SOLUZIONI ESERCIZI In queste 3 pagine proponiamo le soluzioni degli esercizi che erano sulle schede della scorsa lezione ma che non sono stati svolti in classe. Chi ha provato a farli a casa può confrontare i propri risultati, chi non l’avesse fatto può comunque leggere i procedimenti e cercare di capirli. TEORIA DEI NUMERI 5) Sulla lavagna si trova scritto il numero 1. La sola mossa permessa è cancellare il numero scritto sulla lavagna e sostituirlo o con il suo doppio o con il suo quadrato. Qual è il numero più grande che si può ottenere in 8 mosse? Risp(E) Consideriamo come prima cosa che la prima mossa deve necessariamente essere un raddoppio, in quanto elevando 1 al quadrato otterremmo sempre 1, mentre raddoppiando otteniamo già 2. La seconda mossa,poi, è ininfluente, poiché sia 2² che 2·2 danno come risultato 4. A questo punto rimangono altre 6 mosse ognuna delle quali deve essere un elevamento a potenza poiché è facile notare che 2·4 è minore di 4² (e così via 2·8≤8² …). Alla fine quindi otteniamo (con le proprietà delle potenze) 42·2·2·2·2·2, ovvero 22·2·2·2·2·2·2, quindi 2128 (E). 6) Sia n il più piccolo numero intero positivo divisibile per 20 e tale che la somma delle sue cifre sia divisibile per 1999. Quante cifre ha n? Risp(D) Affinché la somma delle cifre sia divisibile per 1999 e il numero in questione sia il più piccolo possibile, occorre considerare tale cifra proprio uguale a 1999. Per avere meno cifre possibili, poi, esse dovranno essere il più possibile uguali a 9 quindi in totale devono essere 1999:9= 222 cifre da nove e 1 da uno (infatti 222·9=1998+1=1999). Bisogna però tenere conto del fatto che il nostro numero deve essere divisibile per 20, quindi deve terminare per 0 (preceduto da cifra pari, ma questo ci interessa poco al fine del calcolo delle cifre). Dobbiamo quindi aggiungere un’ulteriore cifra, pertanto il totale è 224.(D) 7) Quanti sono i numeri naturali n tali che 2n divide n + 30? Risp(D) Se 2n divide n+30, allora n divide n+30, quindi n (poiché ovviamente divide n) divide anche 30. In oltre, n deve essere pari perché se fosse dispari vorrebbe dire che un numero pari (2n) divide un numero dispari (n+30). Quindi n può essere solo un divisore pari di 30, ovvero 2, 6,10,30. Verificando manualmente si ottiene che tutti e quattro i valori soddisfano la nostra richiesta. 8) Il numero 2101 −293 286 −278 è uguale a: Risp (D) Un buon metodo di approccio in questo esercizio è quello di sfruttare le proprietà delle potenze e il raccoglimento a fattor comune. Si veda quindi 2101-293 come 293·(28-1) e 286-278 come 278·(28-1). A questo punto semplifichiamo e otteniamo 293\278, che è uguale a 215.(D) CALCOLO COMBINATORIO 5) In un'urna ci sono 9 palline, 3 bianche, 3 rosse e 3 blu. Tullio estrae contemporaneamente 3 palline. Qual è la probabilità che ne estragga una bianca, una rossa e una blu?(C) Per prima cosa consideriamo il fatto che non ci sono problemi nell’estrarre la prima pallina che può essere una qualunque delle 9. Assumiamo di aver estratto una pallina rossa: La seconda pallina, invece, potrà essere presa solo fra le 6 degli altri due colori, quindi abbiamo 6 casi favorevoli su 8 totali (perché abbiamo tolto una pallina), ovvero6\8 = 3\4. La terza pallina questa volta potrà essere estratta fra quelle del colore restante, quindi abbiamo 3\7. Il prodotto di queste due frazioni ci da la probabilità che gli eventi considerati si presentino in sequenza. Quindi abbiamo 9\28.(C) 6) Pierino ha 10 mele, quattro delle quali sono marce. Egli le ripartisce in due sacchetti (non necessariamente lo stesso numero in ciascun sacchetto, ma non meno di 3 mele in ogni sacchetto), e propone ad un suo amico di scegliere un sacchetto, e successivamente di estrarre una mela dal sacchetto scelto. Come dovrà comporre i due sacchetti affinché sia massima la probabilità che il suo amico estragga una mela marcia?(E) Per massimizzare la probabilità che la mela estratta sia marcia conviene riempire un sacchetto solo di mele marce (nel minor numero possibile, cioè 3) e lasciare le altre nell’altro sacchetto. In questo modo, infatti, otteniamo che la probabilità nel primo sacchetto è il 100%, mentre nel secondo è 1\7. Per ottenere il totale dobbiamo poi dimezzare i due risultati e poi sommarli, ottenendo 1\2+1\14, ovvero più del 50%. Mettendo 2 marce e 3 buone in ogni sacchetto, invece avremmo ottenuto 2\5 in ciascuno dei due, quindi in totale 2\10+2\10=2\5, ovvero meno del 50%. In fine, anche la risposta (D) non è giusta poiché in quel caso la probabilità si ridurrebbe alla scelta di uno dei due sacchetti, quindi semplicemente il 50%. 7) Tra i 200 alunni di una scuola, 150 hanno partecipato ad una gara di chimica e 130 hanno partecipato ad una gara di fisica. Quanti studenti hanno partecipato ad entrambe le gare?(E) Non è possibile stabilire con certezza il numero, infatti esso varia fra un minimo di 80 e un massimo di 150. Per farlo valere il meno possibile, consideriamo che ben 150 dei 200 alunni hanno partecipato alla prima gara. Quindi gli altri 50 hanno fatto la seconda, pertanto avanzano 130-50=80 alunni che devono essere presi fra i primi 150. Allo stesso tempo, però, nessuno vieta che i 130 alunni vengano scelti fra i primi 150, quindi se al limite sono sempre gli stessi a fare le gare abbiamo 130. Sono ovviamente possibili tutti i casi intermedi. Quindi la risposta è proprio (E).