La legge di gravitazione universale
La legge di gravitazione universale
La legge di gravitazione universale venne formulata nel 1678 da Isaac Newton (1642-1727).
Osservando i moti di pianeti e satelliti nel sistema solare, Newton avanzò l’ipotesi che la forza
centripeta che determina tali orbite sia una forza di attrazione tra il Sole e i pianeti, o tra i pianeti e i
loro satelliti. Egli intuì che tale forza di attrazione non si manifesta solamente tra i corpi celesti, ma
si esercita tra tutti i corpi dell’universo e la definì quindi la forza di gravitazione universale: Due
corpi qualsiasi si attraggono con una forza che ha la stessa natura del peso e dipende – oltre
che dalle masse m1 e m2 dei corpi – dalla loro distanza relativa r secondo la formula:
m ⋅m
F = G ⋅ 1 2 2 , essendo G una costante di proporzionalità.
r
Alcuni commenti sono necessari riguardo a questa importante legge:
• se i corpi hanno forma sferica, il parametro r rappresenta la distanza tra i centri dei due corpi
• con la formula vista sopra si calcola il modulo della forza; la direzione del vettore è lungo la
retta congiungente i centri dei due corpi, mentre il verso è tale che la forza sia sempre attrattiva
• scambiando il primo con il secondo corpo la formula resta assolutamente invariata; ciò è
consistente con il terzo principio della dinamica
• si può dimostrare che la forza di attrazione tra una sfera omogenea e masse puntiformi esterne
alla sfera è pari alla forza tra la massa della sfera tutta concentrata nel suo centro, e le masse
puntiformi esterne ad essa.
Il parametro G che compare nella formula è una costante di proporzionalità che vale
N ⋅ m2
6,67 × 10 −11
; osserviamo che in conseguenza di questo valore della costante G la forza tra
kg 2
due corpi di 1 kg posti alla distanza di 1 m è estremamente bassa: solo 6,67 × 10 −11 N . Questo è il
motivo per cui, sebbene la forza di gravità sia presente tra tutti i corpi dell’Universo, non riusciamo
ad osservarne gli effetti tra gli oggetti della nostra esperienza quotidiana, ma solo quando sono in
gioco masse estremamente grandi, come quelle di stelle e pianeti.
Esempio 1 –Calcolo della forza di gravitazione universale tra due masse
Vogliamo calcolare con quale forza si attirano due automobili di massa rispettivamente 1,5·103 kg e 1,8·103
kg, i cui centri distano tra loro di 5,0 m.
Scriviamo i dati
Massa della prima automobile
m1 = 1,5·103 kg
Massa della seconda automobile
m2 = 1,8·103 kg
Distanza tra i centri delle due masse
r = 5,0 m
Incognite
Forza F di attrazione gravitazionale tra le due automobili
Analisi e soluzione
Applichiamo la formula della legge di gravitazione universale:
F =G⋅
2
m1 ⋅ m 2
1,5 ⋅ 10 3 kg ⋅ 1,8 ⋅ 10 3 kg
−11 N ⋅ m
=
6
,
67
⋅
10
⋅
= 7,2 ⋅ 10 − 6 N .
2
2
2
r
kg
(5,0 m )
L’esperienza di Cavendish
La misurazione della costante di gravitazione universale G venne effettuata per la prima volta nel
1799 da Henry Cavendish (1731-1810). Egli, utilizzando una bilancia di torsione, (strumento molto
sensibile in cui il momento della debole forza di attrazione tra due coppie di masse, m1, m2, m1’,
m2’, poste a una distanza r nota, è equilibrato dalla torsione di un sottile filo) ricavò il valore di G
dalla legge di gravitazione universale.
L’accelerazione di gravità dipende dalla distanza dal centro della Terra
Dal secondo principio della dinamica sappiamo che la forza peso di un corpo è legata alla massa m
dalla relazione: F = m·g, dove g è il valore dell’accelerazione di gravità.
D’altra parte, per la legge di gravitazione universale, tra la massa m del corpo e la massa MT della
m ⋅ MT
Terra si sviluppa la forza F = G ⋅
, dove r è la distanza tra il centro della Terra e il centro
r2
m ⋅ MT
della massa m. Questa forza è pari alla forza peso del corpo: m ⋅ g = G ⋅
. Semplificando
r2
M
l’equazione per il fattore m, otteniamo: g = G ⋅ 2T . L’accelerazione di gravità con cui una
r
massa m cade verso la Terra non è costante, ma è inversamente proporzionale al quadrato
della distanza dal centro della Terra.
Calcoliamo il valore di g vicino alla superficie terrestre. La distanza r è uguale al raggio della
N ⋅ m 2 5,98 ⋅1024 kg
m
Terra, per cui si ha: g = 6,67 ⋅10−11
⋅
= 9,80 2 .
2
6
2
kg
(6,38 ⋅10 m)
s
Il valore di g varia con l’altitudine. Indicata con h l’altezza dalla superficie terrestre e con RT il
MT
raggio medio della Terra, l’accelerazione di gravità vale: g = G ⋅
.
(RT + h )2
m
A livello del mare, dove h = 0, l’accelerazione di gravità vale 9,81 2 (questo valore è leggermente
s
più alto di quello calcolato a causa di effetti originati dalla non perfetta sfericità e omogeneità della
Terra, dalla sua rotazione, ecc.);
2
5,98 ⋅10 24 kg
m
−11 N ⋅ m
a 4000 m d’altezza, g = 6,67 ⋅10
⋅
= 9,79 2 ,
2
6
3 2
kg
(6,38 ⋅10 m + 4,00 ⋅10 )
s
mentre sulle alte cime dell’Himalaia si ha:
N ⋅ m2
5,98 ⋅10 24 kg
m
g = 6,67 ⋅10 −11
⋅
= 9,77 2 .
2
6
3
2
kg
(6,38 ⋅10 m + 8,00 ⋅10 m)
s
Sostituendo ai valori della massa MT e del raggio r della Terra quelli di un qualunque pianeta, si può
M
calcolare l’accelerazione di gravità g presso la superficie di quel pianeta: g = G ⋅ PIANETA2 .
(rPIANETA )
Velocità e periodo di satelliti in orbita circolare.
Un satellite che ruota intorno alla Terra con una velocità tangenziale sufficientemente alta, pur
venendo continuamente attratto verso il centro di essa, non cade sulla superficie terrestre perché
questa non è piatta. Calcoliamo la velocità v che deve avere un satellite per poter percorrere
un’orbita circolare di raggio r intorno alla Terra. La forza centripeta che agisce sul satellite è
v2
m ⋅ MT
data dalla forza di gravitazione universale: Fcentripeta = Fgravitazionale . Ossia: m ⋅ = G ⋅
.
r
r2
M
Semplifichiamo l’equazione per la massa m e ricaviamo la velocità: v = G ⋅ T . La velocità del
r
satellite non dipende quindi dalla sua massa.
Calcoliamo ora il periodo T di rivoluzione del satellite intorno alla Terra. Dalla formula del moto
2π r
2π r
ricaviamo il periodo: T =
. Sostituendo a v l’espressione sopra
circolare uniforme v =
T
v
determinata ed elevando al quadrato, otteniamo la relazione tra il periodo di rivoluzione T e il
4π 2 r 3
raggio dell’orbita: T 2 =
. Osserviamo che il quadrato del periodo dipende dal cubo del
⋅
G MT
raggio e che, come la velocità, anche il periodo non dipende dalla massa del satellite. Otteniamo
4π 2 r 3
. La formula può essere generalizzata sostituendo a r a MT i corrispondenti
G ⋅ MT
valori del raggio dell’orbita e della massa di qualunque altro sistema planetario.
infine: T =
Esempio 2 – Calcolo della velocità e del periodo di un satellite che ruota intorno alla Terra e intorno
alla Luna
Vogliamo calcolare la velocità tangenziale in
km
e il periodo di un satellite di massa 700 kg, in orbita
h
intorno alla Terra ad un’altezza di 600 km, e in orbita intorno alla Luna alla stessa altezza.
Scriviamo i dati
Massa del satellite
m = 700 kg
Altezza dell’orbita dalla superficie terrestre
h = 600 km = 6,00·105 m
Altezza dell’orbita dalla superficie della Luna h = 600 km = 6,00·105 m
Terra: massa MT = 5,98·1024 kg;
raggio RT = 6,38·106 m
Luna: massa ML = 7,40·1022 kg;
raggio RL = 1,75·106 m
Incognite
Velocità tangenziale v del satellite e periodo di rivoluzione rispettivamente intorno alla Terra e intorno alla
Luna
Analisi e soluzione
Calcoliamo la velocità del satellite intorno alla Terra mediante la formula v = G ⋅
MT
, dove r è dato
r
dalla somma del raggio terrestre e dell’altezza h:
v = 6,67 ⋅10−11
N ⋅ m2
5,98 ⋅1024 kg
m
km
⋅
= 7,56 ⋅103 = 2,72 ⋅104
.
2
6
5
kg
6,38 ⋅10 m + 6,00 ⋅10 m
s
h
Osserviamo come il dato della massa m è ridondante ai fini del calcolo della velocità tangenziale, in quanto
questa dipende dal raggio dell’orbita e non dalla massa del satellite.
Il periodo di rivoluzione del satellite intorno alla Terra vale:
(
)
4π 2 r 3
4π 2 ⋅ 6,38 ⋅106 m + 6,00 ⋅105 m
=
= 5,82 ⋅103 s .
T=
2
N⋅m
G ⋅ MT
6,67 ⋅10 −11
⋅ 5,98 ⋅10 24 kg
kg 2
3
Calcoliamo ora la velocità del satellite intorno alla Luna v = G ⋅
ML
, dove r è dato dalla somma del
r
raggio della Luna e dell’altezza h:
v = 6,67 ⋅10−11
N ⋅ m2
7,40 ⋅10 22 kg
m
km
⋅
=1,45 ⋅103 = 5,22 ⋅103
.
2
6
5
kg
1,75 ⋅10 m + 6,00 ⋅10 m
s
h
Il periodo di rivoluzione del satellite intorno alla Luna vale:
(
)
4π 2 r 3
4π 2 ⋅ 1,75 ⋅106 m + 6,00 ⋅105 m
T=
=
= 10,2 ⋅103 s .
2
N
⋅
m
G⋅ML
6,67 ⋅10 −11
⋅ 7,40 ⋅10 22 kg
2
kg
3
Verifiche di comprensione
1. Come dipende la forza di gravitazione universale dalle masse dei corpi interagenti?
2. Come dipende la forza di gravitazione universale dalla distanza tra i corpi interagenti?
3. Cosa si intende per “distanza tra i corpi interagenti” quando questi hanno grandi dimensioni ma forma
sferica?
4. Quali sono la direzione e il verso della forza di gravità agente tra due corpi?
5. In che senso la formula per il calcolo del modulo della forza di gravità tra due corpi è consistente con il
terzo principio della dinamica?
6. A che cosa è equivalente la forza di attrazione tra una sfera omogenea e masse puntiformi esterne alla
sfera?
7. Per quale motivo la forza di gravitazione universale sembra essere presente solo tra corpi di grandi
dimensioni come stelle e pianeti?
8. Quale procedimento bisogna seguire per dimostrare la formula che calcola l’accelerazione di gravità di
una massa m posta in prossimità della superficie terrestre?
9. Perché un satellite che ruota intorno alla Terra con una velocità sufficientemente alta, pur essendo
attratto verso il centro della Terra, non cade sulla sua superficie?
10. Quale procedimento bisogna seguire per dimostrare la formula che calcola la velocità di un satellite in
orbita circolare intorno alla Terra?
11. Quale procedimento bisogna seguire per calcolare il periodo orbitale di un pianeta conoscendo la sua
massa, quella del Sole e la distanza tra il pianeta e il Sole?
Verifiche di conoscenza
1. Quanto vale la costante di gravitazione universale?
N ⋅ m2
a. 6,67 × 1011
kg 2
b. 6,67 × 10
2.
3.
4.
5.
−11
N ⋅ m2
kg 2
N ⋅ m2
c. 6,67
kg 2
d. Non si può dire a priori senza conoscere quanto valgono le masse che si attraggono
Qual è l’ordine di grandezza della forza di attrazione gravitazionale tra due persone di 85 kg?
a. decine di N
b. del N
c. centesimi N
d. miliardesimi di N
La forza di gravitazione universale provoca la caduta con l’accelerazione di gravità di un
oggetto verso la superficie terrestre. Perché non si manifesta anche la caduta della Terra
sull’oggetto?
a. Perché la massa della Terra è praticamente infinita rispetto a quella dell’oggetto, per cui
l’accelerazione che essa subisce è trascurabile rispetto a quella dell’oggetto.
b. Perché la Terra è stata posta al centro dell’universo e quindi non può muoversi.
c. Il moto è relativo: rispetto alle stelle sia la Terra che l’oggetto si muovono l’uno verso
l’altro con la stessa accelerazione.
L’accelerazione che agisce su un satellite che ruota su un’orbita circolare intorno alla Terra è:
a. tangente all’orbita
b. diretta verso il centro della Terra
c. diretta verso le stelle lungo la retta che congiunge il satellite con il centro della Terra
d. nulla
La forza centripeta che mantiene un satellite in orbita circolare intorno alla Terra è data:
a. dalla forza di gravitazione universale tra il satellite e la Terra
6.
7.
8.
9.
b. dai motori del satellite
c. dai motori del razzo vettore che ha portato il satellite
in orbita
d. è nulla dopo che il satellite è stato posto sull’orbita.
Qual è la forma del grafico che rappresenta l’andamento
dell’accelerazione di gravità rispetto alla distanza r dal centro
della Terra per valori di r maggiori del raggio terrestre Rt?
Se la velocità della Luna raddoppiasse, quante volte
diverrebbe il raggio dell’orbita rispetto a quello attuale?
a. il doppio
b. il quadruplo
c. la metà
d. un quarto
Se la massa della Terra fosse doppia di quella attuale, per restare sulla stessa orbita di
rivoluzione intorno al Sole, il periodo, rispetto a quello attuale, sarebbe:
e. doppio
f. la metà
g. uguale
h. non si può calcolare
La relazione tra le velocità e i rispettivi raggi delle orbite di due satelliti della Terra è data da:
v1 r1
=
a.
v 2 r2
b.
v1 r12
=
v 2 r22
c.
v1
r
= 2
v2
r1
d.
v1
r
= 1
v2
r2
Problemi
1. Utilizzando la tabella dei dati astronomici calcola e ordina in senso crescente l’accelerazione di gravità
dei seguenti pianeti: Venere, Marte, Giove Saturno.
2. Calcola la forza peso cui è soggetto un corpo di massa 85,0 kg su Venere, Marte, Giove e Saturno.
3. Ganimede è un satellite di giove. Il suo periodo di rivoluzione è di 7 giorni 3 ore e 43 minuti, il raggio
della sua orbita vale 1,07·106 km. Calcola la massa di Giove.
4. Calcola il periodo orbitale di un satellite artificiale che percorre un’orbita circolare posta a 400 km di
altezza sulla superficie di Marte.
5. Un satellite artificiale si muove su un’orbita circolare intorno alla Terra con una velocità di 7,66·103
m
.
s
Calcola la distanza dell’orbita dalla superficie terrestre e il periodo di rivoluzione del satellite intorno
alla Terra.
6. Una navicella spaziale di massa 500 kg ruota su un’orbita circolare intorno alla Luna con un’energia
cinetica di 6,63·108 J. Calcola l’altezza dell’orbita dalla superficie lunare e il periodo di rivoluzione della
navicella intorno alla Luna.
7. Calcola a quale distanza dalla Terra si annulla la forza risultante su una massa di 1 kg, dovuta
all’attrazione gravitazionale rispettivamente della Terra e della Luna sulla stessa massa.
