di misura e, in base ad essa, troviamo le immagini
dei numeri sulla retta.
+
-4
-2
0
+1
+2
+4
Osserviamo che:
• i numeri interi sono costituiti da un segno e da un numero naturale;
• la parte numerica senza il segno prende il numero di modulo o valore
assoluto e si indica nel seguente modo:
5, 5
• due numeri aventi lo stesso segno si dicono concordi, due numeri con
segno fra loro diverso si dicono discordi
- 4 e - 2 sono concordi
+ 1 e + 2 sono concordi
- 4 e + 1; + 2 e - 8 sono discordi
• due numeri discordi ma con lo stesso valore assoluto si dicono opposti
- 4 e + 4; + 2 e - 2 sono opposti
Sulla retta orientata avremo:
opposti
-4
-6
-3 -2
concordi
0 +1
discordi
+4
+3
+6
+5
+
+7
concordi
u
Per confrontare due numeri interi osserviamo la rappresentazione
sulla retta orientata:
Andando verso sinistra il valore diminuisce
numeri negativi
-4 -3 -2 -1 0
Andando verso destra il valore aumenta
numeri positivi
+1
+2
+3
+4 +5 +6
+7
Addizionare due numeri interi significa contare, dopo il primo,
tante unità quante sono quelle del secondo.
Ma il secondo numero può essere positivo o negativo e il segno,
ovviamente, va tenuto presente. In che modo? Contando, in
riferimento alla retta orientata, verso destra, se il numero da
addizionare è positivo, verso sinistra se è negativo.
Esempi
1)
(+ 3) + (+ 4) = ?
Partiamo dal numero + 3 e contiamo verso destra quattro unità;
perveniamo così al numero + 7.
(+ 3) + (+ 4) = +7
+4
0
+3
+7
2)
(-2) + (-6) = ?
Partiamo dal numero – 2 e contiamo, andando verso
sinistra, sei unità; perveniamo così al numero – 8.
(- 2) + (- 6) = - 8
-6
-8
+
-2
0
3)
(+ 5) + (- 2) = ?
Partiamo dal numero + 5 e contiamo, andando verso
sinistra, due unità; perveniamo al numero + 3.
(+ 5) + (- 2 ) = + 3
-2
0
+3
+
+5
4)
(- 5) + (+ 2) = ?
Partiamo dal numero – 5 e contiamo, andando
verso destra, due unità; perveniamo al numero – 3.
(- 5) + (+ 2) = - 3
-
+2
-5
+
-3
0
In definitiva:
• La somma di due numeri interi relativi concordi è un numero
intero concorde a essi e avente per valore assoluto la somma
dei valori assoluti.
(+ 4) + (+ 7) = + 11; (- 4) + ( - 6) = - 10
• La somma di due numeri interi relativi discordi è un numero
intero concorde all’addendo che ha maggior valore assoluto e
avente per valore assoluto la differenza dei valori assoluti.
(- 5) + ( + 13) = + 8; (+ 4) + (- 19)= - 15
• La somma di due numeri interi opposti è uguale a zero:
(- 9) + (+9) = 0
Sottrarre due numeri relativi vuol dire trovare un
terzo numero che, addizionato al secondo, dia come
risultato il primo.
(+ 9) - ( + 4) = + 5; (+ 10) - ( - 8) = + 18; (- 3) - (+ 8) = - 11
La differenza fra due numeri interi si ottiene
addizionando al primo l’opposto del secondo.
Si dice somma algebrica una successione di addizioni e di sottrazioni
fra numeri relativi.
Semplificazione nel calcolo di una somma algebrica
Una somma algebrica può essere eseguita in modo più spedito,
tenendo conto delle seguenti considerazioni:
1) Le parentesi, che servono a separare il segno di operazione dal
segno del numero, le possiamo sopprimere, così come il segno di
operazione, avendo però cura di trascrivere il secondo numero con lo
stesso segno se sopprimiamo il segno di addizione, cambiandolo di
segno se sopprimiamo il segno di sottrazione.
Se per esempio dobbiamo eseguire:
(+ 5) + (- 3) scriveremo: + 5 – 3 = + 2
Nel caso in cui si voglia eseguire:
(+ 7) - (- 4) scriveremo: + 7 + 4 = + 11
2) Nell’addizione algebrica valgono le proprietà commutativa e
associativa viste in aritmetica, per cui si possono
addizionare prima tutti i numeri positivi, poi tutti i numeri
negativi e quindi addizionare i due numeri relativi ottenuti.
Per esempio:
( + 5) - ( + 4) - ( - 2) + ( + 10) + ( - 3) =
+ 5 - 4 + 2 + 10 – 3 = + 17 – 7 = + 10
Il prodotto di due numeri relativi è un numero che ha
per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti ed è
positivo se i due numeri sono concordi, negativo se i
due numeri sono discordi.
Tabella dei segni:
x
+
-
+
+
-
+
che si legge:
+ per + dà +
+ per – dà –
- per + dà –
- per – dà +
Dividere due numeri relativi (il secondo diverso da zero)
vuol dire trovare quel numero relativo che, moltiplicato
per il secondo, ci dà come prodotto il primo.
(+15) : (+3) = +5 perché (+5) · (+3) = +15
(-21) : (-7) = +3
perchè (+3) · (-7) = - 21
(-56) : (+8) = -7
perchè (-7) · (+8) = - 56
(+16) : (-2) = -8
perché (-8) · (-2) = +16
Il quoziente di due numeri relativi è un numero relativo
che ha come valore assoluto il quoziente dei valori
assoluti ed è positivo se i due numeri sono concordi,
negativo se sono discordi.
Tabella dei segni:
:
+
-
+
+
-
+
che si legge:
+ diviso + dà +
+ diviso - dà - diviso + dà - diviso - dà +
