Programma del Corso di Analisi Matematica 1 Numeri

Programma del Corso di Analisi Matematica 1
Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione, Canale 1, A.A. 2009/2010
Docente: Antonio Ponno
Libro di Testo: Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw-Hill, 2007
Premessa
(D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad indicare che la dimostrazione è richiesta. Se non
compare la (D), della formula, della proprietà, della proposizione o del teorema citati deve essere comunque
noto l’enunciato corretto. Gli argomenti contrassegnati con un asterisco (?) sono stati trattati a lezione in
modo leggermente diverso da quello seguito nel libro di testo. L’ordine degli argomenti riportati può essere
diverso da quello con cui essi sono stati presentati a lezione.
Numeri
1. Numeri naturali,
interi e razionali; operazioni su tali insiemi numerici e loro proprietà; irrazio√
nalità di 2 (D);
2. Razionali come allineamenti decimali propri limitati, o illimitati periodici; irrazionali come
allineamenti decimali propri illimitati non periodici; reali come allineamenti decimali propri;
densità dei razionali e degli irrazionali nei reali; numerabilità dei razionali e non numerabilità
dei reali; misura nulla dei razionali in [0, 1].
3. Sottoinsiemi reali limitati; estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo; teorema di
completezza dei reali.
Funzioni I
1. Definizione di funzione, successione, funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva, di immagine di
un insieme; grafico di una funzione, funzione inversa (esempi), grafico della funzione inversa; f
iniettiva è invertibile.
2. Estremo superiore, inferiore, massimo e minimo di una funzione.
3. Definizione di funzione monotona crescente (o decrescente); f monotona crescente (decrescente)
se e solo se il rapporto incrementale è non negativo (non positivo) (D); f strettamente monotona
implica f invertibile.
4. Funzioni elementari: trigonometriche e loro inverse, potenze intere e loro inverse (radici), potenze reali e loro inverse, esponenziali e loro inverse (logaritmi), iperboliche e loro inverse, valore
assoluto (o modulo), parte intera; grafici e proprietà fondamentali di ognuna di tali funzioni.
Limiti I
1. Elementi di topologia di R: intervalli, intorni di un punto al finito e di ±∞; punto di accumulazione, punto isolato, punto interno di un insieme; definizioni di insieme aperto, chiuso;
teorema di Bolzano-Weierstrass.
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2. Definizione topologica di limite (tramite intorni) e sue traduzioni in tutti i casi specifici (ε,
δ, M , K,...): x0 finito o infinito ed ` finito o infinito; verifica di limiti semplici usando la
definizione.
3. Teorema di unicità del limite (D); teorema della permanenza del segno (D); teorema del
confronto (o ”dei carabinieri”) (D); limiti di somma, prodotto e rapporto.
4. Limiti notevoli trigonometrici: limx→0 sin x/x = 1 (D) e tutti i conseguenti.
Successioni
1. Teorema (o Principio) di induzione; disuguaglianza di Bernoulli; fattoriale, coefficiente binomiale e formula del binomio di Newton.
2. Definizione di limite di una successione; teorema di convergenza all’estremo superiore delle
successioni monotone (D); teorema della permanenza del segno; teorema ponte.
3. Limite notevole limn→+∞ (1 + 1/n)n = e e tutti i limiti notevoli conseguenti.
4. Sottosuccessioni e loro proprietà; definizione di successione fondamentale; teorema (di Cauchy)
di caratterizzazione delle successioni convergenti.
Serie
1. Definizione di serie, successione delle somme parziali, convergenza, serie resto; serie di Mengoli,
serie geometrica, serie telescopiche; divergenza della serie armonica.
2. Condizione necessaria di convergenza (D); teorema di caratterizzazione di Cauchy delle serie
convergenti.
3. Serie a termini positivi, criteri di convergenza: criterio del confronto, del confronto asintotico,
di condensazione; studio della serie armonica generalizzata; criterio del rapporto e della radice.
4. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.
5. Serie a termini di segno qualsiasi: convergenza assoluta e convergenza semplice; convergenza
assoluta implica convergenza semplice.
Funzioni continue
1. Funzioni continue: definizione di funzione continua in un punto di accumulazione del√suo
dominio; esempi di funzioni continue (costante, x, x2 , polinomi, sin x, cos x, tan x, 1/x, x);
continuità della composizione di funzioni continue.
2. Esempi di funzioni non continue; classificazione dei punti di discontinuità; prolungamento per
continuità.
3. Teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue (D) e conseguente algoritmo di ricerca
degli zeri.
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4. ? Teorema di Heine-Cantor (versione semplice); limitatezza ed esistenza di massimo e minimo
per funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato; l’immagine di un intervallo chiuso e
limitato tramite una funzione continua è un intervallo chiuso e limitato.
Limiti II
1. Definizioni di funzione infinitesima e infinita in un punto di accumulazione del dominio; proprietà degli infinitesimi e degli infiniti: somme, prodotti di infinitesime e prodotti di infinitesime
per limitate sono infinitesime; prodotto di infinita per limitata, di infinita per infinita e somma
di infinita piú limitata è infinita.
2. Definizione di ”o piccolo” e di asintoticità; f ∼ `g ⇔ f = `g + o(g); algebra degli o piccoli;
”metodo di cancellazione degli o piccoli”.
Calcolo differenziale
1. Il problema della velocità istantanea e della tangente al grafico di una funzione in un punto:
definizione di derivata di una funzione in un punto interno del dominio; equazione della retta
tangente al grafico di una funzione derivabile; derivata destra e derivata sinistra di una funzione
in un punto.
2. Derivate elementari: (c)0 = 0, (sin x)0 = cos x, (ax )0 = ax log a, (loga x)0 =
1
x
loga e.
3. Derivabilità implica continuità (D); |x| continua ma non derivabile in x = 0.
4. Regole di derivazione: derivata di somma, prodotto, reciproco, rapporto, composta, inversa (D,
di tutte).
5. Massimi e minimi relativi (o locali); teorema di Fermat (D); teoremi di Rolle (D), Cauchy (D),
Lagrange; f derivabile con derivata nulla in un intervallo è costante (D);
6. Legame tra derivabilità e monotonia: f 0 ≥ 0 se e solo se f è crescente, f 0 > 0 implica f
strettamente crescente (D).
7. ? Definizione di funzione convessa (concava); legame tra derivata seconda e convessità: f 00 ≥ 0
se e solo se f è convessa, f 00 > 0 implica f strettamente convessa; definizione di punto di flesso;
f due volte derivabile in x0 punto di flesso implica f 00 (x0 ) = 0.
8. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui: definizioni e metodo di ricerca.
9. Teoremi di De L’Hopital per risolvere le forme indeterminate 0/0 e ∞/∞ e loro applicazioni;
esempi.
10. Definizione di classe di regolarità di una funzione in un dato dominio, esempi.
11. Approssimazione locale di funzioni con polinomi: teorema di Taylor-Peano (D) e sviluppi delle
funzioni elementari; teorema di Taylor-Lagrange; condizione di convergenza della serie di Taylor; esempi di sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari (specificando il dominio di
convergenza): sin x, cos x, ex , ln(1 + x).
12. Sviluppi asintotici, esempi.
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Calcolo Integrale
1. Differenziale, definizione e operazioni: differenziale di somma, prodotto, reciproca, rapporto,
composta.
2. Problema del calcolo dell’area di trapezoidi; partizione di un intervallo, suddivisione associata
e definizione delle somme di Riemann inferiori e superiori di funzioni limitate; proprietà delle
somme di Riemann e definizione dell’integrale di Riemann; integrale della funzione costante e
non integrabilità della funzione di Dirichlet.
3. Criterio equivalente di integrabilità; integrabilità delle funzioni monotone (D) e delle funzioni
continue (D).
4. Proprietà dell’integrale di Riemann di una funzione su un intervallo.
5. Definizione di media integrale e teorema della media integrale (D); definizione di funzione
integrale; f integrabile ha funzione integrale associata continua (D); teorema fondamentale del
calcolo integrale: f continua ha funzione integrale associata derivabile, con derivata f (D).
6. Definizione di primitiva; definizione di integrale indefinito; tutte e sole le primitive di una
funzione continua sono della forma funzione integrale piú costante (D); formula di calcolo degli
integrali di funzioni continue su un intervallo (D).
7. Tecniche di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione; integrazione delle funzioni
razionali, esempi.
8. Estensione dell’integrale di Riemann a funzioni non limitate su un intervallo limitato o a funzioni limitate su un intervallo illimitato, esempi; legame tra integrali impropri e serie: criterio
dell’integrale per serie a termini positivi.
Complessi
• Operazioni tra elementi di R2 : addizione e struttura di spazio vettoriale, regola del parallelogramma; moltiplicazione tra numeri complessi e struttura di campo; coppie ordinate fondamentali 1 e i e loro proprietà rispetto alle operazioni; numeri complessi in forma algebrica e
soluzione di z 2 + 1 = 0.
• Parte reale, parte immaginaria, complesso coniugato, modulo, reciproco di un numero complesso z e loro proprietà; uguaglianza tra numeri complessi.
• Forma trigonometrica dei numeri complessi: coordinate polari piane, modulo e fase, uguaglianza
tra numeri complessi in forma trigonometrica; identità di Eulero: eiθ = cos θ + i sin θ; numeri
complessi in forma esponenziale (modulo-fase); formula di De Moivre per il prodotto tra numeri
complessi e interpretazione geometrica.
• Radice n-esima di un numero complesso: definizione e calcolo in forma esponenziale; proprietà
geometriche delle radici ennesime di un numero complesso.
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