Il calcolo dei limiti in una funzione razionale

Il calcolo dei limiti
in una funzione razionale
Esercizio pagina 536 numero 29
lim 
x 1
1
1
 lim  
x  1 y 0 y
Si pone y=x+1. Se x tende a -1 da destra, allora y tende a zero da destra
Se x tende a -1 allora x+1 tende a zero da destra e
lim 
x  1
1
1
1

 
x 1 1 1 0
1
x 1
Tende a zero
Esercizio pagina 536 numero 38
lim 
x  1
3x  2
x 1
Si pone y=x-1. Se x tende a 1 da destra, allora y tende a zero da destra
3x  2
1
1
 lim  3x  2 lim 
 5 lim 
x  1
x  1 x  1
x  1 x  1
x  1 x1
1
 5 lim  5  
y 0 y
lim 
Se x tende a 1 da destra allora x-1 tende a zero da destra e
tende a + infinito
3x  2
x 1
Calcolo dei limiti
• Sappiamo calcolare il limite di una
funzione
• In un intorno del dominio
• In un intorno della frontiera del dominio
• Studiamo il limite di una funzione in un
intorno dell’infinito
Calcolo del limite
1
f x  
x
1
0
x   x

lim
f(x)
O
1

x
1

,

 in cui 0<f(x)< . Quindi,
Per ogni >0 c’è una semiretta  
In un intorno di infinito la funzione si annulla
Calcolo del limite
f x  
1
x

1
lim  0
x   x
1

O
f(x)

1



,

Per ogni >0 c’è una semiretta 
  in cui -<f(x)<0. Quindi,
In un intorno di -infinito la funzione si annulla
Calcolo del limite
Definizione sia X un insieme non limitato e f: X R. Scriviamo che
lim f ( x)  M
x 
lim f ( x)  M
x  
Se, per ogni intorno I di M esiste un intorno di infinito J (-infinito) tale che
Se xJ allora f(x)I
M
f(x)
O
Se il valore assoluto di x diventa grande la distanza tra f(x) e M diventa piccola
Calcolo completo dei limiti
per le funzioni razionali
1
lim  0
x   x
1
1
1
 
lim  0 lim 2   lim
x 0 x 2
x   x
x 0 x
lim x  
1
lim 2  0
x 0 x
lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x x0
x x0
x x0
lim  f ( x) g ( x)  lim f ( x) lim g ( x)
x x0
x x0
lim f ( g ( x))  lim f ( y)
x x0
y  y0
f ( x)
f ( x) xlim
 x0
lim

x  x0 g ( x )
lim g ( x)
x  x0
se
x x0
y0  f ( x0 )
lim g ( x)  0
x  x0
x  
Esercizio 1
1
1
1 1 
lim   3   lim  lim 3 
x   x
x  x x x x

111
1
1
1
0  lim
 0  lim lim lim 
x   x x x
x   x x   x x   x
 0  03  0  0  0
1
1
1 1 
lim   3  

 00  0
3
x  x
x     

Se x tende a – infinito entrambi i limiti tendono a zero,
quindi la loro differenza tende a zero
Esercizio 2
x 2  3x  2
1
2
lim

lim
x

3
x

2
x 0
x 0
x2
x2
1
 lim 2 lim 2  2    
x 0
x 0 x


 
x 2  3x  2
x 2 3x 2
lim
 lim 2  2  2 
x 0
x 0 x
x2
x
x
3
 2
 1  lim    lim  2   1      
x 0 x
  x 0  x 
Esercizio 3
5
5

lim  x    lim x  lim   
x  
x   x
x  x

1
1
 lim 5 lim    5 lim    5  0    0
x   x   x
x   x
 
5
5

lim  x    lim x  lim    0
x  
x   x
x  x


5

Primo metodo
Secondo metodo