l`area di un triangolo sferico

L’AREA DI UN TRIANGOLO SFERICO
Come si può calcolare l’area di un triangolo sferico?
Consideriamo a questo scopo un triangolo ABC e
prolunghiamo i suoi lati in modo da ottenere le tre
circonferenze massime complete s1 , s2 , s3 in figura.
Complessivamente si sono formati otto triangoli, suddivisi in
quattro coppie antipodali (come ad esempio ABC e A’B’C’,
AB’C e A’BC’ eccetera).
I cerchi massimi, considerati due alla volta (s1 e s2 , s2 e s3 ,
s1 e s3 ), individuano invece tre coppie di lune opposte, di
angoli α, β, γ, cioè esattamente gli angoli del triangolo ABC.
Queste lune o biangoli sono rappresentate con colori diversi
nelle figure A,B,C seguenti. Noi conosciamo la formula
dell’area di una luna Lα di angolo α (misurato in gradi):
Area(Lα)=(α/360)Area(S). Possiamo anche osservare che le tre coppie di lune ricoprono la sfera S
Figura B
Figura A
Figura C
con una tripla sovrapposizione sui triangoli ABC e A’B’C’ e che l’area di ogni luna coincide
evidentemente con quella della luna opposta. Ne segue che
Area( S ) = 2 Area( Lα ) + 2 Area (Lβ ) + 2 Area(Lγ ) − 2 Area( ABC ) − 2 Area( A' B' C ')
Quindi, tenendo conto che i triangoli ABC e A'B'C' hanno la stessa area e utilizzando la formula
dell'area di un biangolo, arriviamo facilmente al seguente risultato finale:
Area( ABC ) =
(α + β + γ − 180 ) ⋅ Area( S ) .
720
Misurando gli angoli in radianti e ricordando che l’area della sfera di raggio R vale 4ðR2
otteniamo invece:
Area( ABC ) =
(α + β + γ − π ) ⋅ Area(S) = (α + β + γ − π )R2
4π