Materiale I incontro di preparazione ai Giochi di Archimede – Triennio

SOLUZIONI ESERCIZI
In queste 3 pagine proponiamo le soluzioni degli esercizi che erano sulle schede della
scorsa lezione ma che non sono stati svolti in classe. Chi ha provato a farli a casa può
confrontare i propri risultati, chi non l’avesse fatto può comunque leggere i
procedimenti e cercare di capirli.
TEORIA DEI NUMERI
5) Sulla lavagna si trova scritto il numero 1. La sola mossa permessa è cancellare
il numero scritto sulla lavagna e sostituirlo o con il suo doppio o con il suo
quadrato. Qual è il numero più grande che si può ottenere in 8 mosse? Risp(E)
Consideriamo come prima cosa che la prima mossa deve necessariamente essere un
raddoppio, in quanto elevando 1 al quadrato otterremmo sempre 1, mentre
raddoppiando otteniamo già 2. La seconda mossa,poi, è ininfluente, poiché sia 2² che
2·2 danno come risultato 4. A questo punto rimangono altre 6 mosse ognuna delle
quali deve essere un elevamento a potenza poiché è facile notare che 2·4 è minore di
4² (e così via 2·8≤8² …). Alla fine quindi otteniamo (con le proprietà delle potenze)
42·2·2·2·2·2, ovvero 22·2·2·2·2·2·2, quindi 2128 (E).
6) Sia n il più piccolo numero intero positivo divisibile per 20 e tale che la somma
delle sue cifre sia divisibile per 1999. Quante cifre ha n? Risp(D)
Affinché la somma delle cifre sia divisibile per 1999 e il numero in questione sia il
più piccolo possibile, occorre considerare tale cifra proprio uguale a 1999. Per avere
meno cifre possibili, poi, esse dovranno essere il più possibile uguali a 9 quindi in
totale devono essere 1999:9= 222 cifre da nove e 1 da uno (infatti
222·9=1998+1=1999). Bisogna però tenere conto del fatto che il nostro numero deve
essere divisibile per 20, quindi deve terminare per 0 (preceduto da cifra pari, ma
questo ci interessa poco al fine del calcolo delle cifre). Dobbiamo quindi aggiungere
un’ulteriore cifra, pertanto il totale è 224.(D)
7) Quanti sono i numeri naturali n tali che 2n divide n + 30? Risp(D)
Se 2n divide n+30, allora n divide n+30, quindi n (poiché ovviamente divide n)
divide anche 30. In oltre, n deve essere pari perché se fosse dispari vorrebbe dire che
un numero pari (2n) divide un numero dispari (n+30). Quindi n può essere solo un
divisore pari di 30, ovvero 2, 6,10,30. Verificando manualmente si ottiene che tutti e
quattro i valori soddisfano la nostra richiesta.
8) Il numero
2101 −293
286 −278
è uguale a: Risp (D)
Un buon metodo di approccio in questo esercizio è quello di sfruttare le proprietà
delle potenze e il raccoglimento a fattor comune. Si veda quindi 2101-293 come
293·(28-1) e 286-278 come 278·(28-1). A questo punto semplifichiamo e otteniamo
293\278, che è uguale a 215.(D)
CALCOLO COMBINATORIO
5) In un'urna ci sono 9 palline, 3 bianche, 3 rosse e 3 blu. Tullio estrae
contemporaneamente 3 palline. Qual è la probabilità che ne estragga una
bianca, una rossa e una blu?(C)
Per prima cosa consideriamo il fatto che non ci sono problemi nell’estrarre la prima
pallina che può essere una qualunque delle 9. Assumiamo di aver estratto una pallina
rossa: La seconda pallina, invece, potrà essere presa solo fra le 6 degli altri due
colori, quindi abbiamo 6 casi favorevoli su 8 totali (perché abbiamo tolto una
pallina), ovvero6\8 = 3\4. La terza pallina questa volta potrà essere estratta fra quelle
del colore restante, quindi abbiamo 3\7. Il prodotto di queste due frazioni ci da la
probabilità che gli eventi considerati si presentino in sequenza. Quindi abbiamo
9\28.(C)
6) Pierino ha 10 mele, quattro delle quali sono marce. Egli le ripartisce in due
sacchetti (non necessariamente lo stesso numero in ciascun sacchetto, ma non
meno di 3 mele in ogni sacchetto), e propone ad un suo amico di scegliere un
sacchetto, e successivamente di estrarre una mela dal sacchetto scelto. Come
dovrà comporre i due sacchetti affinché sia massima la probabilità che il suo
amico estragga una mela marcia?(E)
Per massimizzare la probabilità che la mela estratta sia marcia conviene riempire un
sacchetto solo di mele marce (nel minor numero possibile, cioè 3) e lasciare le altre
nell’altro sacchetto. In questo modo, infatti, otteniamo che la probabilità nel primo
sacchetto è il 100%, mentre nel secondo è 1\7. Per ottenere il totale dobbiamo poi
dimezzare i due risultati e poi sommarli, ottenendo 1\2+1\14, ovvero più del 50%.
Mettendo 2 marce e 3 buone in ogni sacchetto, invece avremmo ottenuto 2\5 in
ciascuno dei due, quindi in totale 2\10+2\10=2\5, ovvero meno del 50%. In fine,
anche la risposta (D) non è giusta poiché in quel caso la probabilità si ridurrebbe alla
scelta di uno dei due sacchetti, quindi semplicemente il 50%.
7) Tra i 200 alunni di una scuola, 150 hanno partecipato ad una gara di chimica e
130 hanno partecipato ad una gara di fisica. Quanti studenti hanno partecipato
ad entrambe le gare?(E)
Non è possibile stabilire con certezza il numero, infatti esso varia fra un minimo di 80
e un massimo di 150. Per farlo valere il meno possibile, consideriamo che ben 150
dei 200 alunni hanno partecipato alla prima gara. Quindi gli altri 50 hanno fatto la
seconda, pertanto avanzano 130-50=80 alunni che devono essere presi fra i primi
150. Allo stesso tempo, però, nessuno vieta che i 130 alunni vengano scelti fra i primi
150, quindi se al limite sono sempre gli stessi a fare le gare abbiamo 130. Sono
ovviamente possibili tutti i casi intermedi. Quindi la risposta è proprio (E).