seno e coseno

FUNZIONI
SENO & COSENO
TANGENTE & COTANGENTE
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO
Considerando l’angolo AOB = , tracciamo un cerchio di raggio qualunque R = OA =
OB e con centro sul vertice O dell’angolo.
Le intersezioni del cerchio con le semirette dell’angolo AOB definiscono l’arco AB in
corrispondenza biunivoca con l’angolo al centro.
Costruzione grafica:
A
1) dal punto B tracciamo il segmento
perpendicolare al lato origine OA dell’angolo
AOB = ; allora il punto C di intersezione
B
C
rappresenta la proiezione di B su tale lato;

R
O
2) rimangono allora definiti i due segmenti
BC e OC; essi, di fatto, individuano il
triangolo rettangolo OBC nel quale il
raggio R = OB del cerchio è l’ipotenusa;
3) la lunghezza dei segmenti BC e OC
varia al variare della posizione di B sulla
circonferenza, dunque al variare dell’ampiezza dell’angolo al centro ;
BC
OC
e
OB
OB
BC
OC
e
R
R
4) allora anche i rapporti tra i segmenti BC
e OC con il raggio OB variano al variare
dell’angolo .
2
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO
Dunque i precedenti rapporti sono funzioni dell’angolo , e più precisamente:
A
B
C

O
R
il rapporto tra la lunghezza del segmento
BC con il raggio R=OB prende il nome di seno
dell’angolo  e viene indicato con la notazione:
sen o sin
sin  
BC BC

OB
R
il rapporto tra la lunghezza del segmento
OC con il raggio R=OB prende il nome di
coseno dell’angolo  e viene indicato con la
notazione: cos
OC OC
cos  

OB
R
Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni
sen e cos sono numeri adimensionali (puri), ed essendo sia BC che OC
minori di R, questi valori sono sempre compresi tra 0 e 1:
-1  sin  1
-1  cos  1
3
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO
Siccome il raggio R del cerchio non modifica i rapporti precedenti, è possibile adottare
un cerchio di raggio unitario (R = 1), che prende il nome di cerchio goniometrico.
Aggiungiamo poi un sistema di riferimento cartesiano con origine in O e con l’asse
delle ordinate coincidente con il lato origine OA dell’angolo .
A Y
cos 
O
C
Le definizioni di sen o cos possono essere
riscritte in questo ambito, che di fatto
semplifica la notazione:

X
R=1
sin 
BC
sin  
 BC  X B
1
OC
cos  
 OC  YB
1
ATTENZIONE!!!
B
la
notazione
precedente
non
deve
ingannare; nella realtà le funzioni seno e
coseno non sono segmenti, ma rimangono
rapporti di segmenti. Tali rapporti nell’ambito del cerchio goniometrico presentano i
denominatori uguali all’unità.
4
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO
Immaginiamo di far descrivere al punto B l’intero cerchio goniometrico partendo
dalla posizione iniziale B  A corrispondente a  = 0c.
=0c→BA BC=0, OC=1
A
400c 0c
cos 0c = 1
R=1

+
sen 300c = 1


=100c→CO BC=1, OC=0 sen 100c = 1
cos 100c = 0
=200c→ BC=0, OC=–1
sen 200c = 0
cos 200c = -1
=300c→ BC=–1, OC=0
sen 300c = -1
sen 400c = 0
cos 300c = 0
cos 400c = 1
=400c=0c→ BC=0, OC=1
sen 100c = 1 100c
O
cos 200c = 1
300c
+
+
+

200c
cos 0c = 1
sen 0c = 0
Le funzioni seno e coseno sono periodiche
con periodo 2.
I segni di seno e coseno nei 4 quadranti
seno
coseno
+
I° Quadrante
+
II° Quadrante
+

III° Quadrante


IV° Quadrante

+
5
VALORI di SENO e COSENO a 30°
Consideriamo l’angolo AOB = 30° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico.
Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen30° e OC il cos30°.
Prolungando il segmento BC fino a incontrare ulteriormente il cerchio in B’, viene
determinato l’angolo B’OA che ha la stessa ampiezza di 30°, pertanto dovrà anche
essere B’OB = 60°.
Il triangolo BOB è isoscele (OB=1 e OB’=1),
pertanto gli angoli OB’B e OBB’ sono uguali e
A
ciascuno di 60°.
60°
R=1
½
cos 30°
B’
C
sin 30°
½
30° 30°
O
60°
R=1
B
Allora il triangolo BOB è anche equilatero,
per cui anche BB’ = 1. Ricordando che in un
triangolo equilatero un’altezza divide la base in
due parti uguali, saranno CB = ½ e CB’ = ½;
possiamo perciò scrivere:
1
sin 30   0,5
2
cos 30  1 
1

4
4 1
3

4
2
3
cos30 
 0,866025...
2
6
VALORI di SENO e COSENO a 60°
Consideriamo l’angolo AOB = 60° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico. Dopo
aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen60° e OC il cos60°.
Tracciando il segmento AB, si viene allora a determinare il triangolo OAB.
Il triangolo OAB è isoscele (OB = 1 e OA = 1),
pertanto gli angoli OAB e OBA sono uguali e
ciascuno di 60°.
A
C
½
cos 60°
60°
½
R=1
1
sin 60° 60°
60°
O
R=1
B
Allora il triangolo AOB è anche equilatero.
Ricordando ancora che in un triangolo equilatero
un’altezza divide la base in due parti uguali,
saranno CA = ½ e CO = ½; possiamo perciò
scrivere:
1
cos60   0,5
2
sin 60  1 
sin60 
1

4
4 1
3

4
2
3
 0,866025...
2
7
VALORI di SENO e COSENO a 45°
Consideriamo l’angolo AOB = 45° e tracciamo dal vertice O il cerchio goniometrico.
Dopo aver proiettato B su OA, il segmento CB rappresenta il sen45° e OC il cos45°.
Prolungando il segmento BC fino a incontrare ulteriormente il cerchio in B’, viene
determinato l’angolo B’OA che ha la stessa ampiezza di 45°, pertanto dovrà anche
essere B’OB = 90°, quindi il triangolo B’OB è rettangolo.
1
45°
2/2
R=1
cos 45°
B’
1
A
C
sin 45°
2/2
45° 45°
O
Il triangolo BOB è anche isoscele (OB = 1 e
OB’ = 1), pertanto gli angoli OB’B e OBB’ sono
uguali e ciascuno di 45°.
45°
R=1
B
Possiamo poi immaginare il triangolo BOB’
come la metà di un quadrato di lato l = R = 1.
Allora BB è la diagonale di un quadrato di
lato l, pertanto la sua lunghezza è BB’ = l2 =2.
Essendo poi CB = BB’/2 e CO = C, perché COB è
isoscele, si ha:
2
1
2
1
sin 45 

cos 45 

2
2
2
2
8
GRAFICI DELLE FUNZIONI
I valori delle funzioni seno e coseno vengono calcolati con la macchina calcolatrice,
con essi è possibile costruire i grafici di queste funzioni
Il grafico della funzione seno si
chiama sinusoide; per costruirlo
occorre
fissare
una
scala
convenzionale per riportare gli
angoli sulle ascisse (per es.
nell’intervallo 0c-400c e fissando
un opportuno passo) e una per i
valori delle funzioni (da -1 a +1)
sull’asse delle ordinate.
Il
grafico
della
funzione
coseno si chiama cosinusoide;
per costruirlo occorre procedere
in modo analogo a quanto visto
per la funzione seno. Se le scale
convenzionali sono le stesse, i
due grafici possono essere
tracciati nella stessa rappresentazione.
y = sen
y = cos
+1
250c
0C
50c 100C
200C
300C
400C

-1
9
DEFINIZIONE DI TANGENTE E
COTANGENTE
Considerando ancora l’angolo AOB = , tracciamo un cerchio di
raggio qualunque R = OA = OB e con centro sul vertice O
dell’angolo
A
B
C

O
R
1) Ripetiamo la costruzione grafica, già
vista in precedenza, con la quale rimane
definito il triangolo rettangolo OBC.
2) Consideriamo i rapporti tra i segmenti BC e OC (e viceversa).
Essi variano solo al variare dell’angolo ,
e non al variare del raggio R
BC
OC
,
OC
BC
10
DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE
Dunque i precedenti rapporti sono funzioni dell’angolo , e più precisamente:
A
B
C

O
R
Il rapporto (quando esiste) tra il segmento
BC, opposto ad , e il segmento OC, adiacente, viene definito come tangente dell’angolo  e si indica con tg o tang.
tg 
BC
OC
Il rapporto (quando esiste) tra il segmento
OC, adiacente ad , e il segmento BC, opposto, viene definito come cotangente dell’angolo  e si indica con cotg.
cot g 
OC
BC
Trattandosi di rapporti tra grandezze omogenee, i valori delle funzioni
tg e cotg sono numeri adimensionali (puri), e variabili in tutto il
campo reale:
-h  tg  +h
-h  cotg  +h
11
DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE
 Osservando i precedenti rapporti si ricava la ovvia relazione:
tg 
A
B
C

O
R
1
cotg
Consideriamo ancora i rapporti tra i segmenti BC
e OC. Pensiamo ora di dividere sia il numeratore
che il denominatore di questi rapporti per la stessa
quantità OB = R
BC
tg  R
OC
R
OC
cot g  R
BC
R
Ricordando poi la definizione di sen e cos,
possiamo riscrivere le definizioni di tg e cotg in
questo modo:
sin 
tg 
cos 
cot g 
cos 
sin 
12
DEFINIZIONE DI TANGENTE E COTANGENTE
Come già detto, il raggio R del cerchio non modifica i rapporti precedenti; è allora
possibile adottare un cerchio di raggio unitario R=1 (cerchio goniometrico).
Anche le definizioni di tg e di cotg possono essere riscritte in questo ambito che, di
fatto, semplifica la notazione.
tg
C
R=1
T S
B

O
R=1
cotg
A
Y
X
H
Conduciamo la tangente nel punto origine A.
Prolunghiamo poi il lato estremo OB dell'angolo 
fino a intersecare nel punto T la retta precedente.
Restano definiti i due triangoli rettangoli OBC e OTA.
Questi triangoli sono simili, per cui si possono
scrivere i seguenti rapporti di similitudine:
BC AT AT


OC OA
1
Dunque, nell’ambito del cerchio goniometrico, la
tangente dell’angolo  è rappresentata dal
segmento AT:
tg  AT
Con considerazioni analoghe si ottiene:
cot g  SH
13
VARIAZIONE della TANGENTE
Immaginiamo di far descrivere al punto B l’intero cerchio goniometrico partendo dalla
posizione iniziale B  A corrispondente a  = 0c.
A
=0c→BA BC=0, OC=1
tg 300c = Fh
O
tg 200c = 0
300c
tg 0c = 0
=100c→CO BC=1, OC=0 tg 100c = non esiste
400c 0c
Però, quando l'angolo  ha un valore di poco inferiore
a 100c, ma assai prossimo a 100c, allora il segmento OC
esiste ed è piccolissimo e positivo. Dunque in questo
ambito il valore della tangente sarà un valore
grandissimo e positivo (indicato come infinito +h).
tg 0c = 0
BC
tg 
OC
tg 100c = h 100c
Quando poi l'angolo  ha un valore di poco superiore a
100c, ma assai prossimo a 100c, allora il segmento OC
esiste, è piccolissimo e negativo. Dunque in questo
R=1
ambito il valore della tangente sarà un valore
grandissimo e negativo (indicato come infinito –h).
Pertanto, in modo convenzionale si usa scrivere:
200c
La funzione tangente è periodica
con periodo  (200c).
tg 100c = h
=200c→ BC=0, OC=-1
tg 200c = 0
tg 300c = non esiste (Fh)
=400c=0c→ BC=0, OC=1 tg 400c = 0
=300c→ BC=-1, OC=0
14
VARIAZIONE della COTANGENTE
=0c→ BA OC=1, BC=0
OC
cot g 
BC
Però, quando l'angolo  ha un valore di poco superiore
a 0c, ma assai prossimo a 0c, il segmento BC esiste ed è
piccolissimo e positivo. Dunque in questo ambito il
valore della cotangente sarà un valore grandissimo e
positivo (indicato come infinito +h).
A
cotg 0c = h
400c 0c
cotg 300c = 0
Quando poi l'angolo  ha un valore di poco inferiore a
0c, ma assai prossimo a 0c, allora il segmento BC
esiste, è piccolissimo e negativo. Dunque in questo
ambito il valore della cotangente sarà un valore
c
cotg 100 = 0 grandissimo e negativo (indicato come infinito -h).
Pertanto,
in modo convenzionale si usa scrivere:
c
O
cotg200c = h
300c
cotg 0c = non esiste (h)
100
cotg 0c = h
R=1
=100c→ OC=0 , BC=1
200c
La funzione cotangente è
periodica con periodo  (200c).
cotg 100c = 0
=200c→ OC=-1, BC=0
cotg 200c = non esiste (h)
=300c→ OC=0, BC=-1
cotg 300c = 0
=400c=0c→ OC=0 , BC=1 cotg 400c = non esiste (h)
15
SEGNI di TANGENTE e COTANGENTE
Per valutare i segni che tangente e cotangente assumono nei vari quadranti, basta
osservare che queste funzioni sono anche fornite dai rapporti tra seno e coseno dello
stesso angolo, dunque è sufficiente valutare i segni di queste ultime funzioni nei vari
quadranti.
sin 
cos 
tg 
cot g 
cos 
sin 
A
400c 0c


Intanto possiamo osservare che tangente e
cotangente assumono sempre lo stesso
segno.
+
+
O
300c
100c


+
+
200c
Questo è positivo quando seno e coseno
presentano segni concordi (I° e III°).
È invece negativo quando seno e coseno
presentano segni discordi (II° e IV°).
tangente
I° Quadrante
+
cotangente
+
II° Quadrante


III° Quadrante
+
+
IV° Quadrante


16
VALORI di TANGENTE e COTANGENTE
a 30° 60° 45°
Ricordando i valori assunti dalle funzioni seno e coseno riferiti agli angoli 30°, 60°, 45°,
è facile determinare i valori che assumono la tangente e la cotangente in
corrispondenza di tali angoli.
1
sin 30
1
tg30 
 2 
cos 30
3
3
2
3
sin 60
tg 60 
 2  3
1
cos 60
2
3
cos 30
cot g 30 
 2  3
1
sin 30
2
1
cos 60
1
cot g 60 
 2 
sin 60
3
3
2
2
sin 45
tg 45 
 2 1
cos 45
2
2
2
cos 45
cot g 45 
 2 1
sin 45
2
2
17
GRAFICI DELLA FUNZIONI
I valori delle funzioni tangente e cotangente vengono calcolati con la macchina
calcolatrice, con essi è possibile costruire i grafici delle loro funzioni
y = tg
y = cotg
 Il grafico della funzione
tangente si chiama tangentoide; esso è caratterizzato da
punti di indeterminazione a 100C,
300C, ecc. In corrispondenza di
ciascuno di questi punti sono
presenti asintoti.
150c
50c 100C
350c
200C
300C
400C

 Il grafico della funzione
cotangente si chiama cotangentoide; esso è caratterizzato
da punti di indeterminazione a
0C, 200C, ecc. In corrispondenza
di ciascuno di questi punti sono
presenti asintoti.
18
SVILUPPO
DEI
TRIANGOLI RETTANGOLI
I TRIANGOLI RETTI
La trigonometria serve a risolvere i triangoli, cioè permette di calcolare gli
elementi incogniti quando se ne conoscono tre elementi, tra i quali deve
sempre essere compreso almeno un lato (o un elemento lineare).
In un triangolo rettangolo un elemento è sempre noto (l’angolo retto: 90°;
100c; /2); pertanto la sua risoluzione richiede due elementi, di cui almeno
uno deve essere un lato (comunque un elemento lineare).
a
C

100c
b
c

A
B
Convenzionalmente
gli
elementi
del
triangolo rettangolo sono individuati con la
simbologia mostrata nella figura a fianco.
In un triangolo rettangolo gli angoli acuti  e
 sono complementari, pertanto possiamo
scrivere le seguenti relazioni:
= 100c – 
e
 =100c – 
20
LA MODALITÀ DELLA COSTRUZIONE
La costruzione che porta a definire tutte le funzioni goniometriche è sempre stata
proposta in un contesto particolare.
Tuttavia la stessa costruzione può essere eseguita anche in altri contesti senza mutare
in alcun modo la generalità delle affermazioni fin qui enunciate.
Non solo, ma osserviamo anche che in qualunque modalità avvenga la costruzione
grafica, essa produce sempre un triangolo rettangolo (non importa come
orientato). Osserviamo inoltre che anche il cerchio non è affatto indispensabile alla
costruzione, ma viene tracciato unicamente per opportunità espositiva.
A
A
B
C

O
C
R

O
B
R
21
RIDEFINIZIONE DI SENO E COSENO
Dunque l’elemento essenziale della costruzione grafica è solo il triangolo rettangolo;
pertanto, considerando solo angoli acuti, possiamo riformulare le definizioni di seno
e coseno riferendoci a un qualunque triangolo rettangolo, comunque orientato.
In un triangolo rettangolo:
il seno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto
all’angolo e l’ipotenusa;
il coseno di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto
adiacente all’angolo e l’ipotenusa.
B
Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:

a
sin  
c
c
a
b
cos  
c
Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:

100c
C
b
A
b
sin  
c
a
cos  
c
22
TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTI
Dalla definizione di seno e coseno l’angolo acuto  si ottiene:
B

a
c
cos  
a  c  sin 
b  c  cos 
a
c
sin 
b
c
cos 
b
c
c
a

100c
C
sin  
b
A
Dalla definizione di seno e coseno l’angolo acuto  si ottiene:
sin  = cos 
sin  
b
a
cos  
c
c
b  c  sin 
a  c  cos 
b
c
sin 
a
c
cos 
sin  = cos (100c – )
cos  = sin 
cos  = sin (100c – )
23
ENUNCIATI DEI TEOREMI DEI T.R.
Dalle precedenti relazioni è possibile formulare i seguenti enunciati:
in ogni triangolo rettangolo, la misura
di un cateto è uguale al prodotto
dell’ipotenusa per il seno dell’angolo
opposto a quel cateto;
B

c
a

100c
C
in ogni triangolo rettangolo, la misura
di un cateto è uguale al prodotto
dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo
adiacente a quel cateto;
b
A
in ogni triangolo rettangolo, la misura
dell’ipotenusa è uguale al rapporto tra un
cateto e il seno dell’angolo opposto a
questo cateto; oppure è uguale al rapporto
tra un cateto e il coseno dell’angolo a
esso adiacente.
24
RIDEFINIZIONE DI TG E COTG
Analogamente a quanto visto per le funzioni seno e coseno, possiamo riformulare le
definizioni di tangente e cotangente riferendoci a un qualunque triangolo
rettangolo, comunque orientato.
In un triangolo rettangolo:
• la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto
opposto all’angolo e il cateto adiacente;
• la cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra la lunghezza del cateto
adiacente all’angolo e il cateto opposto.
B
Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:

a
tg 
b
c
a
b
cot g 
a
Considerando l’angolo acuto  possiamo scrivere:

100c
C
b
A
b
tg 
a
a
cot g 
b
25
TEOREMI DEI TRIANGOLI RETTI
a
Dalla definizione di tg e cotg l’angolo acuto  si ottiene:
B
a  b  tg

b
cot g 
b
a
b  a  cot g
c
a
a

100c
C
tg 
b
b
cot g
a
tg
A
Dalla definizione di tg e cotg l’angolo acuto  si ottiene:
tg  = cotg 
b
b  a  tg 
tg 
b
a
cot g 
a
b
a  b  cot g 
tg  = cotg (100c – )
cotg  = tg 
cotg  = tg (100c – )
a
b
cot g 
b
a
tg 
26
ENUNCIATI DEI TEOREMI DEI
TRIANGOLI RETTANGOLI
Dalle precedenti relazioni è possibile formulare i seguenti enunciati:
B
in ogni triangolo rettangolo, la misura di
un cateto è uguale al prodotto dell’altro
cateto per la tangente dell’angolo
opposto a quel cateto;

c
a

100c
C
b
A
in ogni triangolo rettangolo, la misura di
un cateto è uguale al prodotto dell’altro
cateto per la cotangente dell’angolo
adiacente a quel cateto.
27