guida - Apprendiscienza

PLAYLIST 5 Seni, coseni e... equazioni
Seni, coseni e... equazioni
PLAYLIST 5
Prerequisiti
Conoscere le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente di un
angolo.
Saper calcolare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente di angoli
particolari.
Obiettivi
Conoscenze e abilità
Risolvere equazioni trigonometriche semplici.
Risolvere equazioni trigonometriche introducendo una nuova variabile.
Competenze
Saper comprendere e analizzare semplici modelli matematici di classi di
fenomeni del mondo fisico, utilizzando le equazioni trigonometriche.
Saper risolvere problemi reali relativi a equazioni trigonometriche.
La seguente proposta di attività può essere utilizzata per introdurre i primi esercizi
sulle equazioni trigonometriche. La playlist si compone di risorse Apprendiscienza costituite da esercizi di applicazione immediata, integrati con note e spiegazioni teoriche.
L’ultima parte del percorso, che introduce la tecnica del metodo di risoluzione
per sostituzione nel caso delle equazioni trigonometriche, è proposta in lingua
inglese, sfruttando alcune risorse Apprendiscienza di livello più avanzato. L’ultima risorsa invece, costituita da materiali personali, è pensata per dare qualche
spunto sulle applicazioni delle equazioni trigonometriche in un contesto reale,
modellizzando matematicamente un fenomeno naturale.
LA STRUTTURA DELLA LEZIONE
Il percorso didattico che proponiamo, dal titolo Seni, coseni e equazioni, è disponibile sul portale sotto forma di playlist pubblica. Potete quindi copiarlo liberamente, modificarlo e salvarlo nel vostro spazio personale. Nella tabella a p. 51
sono riportati, nell’ordine, i contenuti di cui la playlist si compone, la loro tipologia
e gli ambiti o obiettivi didattici in cui s’inseriscono.
Le risorse così aggregate consentiranno di presentare in classe un percorso
di difficoltà crescente, realizzato con le risorse di Apprendiscienza e centrato sulla risoluzione delle equazioni trigonometriche. Le attività proposte nella
scheda finale sono invece mirate al potenziamento delle abilità appena apprese e alla valutazione delle competenze, in particolare delle capacità di riconoscere e analizzare un modello matematico e di applicare le tecniche apprese
a contesti di realtà.
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Contenuti della playlist
Tipologia
Ambito/obiettivo didattico
Le formule trigonometriche
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
Le soluzioni delle equazioni trigonometriche
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
Cerchiamo le soluzioni di un’equazione
trigonometrica
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
Le equazioni trigonometriche fondamentali
risorsa Apprendiscienza
introduzione
Il numero di soluzioni di un’equazione
trigonometrica
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
Risolviamo le equazioni trigonometriche
fondamentali
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
Semplici equazioni trigonometriche
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
La soluzione generale di un’equazione
trigonometrica
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
New variable in a trigonometric equation
risorsa Apprendiscienza
applicazioni, CLIL
Using new variables to solve trigonometric
equations
risorsa Apprendiscienza
applicazioni, CLIL
Solving an equation by introducing a new variable risorsa Apprendiscienza
applicazioni, CLIL
Finding the solutions of a trigonometric equation
risorsa Apprendiscienza
applicazioni, CLIL
Fluttuazioni matematiche
risorsa personale
applicazioni, matematica e
realtà
PRIMI PASSI CON LE EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Incominciate il percorso lanciando la risorsa “Le formule trigonometriche”. Questa prima attività permette di ripassare le funzioni trigonometriche di seno, coseno e tangente. Sulla schermata vengono presentate diverse equazioni: alcune di queste sono vere per ogni valore di x. Per trovarle è sufficiente applicare
alcune proprietà fondamentali delle funzioni. Per ripassarle insieme ai ragazzi,
disegnate accanto alle equazioni, sullo spazio libero della schermata, la circonferenza unitaria nel piano cartesiano. Potete impostare il disegno di base in fase
di preparazione della playlist e poi completarlo in classe durante la risoluzione
dell’esercizio.
Se volete personalizzare la risorsa per poterla utilizzare direttamente a lezione,
lanciate l’azione Modifica risorsa dall’area di gestione della playlist, selezionate
il contenuto di vostro interesse e cliccate sull’icona Blocco note. Nella pagina
comparirà un’anteprima della risorsa, modificabile attraverso il pannello degli
strumenti. Gli interventi effettuati possono essere memorizzati cliccando sul
pulsante Salva.
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Disegnate i due assi cartesiani nella parte libera della schermata utilizzando
la funzione Linea 1 del pannello degli strumenti; per tracciare la circonferenza, infine, cliccate sullo strumento Contorno del cerchio 2 .
1
2
Lanciate quindi la risorsa “Le soluzioni delle equazioni trigonometriche”, che propone quattro diverse
semplici equazioni trigonometriche
sulla sinistra della schermata e alcune possibili soluzioni espresse in
gradi sulla destra. Se ritenete necessario esplicitare alcuni passaggi, potete farlo nello spazio libero
sulla destra aggiungendo una nota
di testo.
Per mettere alla prova la classe e
proseguire nel senso di una difficoltà crescente, chiamate qualcuno alla LIM o al computer per
completare la terza attività della
playlist, “Cerchiamo le soluzioni di
un’equazione trigonometrica” (v.
figura). Si tratta di un esercizio a
risposta multipla che propone due
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equazioni più complesse (cos x = sen x, sulla prima schermata e tan x = sen x,
sulla seconda): potete semplicemente chiedere di verificare una per una le possibili risposte (espresse in gradi), oppure di procedere ricercando una forma più
generale di risoluzione.
Chiedete allo studente coinvolto, in ogni caso, di sfruttare lo spazio accanto agli
esercizi per esplicitare i passaggi necessari direttamente sulla schermata.
RISOLVERE LE EQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
A questo punto, per entrare nel vivo del procedimento di risoluzione delle equazioni trigonometriche, lanciate l’animazione presente nella risorsa “Le equazioni
trigonometriche fondamentali”, che mostra come ottenere, anche dal punto di
vista grafico, le soluzioni dell’equazione sen x = –0,5 in un particolare intervallo.
Al termine della proiezione, per coinvolgere operativamente i ragazzi potete
completare la risorsa inserendo
una nota di testo con un nuovo
esercizio: chiedete loro di trovare
le soluzioni utilizzando lo stesso
metodo illustrato nel video, ma in
un altro intervallo, per esempio in
[–180°; 180°] oppure in [0°; 360°].
Passate quindi all’attività successiva, “Il numero di soluzioni di
un’equazione trigonometrica” (v.
figura), che propone un’equazione simile a quella risolta nell’animazione della precedente risorsa,
questa volta utilizzando la funzione coseno. Chiedete ai ragazzi
di risolvere i quesiti vero-falso individualmente sul quaderno, stabilendo quante soluzioni esistono
nell’intervallo indicato nella consegna dell’esercizio, visibile cliccando sull’icona i in alto a sinistra.
Non è necessario esplicitare le soluzioni, in quanto risolvere l’equazione in questione è l’attività da svolgere nella risorsa che segue.
In “Risolviamo le equazioni trigonometriche fondamentali” le possibili soluzioni
sono già espresse (in gradi): chiamate uno studente alla LIM o al computer per
selezionare le risposte corrette.
Se necessario, per facilitare lo svolgimento dell’attività completate la risorsa con
un disegno qualitativo della funzione seno, o riprendendo la rappresentazione
della circonferenza unitaria sul piano cartesiano.
La risorsa “Semplici equazioni trigonometriche” richiede di associare alcune
equazioni trigonometriche date alle rispettive soluzioni (questa volta coinvolgendo anche la funzione trigonometrica della tangente). Il procedimento, pur non
essendo di grande complessità, richiede qualche passaggio algebrico in più, se
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paragonato agli esempi presentati all’inizio del percorso.
Potete mostrare la schermata nascondendo il box sottostante con le soluzioni
(perché questo non sia visibile in classe è necessario intervenire in fase di preparazione della playlist) e chiedere ai ragazzi di risolvere l’attività in autonomia,
completandola individualmente sul quaderno.
Infine raccogliete le soluzioni e verificatele immediatamente insieme: inserite le
risposte proposte dagli studenti nella risorsa, sfruttando il report auto-correttivo
incorporato per correggere eventuali errori e chiarire i dubbi emersi nel corso del
completamento dell’attività.
Perché le soluzioni risultino nascoste al momento iniziale, cliccate sulla
funzione Mostra area 1 del pannello degli strumenti, circoscrivendo la sola
parte da visualizzare (le equazioni trigonometriche date).
Alla fine, per mostrare il box delle soluzioni utilizzate il pulsante Nascondi il
contenuto 2 . Nel caso in cui vogliate far vedere esercizio e box affiancati,
è sufficiente cliccare di nuovo su Mostra area.
1
2
Nella risorsa che segue, “La soluzione generale di un’equazione trigonometrica”,
sono proposti tre esercizi che prendono in considerazione tre semplici equazioni
con la funzione seno, coseno e tangente rispettivamente.
La nuova difficoltà sta nel riconoscere non più le soluzioni particolari relative
a un intervallo specifico, ma le soluzioni nella forma generale al variare di un
parametro k.
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USING NEW VARIABLES TO SOLVE
TRIGONOMETRIC EQUATIONS
Se il livello della classe nell’ascolto e nella comprensione in lingua inglese lo consente, introducete la tecnica di risoluzione delle equazioni trigonometriche per
sostituzione lanciando l’animazione “New variable in a trigonometric equation”
(v. figura), che esplicita passo dopo passo il procedimento risolutivo per sostituzione. Chiamate quindi qualcuno alla LIM o al computer per riassumere concettualmente quanto detto, schematizzandolo in un’apposita casella di testo.
Può essere molto utile, inoltre, mettere in evidenza i termini di più difficile comprensione, per esempio annotando “sketch” o “domain”. Chiedete ai ragazzi di
risalire al significato di queste espressioni, la prima, più generica, che sta per
“descrivere, delineare”, la seconda, invece, specifica del linguaggio matematico
ed equivalente al nostro “dominio”. Potete assegnare la traduzione di vocaboli ed
espressioni simili come attività da svolgere a piccoli gruppi sul web.
Per applicare quanto detto e verificarne l’effettiva comprensione,
coinvolgete la classe con l’attività in lingua inglese “Using new
variables to solve trigonometric
equations” , invitando i ragazzi a
trovare tutte le soluzioni delle tre
equazioni proposte, visualizzabili
intervenendo sul menù a tendina.
Potete completare la risorsa illustrando i passaggi necessari per
svolgere uno dei tre esercizi a scopo esemplificativo e assegnare gli
altri due alla classe perché li risolva dal posto.
Se necessario, aggiungete una
nuova schermata bianca con suggerimenti per applicare il metodo
della sostituzione alle equazioni
trigonometriche. Può essere molto utile, per esempio, ricordare agli
studenti di ritornare sempre alla variabile di partenza e di controllare l’intervallo
entro cui cercare le soluzioni, facendo attenzione a cambiarlo in base alla nuova
variabile oppure a modificare correttamente il periodo delle funzioni trigonometriche considerate.
Anche l’esercizio “Solving an equation by introducing a new variable” richiede un
procedimento di risoluzione per sostituzione. In questo caso, però, tutti i passaggi sono già predisposti ed è sufficiente chiedere alla classe di completarli.
La soluzione, tuttavia, non coinvolge angoli noti, è necessario quindi l’utilizzo di
uno strumento di calcolo o delle tavole trigonometriche. Queste sono disponibili
anche sul portale Apprendiscienza come strumento a sé, aggregabile alla playlist. Ricordate agli studenti, inoltre, di prestare attenzione alle richieste sul numero
di decimali con cui presentare le risposte.
CLIL
inglese
webquest
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A questo punto, per riepilogare gli argomenti trattati, potete
coinvolgere la classe con l’attività
“Finding the solutions of a trigonometric equation”, leggermente più
complessa delle precedenti. Fate
notare che non è necessario, in
questo caso, l’utilizzo di una calcolatrice, ma è importante rispettare l’intervallo in cui cercare le soluzioni. Potete chiedere ai ragazzi
di svolgere l’esercizio dal posto
per poi testarne la comprensione
chiamando uno di loro a inserire le
risposte corrette in corrispondenza della risorsa.
PER CONCLUDERE: UN SEMPLICE MODELLO
Competenze
Per concludere la lezione, è possibile integrare la playlist con risorse proprie o esterne,
matematica pensate per potenziare conoscenze e abilità e stimolare i ragazzi alla modellizzazione
e realtà
modellizzazione
matematica. In questo caso è stata aggiunta una scheda integrativa da proporre alla
classe come verifica in classe o compito a casa, articolata in domande che mettono
alla prova diverse competenze. Per elaborare l’attività si è preso spunto da alcune
risorse Apprendiscienza in lingua inglese che è possibile trovare nelle due lezioni Simple trigonometric equations e Solving simple trigonometric equations, eventualmente
integrabili nella playlist. Fluttuazioni matematiche (Scheda 1,, p. 57) attinge al
fenomeno oscillatorio delle maree, traducendolo in termini matematici e ponendo una
particolare attenzione alla comprensione del testo (literacy reading) e al rapporto tra
il modello matematico e la realtà. L’attività consente di valutare alcune competenze
fondamentali oggetto di verifica nelle prove INVALSI e OCSE-PISA, come le capacità di comprendere un modello matematico e di analizzarlo applicando le tecniche
apprese e le conoscenze trasversali acquisite nella vita reale o con lo studio di altre
discipline (in questo caso la fisica). La playlist che proponiamo contiene una griglia
in excel costruita secondo lo schema in basso, che consente di valutare le diverse
competenze dimostrate da ogni singolo studente nello svolgimento dell’attività.
Griglia di valutazione - Scheda 1
Competenze
Domande
Voto
Comprensione del testo
Tutte
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Matematica e modelli
1
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Conoscenze e abilità
2, 3, 4
........................................
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Seni, coseni e... equazioni PLAYLIST 5
SCHEDA 1
Fluttuazioni matematiche
La profondità dell’acqua del mare in un porto dipende da vari fattori,
tra i quali le maree, tuttavia essa oscilla tra due valori più o meno
regolarmente nell’arco di una giornata.
La modellizzazione di fenomeni ripetitivi, o meglio periodici, come le
onde, si effettua, tipicamente, attraverso le funzioni trigonometriche,
in particolare utilizzando le funzioni seno e coseno.
Supponiamo che dai dati ricavati da osservazioni e misurazioni sulla
profondità dell’acqua in un porto di mare artificiale, essa sia modellizzata dalla seguente funzione:
p(t) = 2 cos(t + n/6) + 10
dove p è la profondità espressa in metri e t è il tempo espresso in
ore.
1. Senza effettuare calcoli, ma ricordando che la funzione coseno oscilla tra due valori precisi (quali?), valuta qual è la profondità minima e quale quella massima
raggiunta dall’acqua nel porto.
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2. Quante volte la profondità raggiunge il valore massimo nell’arco di 24 ore? Quante volte raggiunge il valore minimo? Che cosa possiamo dedurre approssimativamente sul periodo delle
fluttuazioni? Qual è il periodo esatto della funzione del modello?
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3. Quante volte la profondità raggiunge il valore di 10 metri nell’arco di 24 ore? E a che ora tra le
ore 0 e le ore 24?
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4. Quante volte la profondità raggiunge il valore di 11 metri nell’arco di 24 ore? E a che ora tra le
ore 0 e le ore 24?
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