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Esercizi di Geometria - 2
Samuele Mongodi - [email protected]
La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E’ consigliabile, nel risolvere
queste ultime, non limitarsi a rispondere vero o falso, ma annotarsi anche una
motivazione della risposta, da confrontare con quella fornita.
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Domande aperte
Domanda 1 Quando un prodotto scalare è degenere?
Domanda 2 Cos’è un prodotto scalare?
Domanda 3 Quando un prodotto scalare su Rn si dice definito?
Domanda 4 Quando un prodotto scalare su un campo generico si dice indefinito?
Domanda 5 Cos’è una base ortonormale per un prodotto scalare?
Domanda 6 Cos’è una base ortogonale per un prodotto scalare?
Domanda 7 Cos’è lo spazio radicale di V rispetto ad un prodotto scalare?
Domanda 8 Cos’è il duale dello spazio vettoriale V sul campo K?
Domanda 9 Cos’è una matrice ortogonale?
Domanda 10 Cos’è un’applicazione autoaggiunta rispetto ad un prodotto
scalare?
Domanda 11 Cos’è l’annullatore di un sottoinsieme E di V ?
Domanda 12 Cos’è l’applicazione aggiunta di un’applicazione lineare f : V →
V rispetto ad un prodotto scalare su V ?
Domanda 13 Cos’è lo spazio ortogonale di un sottospazio W di V rispetto ad
un prodotto scalare?
Domanda 14 Cos’è un vettore isotropo?
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Vero-Falso
Domanda 1 Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n su K, il suo duale
V ∗ ha dimensione n + 1 su K.
Domanda 2 L’annullatore di un sottospazio di R3 di dimensione 1 è un sottospazio di (R3 )∗ di dimensione 2.
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Domanda 3 L’annullatore di un sottoinsieme E di R4 coincide con l’annullatore
del sottospazio generato da E in R4 .
Domanda 4 Se f : V → W è un’applicazione lineare tra spazi vettoriali, la sua
trasposta è un’applicazione lineare t f : W → V .
Domanda 5 L’applicazione p(x) 7→ p(1)p(2) è un elemento del duale di R2 [x].
Domanda 6 hv, wi = h2v, w/2i
Domanda 7 hv, 2wi = h2v, wi
Domanda 8 hv, −wi + hv, wi = 0
Domanda 9 hv + w, v + wi − hv, wi = hv, vi + hw, wi
Domanda 10 hv + w, v − wi = hv, vi − hw, wi.
Domanda 11 Non esiste nessun prodotto scalare su R2 che sia degenere e
indefinito (ma non semidefinito).
Domanda 12 Ogni prodotto scalare definito su Rn ammette una base ortogonale.
Domanda 13 Se un prodotto scalare su Cn ammette una base ortonormale,
allora è definito positivo.
Domanda 14 Un prodotto scalare degenere non ammette una base ortogonale.
Domanda 15 Se la matrice associata ad un prodotto scalare rispetto ad una
qualche base ha un −1 sulla diagonale, il prodotto non è definito positivo.
Domanda 16 Se la traccia della matrice associata ad un prodotto scalare
rispetto ad una qualche base è positiva, allora il prodotto scalare è definito
negativo.
Domanda 17 Se il determinante della matrice associata è negativo, allora il
prodotto scalare è indefinito.
Domanda 18 Se un prodotto scalare su Rn è semidefinito, ogni vettore isotropo
appartiene al radicale.
Domanda 19 Il radicale contiene tutti i vettori isotropi.
Domanda 20 Tutti i vettori del radicale sono isotropi.
Domanda 21 In Rn , il radicale contiene tutti i vettori isotropi se e solo se il
prodotto scalare è definito o semidefinito.
Domanda 22 Due vettori del radicale sono ortogonali.
Domanda 23 Se v ⊥ w e z ⊥ w, allora v = λz con λ ∈ R.
Domanda 24 Se v ⊥ w e z ⊥ w, allora v + z ⊥ w.
Domanda 25 Se v ⊥ w allora w ⊥ v.
Domanda 26 Due piani iperbolici si intersecano solo nell’origine.
Domanda 27 In R3 possono esserci tre piani iperbolici distinti.
Domanda 28 Ogni prodotto scalare semidefinito ammette un piano iperbolico.
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Domanda 29 Se W ⊥ ∩ W = {0}, allora W contiene un vettore isotropo.
Domanda 30 Per un prodotto scalare degenere, W ⊥ ∩ W 6= {0} per ogni
sottospazio W =
6 {0}.
Domanda 31 Se W ⊂ W 0 sono due sottospazi vettoriali, allora W ⊥ ⊂ W 0⊥ .
Domanda 32 Se W, W 0 sono due sottospazi vettoriali, allora (W ⊥ ∩ W 0⊥ ) =
W ⊥ ∪ W 0⊥ .
Domanda 33 Se W è un sottospazio vettoriale, W ⊥ ∩ W contiene solo vettori
isotropi.
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Risposte alle domande aperte
Risposta alla Domanda 1 Un prodotto scalare h·, ·i su V , spazio vettoriale
sul campo K, si dice degenere se il suo spazio radicale V ⊥ = {v ∈ V | hv, wi =
0 ∀w ∈ V } è diverso dal solo zero.
Oppure: Si dice degenere se esiste un vettore non nullo ortogonale a tutto
V.
Osservazione: Questo implica che la matrice associata al prodotto scalare
rispetto ad una qualche base ha determinante nullo.
Risposta alla Domanda 2 Un prodotto scalare h·, ·i su V , spazio vettoriale
sul campo K, è un’applicazione bilineare e simmetrica da V × V in K.
Più esplicitamente: E’ un’applicazione h·, ·i : V × V → K tale che
• hλv + µv 0 , wi = λhv, wi + µhv 0 , wi
• hv, wi = hw, vi
Risposta alla Domanda 3 Un prodotto scalare h·, ·i su Rn si dice definito
positivo (o negativo) se per ogni vettore v ∈ V non nullo si ha hv, vi > 0
(oppure hv, vi < 0).
Risposta alla Domanda 4 Un prodotto scalare h·, ·i su V , spazio vettoriale
sul campo K, si dice indefinito se esiste un vettore isotropo non nullo.
Osservazione : questa definizione include anche il caso dei semidefiniti (che
fanno parte degli indefiniti su un campo generico); per escluderli si può modificare vettore isotropo non nullo in vettore isotropo non appartenente al radicale.
Risposta alla Domanda 5 Una base {v1 , . . . , vn } di uno spazio vettoriale V
sul campo K si dice ortonormale per il prodotto scalare h·, ·i se:
• hvi , vi i = 1 per ogni i = 1, . . . , n
• hvi , vj i = 0 se i 6= j.
Risposta alla Domanda 6 Una base {v1 , . . . , vn } di uno spazio vettoriale V
sul campo K si dice ortogonale per il prodotto scalare h·, ·i se hvi , vj i = 0 quando
i 6= j.
Risposta alla Domanda 7 Lo spazio radicale di V rispetto al prodotto scalare
h·, ·i è
V ⊥ = {v ∈ V | hv, wi = 0 ∀w ∈ V }
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Risposta alla Domanda 8 Il duale di V , spazio vettoriale sul campo K, è lo
spazio vettoriale
V ∗ = {L : V → K |L è K−lineare}
Oppure: E’ lo spazio vettoriale formato dalle applicazioni K−lineari da V al
campo K.
Risposta alla Domanda 9 Una matrice ortogonale è una matrice quadrata
M tale che M t M = I, ovvero M t = M −1 .
Risposta alla Domanda 10 Un’applicazione lineare f : V → V si dice
autoaggiunta rispetto al prodotto scalare h·, ·i se
hv, f (w)i = hf (v), wi
∀ v, w ∈ V
Risposta alla Domanda 11 L’annullatore di E ⊂ V è l’insieme
Ann(E) = {L ∈ V ∗ | L(v) = 0 ∀ v ∈ E}
Risposta alla Domanda 12 L’applicazione aggiunta di f : V → V rispetto al
prodotto scalare h·, ·i è un’applicazione lineare a f : V → V tale che
hv, f (w)i = ha f (v), wi
∀ v, w ∈ V
Risposta alla Domanda 13 Lo spazio ortogonale di W , sottospazio vettoriale
di V , rispetto al prodotto scalare h·, ·i è
W ⊥ = {v ∈ V | hv, wi = 0 ∀ w ∈ W }
Risposta alla Domanda 14 Un vettore v ∈ V è isotropo per il prodotto
scalare h·, ·i se hv, vi = 0.
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Risposte ai quesiti vero-falso
Risposta alla Domanda 1 Falso. Se V è uno spazio di dimensione finita, V ∗
ha la stessa dimensione di V .
Risposta alla Domanda 2 Vero. Infatti, per un sottospazio W di V vale la
formula dim W + dim Ann(W ) = dim V , quindi se V = R3 e W ha dimensione
1 si ha dim Ånn(W ) = 3 − 1 = 2.
Risposta alla Domanda 3 Vero. E’ vero in generale, non solo in R4 , che
l’annullatore di un sottoinsieme coincide con l’annullatore dello spazio generato
da questo.
Risposta alla Domanda 4 Falso. La trasposta è un’applicazione tra i duali,
quindi t f : W ∗ → V ∗ .
Risposta alla Domanda 5 Falso. Infatti quella applicazione non è lineare:
x 7→ 2 ma 2x 7→ 8 che non è 2 · 2.
Risposta alla Domanda 6 Vero. h2v, w/2i = 2 · (1/2)hv, wi = hv, wi.
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Risposta alla Domanda 7 Vero. hv, 2wi = 2hv, wi = h2v, wi.
Risposta alla Domanda 8 Vero. hv, −wi) = −hv, wi.
Risposta alla Domanda 9 Falso. Manca a destra il termine hv, wi.
Risposta alla Domanda 10 Vero. hv + w, v − wi = hv, v − wi + hw, v − wi =
hv, vi − hv, wi + hw, vi − hw, wi.
Risposta alla Domanda 11 Vero. Un prodotto indefinito (non semidefinito)
deve avere, nella matrice associata, un autovalore positivo e uno negativo, entrambi non nulli; perché sia degenere serve poi che almeno un autovalore sia 0.
Ma in R2 possiamo avere al più 2 autovalori, quindi non è possibile.
Risposta alla Domanda 12 Vero. In realtà, ogni prodotto scalare su Rn
ammette una base ortogonale e possiamo trovarla con il metodo di Lagrange
(non serve quindi che sia definito).
Risposta alla Domanda 13 Falso. Ogni prodotto non degenere di Cn ammette una base ortonormale e per di più su C non ha senso parlare di positivi
e negativi.
Risposta alla Domanda 14 Falso. Ogni prodotto scalare ammette una base
ortogonale.
Risposta alla Domanda 15 Vero. In corrispondenza di quel −1 si ha un
vettore della base tale che hei , ei i < 0, quindi il prodotto non può essere definito
positivo.
Risposta alla Domanda 16 Falso. La traccia e il determinante, da soli,
non possono determinare la segnatura di un prodotto scalare (e anche insieme
possono solo su R2 ).
Risposta alla Domanda 17 Falso. Vedi sopra.
Risposta alla Domanda 18 Vero. Se il prodotto scalare è semidefinito, non
possiamo avere due vettori con prodotto scalare di segno opposto da combinare
per avere un vettore isotropo, quindi l’unica possibilità è il radicale.
Risposta alla Domanda 19 Falso. Ad esempio, per il prodotto scalare
hx, yi = x1 y2 + x2 y1 il radicale è il solo 0, ma il vettore e1 è isotropo.
Risposta alla Domanda 20 Vero. Essendo ortogonali a tutto lo spazio, i
vettori del radicale sono anche ortogonali a se stessi, quindi isotropi.
Risposta alla Domanda 21 Vero. Vedi sopra.
Risposta alla Domanda 22 Vero. Sono ortogonali a tutto lo spazio, quindi
anche tra di loro.
Risposta alla Domanda 23 Falso. Ad esempio i vettori della base di R3
rispettano le condizioni di ortogonalità, ma non la conclusione.
Risposta alla Domanda 24 Vero.
componente.
Il prodotto scalare è lineare in ogni
Risposta alla Domanda 25 Vero. Il prodotto scalare è simmetrico.
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Risposta alla Domanda 26 Falso. In R3 , il prodotto scalare hx, yi = x1 y2 +
x2 y1 + x2 y3 + x3 y2 ha come piani iperbolici i generati da {e1 , e2 } e {e2 , e3 }, che
quindi si incontrano lungo la retta generata da e2 .
Risposta alla Domanda 27 Vero. Basta considerare il prodotto scalare
hx, yi = x1 y2 + x2 y1 + x2 y3 + x3 y2 + x1 y3 + x3 y1 che ha come piani iperbolici i
generati da {e1 , e2 }, {e2 , e3 }, {e1 , e3 }.
Risposta alla Domanda 28 Falso. Un prodotto scalare semidefinito non può
ammettere un piano iperbolico, perché in un piano iperbolico ci sono un vettore
tale che hv, vi > 0 e uno tale che hu, ui < 0, quindi è per forza indefinito (ma
non semidefinito).
Risposta alla Domanda 29 Falso. In Rn con il prodotto scalare canonico
questo è vero per ogni sottospazio e non esistono vettori isotropi.
Risposta alla Domanda 30 Falso. In R2 , con il prodotto scalare hx, yi = x1 y1 ,
l’ortogonale di W = Span{e1 } è Span{e2 } quindi W ∩ W ⊥ = {0} ma il prodotto
scalare è degenere.
Risposta alla Domanda 31 Falso. Se W ⊂ W 0 allora W 0⊥ ⊆ W ⊥ .
Risposta alla Domanda 32 Vero. Vale anche (W ∪ W 0 )⊥ = W ⊥ ∩ W 0⊥ .
Risposta alla Domanda 33 Vero. Ogni vettore di W ∩ W ⊥ è ortogonale a se
stesso, quindi isotropo.
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