Equazioni di 2° grado

Equazioni di 2° grado
Forma normale

Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma
normale o canonica se è nella forma
ax2+bx+c=0


con a, b e c reali e a≠0
3x2+2x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta
in forma normale (a=3, b=2 e c=-5)
In una equazione scritta in forma normale il primo
termine è di 2° grado ed a è detto coefficiente del
termine di 2° grado, il secondo termine è di 1°
grado e b è detto coefficiente del termine di 1°
grado il terzo termine è detto termine noto
Riduzione a forma normale


Se una equazione non è scritta in
forma normale la prima cosa da fare
è quella di riportarla in tale forma
attraverso l’effettuazione di
operazioni e passaggi dal 2° al 1°
membro dell’uguaglianza
Esempio:
4x-2=3(x2–x)↔
4x-2=3x2–3x↔
-3x2+7x-2=0
Soluzioni


Le soluzioni di una equazione di 2° grado
dette anche zeri o radici sono sempre 2
e sono quei valori che sostituiti alla
incognita x rendono l’equazione una
identità
x=1 e x=2 sono soluzioni per l’equazione
x2–3x+2=0
infatti 12–3+2=0 e 22–6+2=0
Equazioni incomplete


Se manca il termine di primo grado
o il termine noto o entrambi
l’equazione si dice incompleta
Le equazioni incomplete si
suddividono in



Spurie
Pure
Monomie
Spurie

Una equazione di secondo grado in
cui manchi il termine noto (cioè
quella in cui è c=0) si dice pura
2x  4x  0
2
ax 2  bx  0
Una equazione spuria ha 2 soluzioni di cui una è 0 e
l’altra –b/a nell’esempio -2
Pure

Una equazione di secondo grado in cui
manchi il termine di 1° grado (cioè quella
in cui è b=0) si dice spuria
3 x  12  0
2
ax 2  c  0
Una equazione spuria ha 2 soluzioni opposte ±√(c/a)
nell’esempio ±2
Monomie

Una equazione di secondo grado in cui
manchi il termine di 1° grado e il
termine noto (cioè quella in cui è
a=b=0) si dice monomia
 2x  0
2
ax 2  0
Una equazione spuria ha 2 soluzioni entrambe uguali a zero
Discriminante

Si chiama discriminante di una
equazione di 2° grado, e si indica con
Δ, il numero b2-4ac
  b  4ac
2
Formula risolutiva
Le soluzioni si ricavano dalla formula
x1, 2
Che si può anche esprimere
b 

2a
 b  b 2  4ac
x1, 2 
2a
La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete
Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta
b

 
4
x1, 2  2
a
2
b
b
     ac
2
2
x1, 2 
a
Soluzioni: casistica

Se Δ>0 le soluzioni sono 2 e
distinte


Se Δ=0 le soluzioni sono 2
coincidenti


S={(-b+√Δ)/2a, (-b-√Δ)/2a}
S={-b/2a}
Se Δ<0 le soluzioni non esistono

S={Ø}
Se a e c sono discordi il discriminante è
sicuramente positivo (non vale il viceversa)
Esempio 1
2x  5x  3  0
  25  4  3  2  1  0
2
2 soluzioni diverse
x1, 2
3
x1 
5 1


2
22
x2  1
Esempio 2
4 x 2  20 x  25  0

formula ridotta
 100  25  4  0
4
2 soluzioni coincident i
b
10 5
2
x1, 2    
a 4 2
Esempio 3
2x2  2x  5  0
  4  4  5  2  36  0
nessuna soluzione
Esempio 4
x2  6x  7  0

formula ridotta
 9  (7)  16  0
4
2 soluzioni diverse
x1, 2  3  16 
x1  7
x2  1
Casi particolari

In certi casi ci si può trovare di
fronte al prodotto di più polinomi di
grado minore o uguale a 2
uguagliato a zero: non conviene
eseguire le operazioni, ma
scomporre l’equazione in più
equazioni alternative sfruttando la
proprietà dell’annullamento del
prodotto
Esempio 5
x
2






 4 3x 2  6 x  1  0  x 2  4  0  3x 2  6 x  1  0
la prima equazione è spuria con soluzioni x1, 2  2
la 2
a

ha
 9  3  (1)  12  0
4
2 soluzioni diverse
x3, 4
3  12


3
3 2 3
x3 
3
3 2 3
x4 
3
Equazioni frazionarie
Nelle equazioni frazionarie, una
volta ridotte a forma normale
eliminando i denominatori, è
necessario scartare le radici che
annullano il m.c.m. dei
denominatori, se entrambe le radici
sono da scartare, l’equazione è
impossibile.
Esempio 6
x
3
6

 2
 0 m.c.m.  ( x  1)( x  1)
x 1 x 1 x 1
 x x  1  3( x  1)  6  0  x 2  x  3 x  3  6  0  x 2  2 x  3
tra le soluzioni non s ' accetta  1 che annullano l ' m.c.m.

formula ridotta
 1  (3)  4  0
4
2 soluzioni diverse
x1, 2  1  4 
x1  3
x2  1
tra le soluzioni non s ' accetta  1
Equazioni a coefficienti letterali

Nel caso nell’equazione compaiano lettere
occorre verificare che Il loro valore




Non renda il discriminante negativo
(condizione di realtà)
Non azzeri alcun denominatore (condizione di
possibilità)
Nel caso si annulli il coefficiente del termine di
2° grado si avrà una sola soluzione
Questo procedimento si chiama
discussione dell’equazione
Esempio 7
2 x 2  4ax  a (2a  1)  0

formula ridotta
 4a 2  2a (2a  1)  2a
4
2 soluzioni diverse se a  0
x1, 2
2a  2a

2
2 soluzioni coincident i se a  0
x1, 2  a
nessuna soluzione se a  0
Esempio 8
x 2  ax  1  0
  a  4  0 valore di a
2
2 soluzioni diverse
a a 4

2
2
x1, 2
Relazioni tra coefficienti e soluzioni di
equazioni di 2° grado
Tra i coefficienti e le soluzioni di una equazione di 2°
grado con Δ≥0 esistono le relazioni
b
x1  x2  
a
c
x1  x2 
a
Relazioni tra coefficienti e soluzioni di
equazioni di 2° grado



Per definizione x1 e x2 sono soluzioni
dell’equazione
(x-x1)(x-x2)=0 e quindi di x2-(x1+x2)x+x1x2
Viceversa 2 numeri ci cui si conosca somma
e prodotto sono soluzioni di x2-sx+p dove s
e p sono somma e prodotto dei numeri dati
Il trinomio ax2+bx+c, se ha soluzioni, si può
scomporre come a(x-x1)(x-x2) se Δ>0
oppure come a(x-x1)2=a[x+b/(2a)]2 se Δ=0
Teorema di Cartesio




Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno le soluzioni sono
negative
Se solo il coefficiente del termine di 1° grado è negativo le
soluzioni sono positive
Se solo il coefficiente del termine di 2° grado è positivo le
soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è
positiva
Se solo il termine noto è negativo le soluzioni sono discordi e
quella maggiore in valore assoluto è negativa
a
b
c
p=c/a
s= -b/a
x1
x2
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
+
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
+
+
-
+
+
-
-
-
-
+
Esempio 9

Data l’equazione 2x2-3x+1
determinare somma e prodotto
delle radici senza risolvere
l’equazione
s=-b/a=3/2
p=c/a=1/2
Esempio 10

Trovare l’equazione di 2° grado
avente per soluzioni -1/2 e 2/3
x2-sx+p quindi x2-x/6-1/3 ed
eliminando i denominatori
6x2-x-2
Esempio 11

Determinare 2 numeri sapendo che la
loro somma è 2m e il loro prodotto m2-4
Deve essere x2-2mx+m2-4=0 cioè
x1, 2  m  m  m  4  m  2
2
2
Equazioni parametriche


Si dice parametrica una equazione avente
almeno un coefficiente dipendente da una
o più lettere dette parametri
Esempio: x2+3mx+m-1=0 al variare di m
si hanno diverse equazioni e quindi
diverse soluzioni



Se m=0 x2-1=0
Se m=1 x2+3x=0
Se m=2 x2+6x+1=0
S={-1,+1}
S={-3,0}
S={-3±√2}….
?

Questione fondamentale è
determinare i valori dei parametri
che soddisfano determinate
condizioni
Esempio 12 a

2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia radici coincidenti
Deve essere Δ=0 quindi
(k  1) 2  16  0  k 2  2k  1  16  0 
k  2k  15  0  k1, 2
2
5
 1  1  15 
3
Esempio 12 b

2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia una radice nulla
L’equazione ha radice nulla se spuria (c=0)
Quindi ma c=2 quindi per nessun valore di
k il termine noto è nullo
Esempio 12 c

2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia radici opposte
Ciò avviene quando l’equazione è pura cioè
b=0
(k  1)  0  k  1
Esempio 12 d

2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
L’equazione abbia radici reciproche
Deve essere
1
c
x1   x1  x2  1   1
x2
a
poichè ciò è vero vale k
Esempio 12 e

2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
La somma delle radici dell’equazione sia 3
Deve essere
b
k 1
x1  x2    3 
3 k  7
a
2
Esempio 12 f 2x2–(k-1)x+2=0

Determinare per quali valori di k
Il prodotto delle radici dell’equazione sia 4
Deve essere
c
c
x1  x2   4 impossibil e perchè
1
a
a
Esempio 12 g

2x2–(k-1)x+2=0
Determinare per quali valori di k
La somma dei quadrati delle radici
dell’equazione sia 7
x12  x22  7  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  7 
Deve essere
2
c
b 2 2c
 b
7
   2  7  2 
a
a
a
 a
(k  1) 2 4
  7  (k  1) 2  5  4 
4
2
k 2  2k  1  20  0  k 2  2k  19  0 
k1, 2  1  1  19
2x2–(k-1)x+2=0
Esempio 12 h

Determinare per quali valori di k
La somma dei reciproci delle radici
dell’equazione sia 4
x1, 2  m  m  m  4  m  2
2
2