Problemi de Geometria

Problemi de Geometria
di Cristoforo Alasia, 1900
ricompilati da
Francisco Javier Garcı́a Capitán ed
Ercole Suppa, nel 2008
Notazioni
• A, B, C angoli del triangolo fondamentale ABC,
• a, b, c lati del triangolo fondamentale ABC,
• A0 , B 0 , C 0 punti medi dei lati BC, CA, AB,
• D, E, F punti di contatto dei lati di ABC coll’incerchio,
• D1 , E1 , F1 punti di contatto dei lati di ABC con l’A-excerchio,
• D2 , E2 , F2 punti di contatto dei lati di ABC con l’B-excerchio,
• D3 , E3 , F3 punti di contatto dei lati di ABC con l’C-excerchio,
• d, e, f lati di EF , F D, DE del triangolo DEF ,
• d1 , e1 , f1 lati di E1 F1 , F1 D1 , D1 E1 del triangolo D1 E1 F1 ,
• G baricentro del triangolo ABC,
• Ga , Gb , Gc proiezioni di G sui lati BC, CA, AB,
• H ortocentro del triangolo ABC,
• ha , hb , hc altezze del triangolo fondamentale ABC,
• I incentro del triangolo ABC,
• Ia , Ib , Ic excentri di ABC,
• J punto di Nagel del triangolo ABC,
• Ja , Jb , Jc punti associati del punto di Nagel,
• K punto di Lemoine del triangolo ABC,
• Ka , Kb , Kc punti essimmediani ABC,
• L, M , N piedi delle bisettrici interne di ABC,
• L0 , M 0 , N 0 piedi delle bisettrici esterne di ABC,
• L1 , M1 , N1 proiezioni di Ka sui lati di ABC,
• L2 , M2 , N2 proiezioni di Kb sui lati di ABC,
• L3 , M3 , N3 proiezioni di Kc sui lati di ABC,
• `a , `b , `c bisettrici interne di ABC,
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• λa , λb , λc bisettrici esterne di ABC,
• ma , mb , mc mediane condotte da A, B, C rispettivamente,
• na , nb , nc insimediane condotte da A, B, C rispettivamente,
• νa , νb , νc essimediane condotte da A, B, C rispettivamente,
• O circoncentro del triangolo ABC,
• O9 centro del cerchio di Feuerbach,
• Oa , Ob , Oc circoncentri dei triangoli HCB, HCA, HAB rispettivamente,
• O0 , O1 , O2 , O3 circoncentri dei triangoli Ia Ib Ic , IIb Ic , IIa Ic ,IIa Ib ,
• r raggio dell’incerchio di ABC,
• R raggio del circoncerchio di ABC,
• R punto di Steiner,
• R, S, T piedi delle insimediane di ABC,
• R0 , S 0 , T 0 piedi delle essimediane di ABC,
• X, Y , Z piedi delle perpendicolari condotte da A, B, C sui lati opposti,
• Γ punto di intersezione di AD, BE, CF (punto di Gergonne),
• N punto di Tarry,
• Ω, Ω0 primo e secondo punto di Brocard,
• ω angolo di Brocard,
• Z punto medio di OK (centro del cerchio di Brocard,
• S punto medio di ΩΩ0 ,
• S 0 suo corrispondente. E’ all’intersezione delle rette che uniscono i punti medi dei lati di A1 B1 C1 (primo
triangolo di Brocard) ai vertici di ABC,
• D centro di omologia di ABC e del primo triangolo di Brocard. E’ all’intersezione delle rette AA1 , BB1 ,
CC1 ,
• D0 polo di ΩΩ0 rispetto al cerchio di Brocard. E’ il punto medio di DH,
• ∆ area del triangolo ABC,
• p semiperimetro del triangolo ABC,
• [F] area di una figura F.
• ∆a , ∆b , ∆c area dei triangoli HCB, HCA, HAB,
• ∆0 , ∆1 , ∆2 , ∆3 aree dei triangoli Ia Ib Ic , IIb Ic , IIa Ic ,IIa Ib ,
• a2 + b2 + c2 = m2 ,
• a4 + b4 + c4 = q 4 ,
• ab + bc + ca = t2 ,
• a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = n4 ,
• b2 + c2 − a2 = α2 ,
• a2 + c2 − b2 = β 2 ,
• a2 + b2 − c2 = γ 2 ,