UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II
____
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA AEROSPAZIALE – D.I.A.S.
STATISTICA PER L’INNOVAZIONE
a.a. 2007/2008
___________________
TRASFORMAZIONI DI VARIABILI ALEATORIE
TVE: Gumbel dei valori minimi
Modello Weibull
Prof. Antonio Lanzotti
A cura di: Ing. Andrea Colini
[email protected]
SI a.a. 07/08
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Trasformazioni di Variabili Aleatorie
Una variabile casuale X può essere trasformata mediante una funzione g(⋅) per
definire una nuova variabile casuale
Y = g(X)
detta “Trasformata” della X
Questa relazione esprime il fatto che, quando la v.a. X assume il valore x la
v.a. Y assumerà il valore y = g(x)
Indicando con:
fX(x)
la funzione densità di probabilità (pdf) della v.a. X
la funzione densità di probabilità (pdf) della v.a. Y, fY(y) verrà determinata
dalla trasformazione g(⋅) e dalla densità fX(x) di X
SI a.a. 07/08
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Variabili aleatorie Discrete
Se X è una variabile aleatoria discreta con punti di massa x1 , x2 ,..., xn
allora la distribuzione di Y = g ( X ) si determina direttamente
dalle leggi di probabilità
x1 → f X ( x1 )
I valori possibili di Y vengono
x2 → f X ( x2 )
determinati sostituendo i diversi valori
...
di X in g(⋅)
xn → f X ( xn )
ESEMPIO:
1 → f X (1) = Pr { X = 1} =
1
6
1
6
1
f X (3) = Pr { X = 3} =
6
1
f X (4) = Pr { X = 4} =
6
1
f X (5) = Pr { X = 5} =
6
1
f X (6) = Pr { X = 6} =
6
Y = g ( X ) = ( X − 2) 2
2 → f X (2) = Pr { X = 2} =
3→
4→
5→
6→
SI a.a. 07/08
X =1→Y =1
X = 2→Y = 0
X = 3 →Y =1
X = 4→Y = 4
X =5→Y =9
X = 6 → Y = 16
fY (0) = Pr {Y = 0} = Pr { X = 2} = f X (2) =
1
6
1 1 2
fY (1) = f X (1) + f X (3) = + =
6 6 6
fY (4) = f X (4)
fY (9) = f X (5)
fY (16) = f X (6)
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Variabili aleatorie Continue (1)
Supponendo che la g(⋅) sia tale da stabilire una corrispondenza biunivoca tra X e
Y avremo due possibili situazioni:
g(⋅) strettamente crescente
L’evento E = {Y ≤ y} si verifica quando si verifica E0 = {X ≤ x}; risultando così uguali le
relative probabilità:
x = g–1(y)
Pr {Y ≤ y} = FY(y) = Pr {X ≤ x} = FX(x);
Da cui derivando rispetto a y, otteniamo la corrispondente “densità” della Y:
dx
fY ( y ) = f X (x ) ;
dy
dx
>0
dy
g(⋅) strettamente decrescente
L’evento E = {Y ≤ y} si verifica quando si verifica E0 = {X > x}; risultando così:
x = g–1(y)
Pr {Y ≤ y} = FY(y) = Pr {X > x} = 1 – FX(x);
Da cui derivando rispetto a y, otteniamo la pdf di Y:
⎛ dx ⎞
fY ( y ) = f X ( x ) ⎜ − ⎟ ;
⎝ dy ⎠
SI a.a. 07/08
dx
<0
dy
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Variabili aleatorie Continue (2)
Unendo i due risultati precedenti otteniamo:
dx
fY ( y ) = f X (x )
dy
*Sempre nell’ipotesi in cui g(⋅) stabilisca una corrispondenza biunivoca tra X e Y
Dove:
X = { x : f ( x) > 0}
g −1 ( y ) è la funzione inversa di g ( x)
dx d ( g −1 ( y )) è continua e diversa da zero
=
dy
dy
SI a.a. 07/08
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Esempio
Ex: Supponiamo che X abbia una distribuzione Esponenziale.
Y = X2 ?
Qual è la distribuzione di
f X ( x) = λ exp(−λ x) quando x ≥ 0
=0
altrove
Poiché:
x= y
dx 1 (1/ 2) −1
= ⋅y
dy 2
1/ 2
Segue:
fY ( y ) = f X ⎡⎣ x =
dx
1 (1/ 2) −1
⎤
= λ exp(−λ y ) ⋅ ⋅ y
y⎦
dy
2
definita ovviamente per
SI a.a. 07/08
y≥0
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
v.a. Continue – GUMBEL DEI VALORI MINIMI
Supponiamo che X abbia una distribuzione Esponenziale. Qual è la
distribuzione di Y = a + b ln(λ X ) ?
La v.a. risultante è detta Gumbel “dei valori minimi” ed ha Cdf:
f X ( x) = λ exp(−λ x) quando x ≥ 0
y−a
1
⎛ y−a⎞
= ln(λ x) → x = exp ⎜
⎟
b
λ
⎝ b ⎠
FX ( x) = 1 − exp(−λ x)
dx d ( g −1 ( y )) 1
⎛ y−a⎞1
=
= exp ⎜
⎟
λ
dy
dy
⎝ b ⎠b
⎡
1
⎡⎛ y − a ⎞
⎛ y − a ⎞⎤ 1
⎛ y−a⎞1 1
⎛ y − a ⎞⎤
fY ( y ) = f X ⎢ x = exp ⎜
⎟ ⎥ exp ⎜
⎟ = exp ⎢⎜
⎟ − exp ⎜
⎟⎥
b
b
b
b
b
b
λ
λ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
⎣
⎦
⎣
y
FY ( y ) = ∫
0
SI a.a. 07/08
⎡
⎛ y − a ⎞⎤
fY ( y )dy = 1 − exp ⎢ − exp ⎜
⎟⎥
b
⎝
⎠⎦
⎣
−∞ < x < ∞, β > 0
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
v.a. Continue – WEIBULL
Supponiamo che X abbia una distribuzione Gumbel dei valori
minimi. Qual è la distribuzione di Y = exp [ X ] ?
1
⎡⎛ x − a ⎞
⎛ x − a ⎞ ⎤ F ( x) = 1 − exp ⎡ − exp ⎛ x − a ⎞ ⎤
f X ( x) = exp ⎢⎜
X
⎜
⎟⎥
⎟ − exp ⎜
⎟⎥
⎢
b
b
b
b ⎠⎦
⎠
⎝
⎠⎦
⎣⎝
⎝
⎣
−∞ < x < ∞
y = exp( x) → x = ln( y )
dx d ( g −1 ( y )) 1
=
=
dy
dy
y
1 1
⎡⎛ ln( y ) − a ⎞
⎛ ln( y ) − a ⎞ ⎤
fY ( y ) = f X [ x = ln( y )] = exp ⎢⎜
⎟ − exp ⎜
⎟⎥
y b
b
b
⎠
⎝
⎠⎦
⎣⎝
β⎛ y⎞
fY ( y ) = ⎜ ⎟
α ⎝α ⎠
SI a.a. 07/08
β −1
⎡ ⎛ y ⎞⎤
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ α ⎠⎦
β
1
β = , α = exp(a )
b
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Modello Weibull
La trasformazione generalmente indicata con
W = eZm
Della v.a. Gumbel Zm dei valori minimi, definisce la v.a. Weibull W.
Il parametro α è detto “di posizione” e β “di forma” (per β=1 la Weibull coincide
con l’Esponenziale)
β⎛ y⎞
fY ( y ) = ⎜ ⎟
α ⎝α ⎠
SI a.a. 07/08
β −1
⎡ ⎛ y ⎞⎤
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ α ⎠⎦
β
1
β = , α = exp(a )
b
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Modello Weibull
α parametro di posizione
β parametro di forma
y
FY ( y ) = ∫
0
⎡ ⎛ y ⎞β ⎤
fY ( y )dy = 1 − exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎥⎦
L’ampia gamma di forme della pdf garantite
dal parametro β ha garantito l’enorme
successo di tale modello, soprattutto in campo
affidabilistico.
β⎛ y⎞
fY ( y ) = ⎜ ⎟
α ⎝α ⎠
SI a.a. 07/08
β −1
⎡ ⎛ y ⎞⎤
exp ⎢ − ⎜ ⎟ ⎥
⎣ ⎝ α ⎠⎦
β
1
β = , α = exp(a )
b
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Modello Weibull - Applicazioni
La Weibull è un modello matematico molto utilizzato in studi di interesse affidabilistico,
infatti permette di descrivere tutti i tratti della curva a vasca da bagno che caratterizza la
vita di un componente, a seconda del valore del suo parametro di forma :
0 < β <1
il meccanismo di guasto del processo è dovuto a difetti di
fabbricazione;
β =1
il meccanismo di guasto del processo è dovuto a difetti
β >1
il meccanismo di guasto del processo è dovuto ad usura.
randomici o accidentali;
Densità di rischio (di guasto)
Tasso
decrescente
Tasso
costante
Densità di rischio
osservata
Guasti
infantili
Guasti “randomici”
Vita operativa
SI a.a. 07/08
Tasso
crescente
Guasti
per usura
[tempo]
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Riferimenti sul Libro
Pasquale Erto
“Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”
McGraw Hill – seconda edizione
Capitolo 3
Trasformazioni di variabili aleatorie § 3.5 – pagg. 55-63
Metodo dei minimi quadrati § 3.9.1 – pagg. 70-73
Capitolo 5
Modelli Gumbel e Weibull § 5.2.1 – pagg. 94-98
Capitolo 9
Metodo dei grafici di probabilità § 9.1.3 – pagg. 185-189
SI a.a. 07/08
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
Per eventuali comunicazioni:
[email protected]
[email protected]
[email protected]
Orario di ricevimento:
Giovedì ore 16:30-18:30
P.le Tecchio X piano
Stanza Dottorandi DIAS
SI a.a. 07/08
Esercitazione 02_Trasformazioni di variabili aleatorie – Ing. Andrea Colini DIAS
