16 Il campo dei numeri complessi

16
Il campo dei numeri complessi
Consideriamo lo spazio vettoriale
IR2 = {(a, b) : a ∈ IR, b ∈ IR} ,
con le usuali operazioni: addizione di due vettori,
(a, b) + (a! , b! ) = (a + a! , b + b! ) ,
e prodotto di un numero reale α per un vettore,
α(a, b) = (αa, αb) .
Introduciamo in esso un’ulteriore operazione interna, la moltiplicazione, cosı̀
definita:
(a, b) · (a! , b! ) = (aa! − bb! , ab! + ba! ) .
Nel seguito, ometteremo spesso di scrivere il “ · ”. Si può verificare che valgono le seguenti proprietà:
a) (associativa) (a, b) · ((a! , b! ) · (a!! , b!! )) = ((a, b) · (a! , b! )) · (a!! , b!! ) ;
b) esiste un “elemento neutro” (1, 0): si ha (a, b) · (1, 0) = (a, b) ;
−b
a
c) ogni elemento (a, b) #= (0, 0) ha un “reciproco” (a, b)−1 = ( a2 +b
2 , a2 +b2 ):
si ha
"
!
−b
a
,
= (1, 0) ;
(a, b) 2
a + b 2 a2 + b 2
d) (commutativa) (a, b) · (a! , b! ) = (a! , b! ) · (a, b) ;
e) (distributiva) (a, b)·((a! , b! )+(a!! , b!! )) = ((a, b)·(a! , b! ))+((a, b)·(a!! , b!! )) .
In questo modo, (IR2 , +, · ) risulta essere un campo, che verrà indicato con
C
C e si dirà il “campo complesso”. I suoi elementi si chiameranno “numeri
complessi”.
Cosı̀ come il simbolo 0 è stato usato per indicare l’elemento neutro (0, 0)
per l’addizione, indicheremo ora con il nuovo simbolo 1 il numero complesso
(1, 0), elemento neutro per la moltiplicazione.
Ogni numero complesso (a, b) si può scrivere come combinazione lineare
degli elementi (1, 0) e (0, 1) della base canonica; se introduciamo il simbolo
i per indicare il numero complesso (0, 1), abbiamo quindi
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a1 + bi .
38
Questa scrittura viene spesso abbreviata scrivendo semplicemente (a, b) =
a + bi o anche a + ib. Il numero a si dice “parte reale” di z e si scrive
a = Re(z). Il numero b si dice “parte immaginaria” di z e si scrive b = Im(z).
Ecco allora che si può pensare C
C come un’estensione di IR in questo
modo: si identificano tutti gli elementi della forma (a, 0), ossia a1, con il
corrispondente numero reale a. Si può vedere che, cosı̀ facendo, le operazioni
di somma e moltiplicazione indotte su IR sono quelle preesistenti.
Osserviamo ora che si ha
i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 .
Usando questa semplice informazione, possiamo verificare che valgono le usuali proprietà simboliche formali: ad esempio,
(a + ib)(a! + ib! ) = aa! + aib! + iba! + ibib! = (aa! − bb! ) + i(ab! + ba! ) .
L’insieme dei numeri complessi eredita da IR2 la norma e la distanza
euclidea. Se z = a + ib, la norma si scrive
√
|z| = a2 + b2 ,
e si chiama piuttosto “modulo” di z. La distanza tra due numeri complessi
z e z ! è data da
d(z, z ! ) = |z − z ! | .
Rispetto a tale distanza, C
C risulta, come IR2 , uno spazio metrico completo.
Dati due numeri complessi z e z ! , si può verificare che
|zz ! | = |z| |z ! | .
Ne segue che, per n ∈ IN ,
|z n | = |z|n .
Inoltre, se z #= 0, essendo |z −1 z| = 1, si ha
|z −1 | = |z|−1 .
Dato un numero complesso z = a + ib, si introduce il numero z ∗ = a − ib,
detto il “complesso coniugato” di z. Valgono le seguenti proprietà:
(z1 + z2 )∗ = z1∗ + z2∗ ;
39
(z1 z2 )∗ = z1∗ z2∗ ;
z ∗∗ = z ;
zz ∗ = |z|2 ;
1
Re(z) = (z + z ∗ ) ;
2
1
Im(z) = (z − z ∗ ) .
2i
Se z #= 0, è
17
z −1 =
z∗
.
|z|2
Le radici quadrate
Sia z = a + ib un numero complesso fissato. Cerchiamo le soluzioni in C
C
dell’equazione
u2 = z .
Queste verranno dette “radici quadrate” di z. Se b = 0, ho
#
√
± √a se a ≥ 0 ,
u=
±i a se a < 0 .
Se invece b #= 0, scriviamo u = x + iy. Allora
x2 − y 2 = a ,
2xy = b .
Essendo b #= 0, si ha x #= 0 e y #= 0. Posso quindi scrivere y =
b
,
2x
e ottengo
b2
= 0,
x − ax −
4
4
da cui
2
√
a2 + b 2
.
2
Determinati cosı̀ x e y, abbiamo due soluzioni della nostra equazione:
2
x =
&
a+
u = ±
a+

√
a2 + b 2
b
.
+ i'
√
2
2
2
2 (a + a + b )
40
Possiamo ora considerare un’equazione del secondo grado
Au2 + Bu + C = 0 ,
dove A, B, C sono numeri complessi fissati, con A #= 0. Come facilmente si
vede, l’equazione è equivalente a
*
u+
B
2A
+2
=
B 2 − 4AC
.
(2A)2
2
B
−4AC
, ci si riconduce al problema delle radici
Ponendo v = u + 2A
e z = B(2A)
2
quadrate che abbiamo già risolto.
18
Forma trigonometrica dei numeri complessi
z
Ogni numero complesso z #= 0 si può scrivere come z = |z| |z|
. Indicheremo
z
con ρ il modulo di z; Siccome |z| appartiene alla circonferenza unitaria, esiste
z
un unico θ ∈ [0, 2π[ per cui |z|
= (cos θ, sin θ). Tale θ si dice “argomento
principale” di z e si indica con Arg(z). Avremo quindi
z = ρ(cos θ + i sin θ) .
In realtà ogni θ che verifichi questa relazione si chiama “argomento” di z. Due
argomenti dello stesso numero complesso differiscono quindi per un multiplo
intero di 2π.
Dati due numeri complessi
z = ρ(cos θ + i sin θ), z ! = ρ! (cos θ! + i sin θ! ) ,
avremo che
zz ! = ρρ! [(cos θ cos θ! − sin θ sin θ! ) + i(sin θ cos θ! + cos θ sin θ! )]
= ρρ! [cos(θ + θ! ) + i sin(θ + θ! )] .
Quindi, moltiplicando due numeri complessi, gli argomenti corrispondenti si
sommano. In particolare,
z 2 = ρ2 [cos(2θ) + i sin(2θ)] ,
e, per induzione, si ha la formula di De Moivre:
z n = [ρ(cos θ + i sin θ)]n = ρn [cos(nθ) + i sin(nθ)] .
41
19
Le radici n-esime
Dato un numero complesso z = ρ(cos θ + i sin θ), consideriamo l’equazione
un = z ,
con n ≥ 1. Le soluzioni di questa equazione sono dette “radici n-esime” di z;
esse saranno della forma u = r(cos φ + i sin φ), e si avrà:
rn = ρ ,
nφ = θ + 2πk ,
con k ∈ ZZ. Allora sarà
r=
√
n
ρ,
φ=
θ 2πk
+
.
n
n
Si noti però che gli argomenti φ di questo tipo individuano solamente n angoli
distinti che, al variare di k in ZZ, si ripetono ciclicamente con periodo n. In
conclusione, le radici n-esime di z sono in numero di n e si possono scrivere
come segue:
u=
√
n
,
!
θ 2πk
+
ρ cos
n
n
"
!
θ 2πk
+ i sin
+
n
n
"-
, k = 0, 1, ..., n − 1 .
Per concludere, consideriamo l’equazione più generale
An un + An−1 un−1 + ... + A1 u + A0 = 0 ,
dove A0 , A1 , ..., An sono numeri complessi fissati, con An #= 0. In altri termini, vogliamo trovare le radici di un polinomio a coefficienti complessi. Il
seguente teorema, che enunciamo senza dimostrazione, è noto come teorema
fondamentale dell’algebra.
Teorema. Ogni polinomio di grado n ≥ 1 ha, nel campo complesso, almeno
una radice.
Il problema di trovare una formula generale che fornisca le soluzioni è
però tutt’altro che facile. Lo abbiamo affrontato nel caso n = 2 e si può
risolvere anche se n = 3 o 4. Se n ≥ 5, però, è stato dimostrato che non
esiste alcuna formula di questo tipo.
42
20
Funzioni e successioni
Sia E uno spazio metrico, x0 ∈ E e f : E → C
C una funzione. I concetti
di continuità e di limite non presentano qui alcuna novità, in quanto C
C, dal
punto di vista metrico, è del tutto equivalente a IR2 . Possono differire le
notazioni: scriveremo eventualmente
f (x) = f1 (x) + if2 (x) ,
invece di f (x) = (f1 (x), f2 (x)). Le componenti f1 e f2 si diranno “parte
reale” e “parte immaginaria” della funzione f , rispettivamente. Pertanto, i
teoremi sulla continuità e i limiti, in questo caso, si traducono come segue.
Teorema. La funzione f è continua in x0 se e solo se lo sono la sua parte
reale e la sua parte immaginaria.
Teorema. Il limite di f (x) per x che tende a x0 esiste in C
C se e solo se
esistono, in IR, i rispettivi limiti della parte reale e della parte immaginaria
di f . In tal caso, si ha:
lim f2 (x) .
lim f1 (x) + i x→x
lim f (x) = x→x
x→x0
0
0
Quest’ultimo teorema si applica in particolare alle successioni (zn )n di
numeri complessi; scriveremo
zn = xn + iyn
dove xn , yn sono reali (parte reale e parte immaginaria di zn ).
Corollario. La successione (zn )n ha limite in C
C se e solo se le successioni
(xn )n e (yn )n hanno limite in IR. In tal caso, si ha
lim zn = lim xn + i lim yn .
n
21
n
n
Serie numeriche
Data una successione (ak )k di numeri reali o complessi, chiameremo “serie
numerica” (ad essa associata) la successione (sn )n cosı̀ definita:
43
s 0 = a0 ,
s 1 = a0 + a1 ,
s 2 = a0 + a1 + a2 ,
...
sn = a0 + a1 + a2 + ... + an ,
...
La terminologia differisce da quella delle successioni, in generale, essenzialmente per motivi di tradizione. Il numero ak si dice “termine k−esimo”,
.
mentre sn = nk=0 ak si dice “somma parziale n−esima” della serie. Nel caso
in cui esiste il limite di (sn )n ed è un numero S (reale o complesso), si dice
che la serie “converge”. In tal caso, il numero S si dice “somma della serie”
e si scrive
! n
"
∞
S = lim
n
o talvolta anche
/
ak =
k=0
/
ak ,
k=0
S = a0 + a1 + a2 + ... + an + ...
Se si tratta di una serie a termini reali e lim
sn = +∞, si dice che la serie
n
“diverge a +∞”. Analogamente per il caso −∞. Se la successione non ha
limite, si dice che la serie è “indeterminata”.
Con un abuso di notazioni, si usa spesso indicare la serie stessa con i
simboli
∞
/
ak ,
oppure
a0 + a1 + a2 + ... + an + ... ,
k=0
rischiando di confondere la serie con la sua eventuale somma. Seguendo la
tradizione, ci adegueremo anche noi a queste notazioni.
Esempi. 1) Per α ∈ IR, la serie geometrica
1 + α + α2 + α3 + ... + αn + ...
ha termine k−esimo ak = αk . Se α #= 1, la somma parziale n−esima vale
sn =
n
/
αk =
k=0
44
αn+1 − 1
,
α−1
mentre se α = 1, si ha sn = n + 1. Quindi la serie converge se e solo se
|α| < 1, nel qual caso la sua somma è
∞
/
αk =
k=0
1
.
1−α
Se α ≥ 1, la serie diverge a +∞. Se α ≤ −1, la serie è indeterminata.
2) Sempre per α ∈ IR, abbiamo già stabilito nella prima parte del corso che
la serie
α2 α3
αn
1+α+
+
+ ... +
+ ...
2!
3!
n!
converge e ha per somma
∞
/
αk
= eα .
k!
k=0
Cominciamo con una semplice conseguenza della proprietà associativa e
distributiva di addizione e moltiplicazione.
.
.
∞
Teorema. Supponiamo che le due serie ∞
k=0 ak e
k=0 bk convergano e
abbiano somma A e B, rispettivamente. Allora converge anche la serie
.∞
vale A + B. Inoltre, per ogni numero fissato
k=0 (ak + bk ) e la sua somma
.∞
α, converge anche la serie k=0 (αak ) e la sua somma vale αA. Scriveremo
brevemente
∞
/
(ak + bk ) =
k=0
∞
/
ak +
k=0
Dimostrazione. Siano sn =
sn + s!n =
∞
/
bk ,
k=0
.n
k=0
n
/
∞
/
(αak ) = α
k=0
ak e s!n =
.n
(ak + bk ) ,
k=0
ak .
k=0
k=0 bk .
αsn =
∞
/
Allora
n
/
(αak ) ,
k=0
da cui segue la tesi.
Formuliamo in questo contesto la caratterizzazione del limite di una successione di numeri complessi con la sua parte reale e immaginaria.
.
Teorema. Se ak = xk +iyk , la serie ∞
k=0 ak converge se e solo se convergono
.∞
.∞
le serie k=0 xk e k=0 yk . In tal caso, la somma della serie è data da
∞
/
k=0
ak =
∞
/
xk + i
k=0
45
∞
/
k=0
yk .
.n
Dimostrazione. Sia sn =
ak . Allora
k=0
n
/
sn =
(xk + iyk ) =
n
/
xk + i
yk .
k=0
k=0
k=0
n
/
.
Pertanto, si ha sn = s!n + is!!n , dove s!n = nk=0 xk è la parte reale di sn e
.
s!!n = nk=0 yk è la sua parte immaginaria. Usando il corollario sul limite di
una successione di numeri complessi, si ha la tesi.
Vediamo come si adatta a questo tipo di successioni il criterio di Cauchy.
Teorema. Una serie
.∞
k=0
ak converge se e solo se
∀ε > 0 ∃n̄ :
n > m ≥ n̄
⇒
0
0
0 /
0
0 n
0
0
ak 00 < ε .
0
0k=m+1 0
Dimostrazione. Essendo sia IR che C
C completi, abbiamo che la successione
(sn )n ha limite finito se e solo se è di Cauchy, ossia
∀ε > 0 ∃n̄ :
m ≥ n̄ e n ≥ n̄
⇒
|sn − sm | < ε .
Non essendo restrittivo supporre m < n, sostituendo sn =
.m
k=0 ak si ha la tesi.
Corollario 1. Se la serie
.∞
k=0
.n
k=0
ak e s m =
ak converge, allora lim ak = 0.
k
Dimostrazione. Basta prendere n = m + 1 nel teorema precedente e ricordare
la definizione di limite di una successione.
.
.
Corollario 2. Se la serie ∞
|ak | converge, allora anche ∞
k=0.
k=0 ak converge.
∞
In tal caso, si dice che la serie k=0 ak “converge assolutamente”.
Dimostrazione. Se
.∞
k=0
|ak | converge, per il criterio di Cauchy si ha:
∀ε > 0 ∃n̄ :
0.
0 n
Ma, essendo 0
k=m+1
0
0
ak 0 ≤
∀ε > 0 ∃n̄ :
n > m ≥ n̄
.n
k=m+1
n
/
k=m+1
|ak |, ne segue che
n > m ≥ n̄
Quindi, per il criterio di Cauchy,
⇒
.∞
k=0
⇒
0
0
0 /
0
0 n
0
0
ak 00 < ε .
0
0k=m+1 0
ak converge.
46
|ak | < ε .
Esempio. Per z ∈ C
C, consideriamo la serie
∞
/
zk
k=0
Si ha che
k!
.
0 0
∞ 0 k0
∞
/
/
|z|k
0z 0
0 0=
0 0
k=0 k!
k=0 k!
e sappiamo che questa serie converge e ha per somma e|z| . Pertanto, la serie
data converge assolutamente.
Il criterio della convergenza assoluta enunciato nell’ultimo corollario
ci porta a studiare più attentamente le serie a termini reali e positivi.
22
Serie a termini positivi
Se per ogni k si ha che ak ≥ 0, la successione (sn )n è crescente e pertanto ha
limite. In questo caso, la serie ha due sole alternative: o converge, o diverge
a +∞.
È molto utile il seguente criterio di confronto.
Teorema. Siano
Se la serie
.∞
.∞
k=0 bk
k=0
ak e
∃k̄ :
.∞
k=0 bk
k ≥ k̄
due serie a termini reali tali che
⇒
0 ≤ ak ≤ b k .
converge, allora converge anche la serie
.∞
.∞
k=0
ak .
Dimostrazione. Se la serie k=0 bk converge, per il criterio di Cauchy si ha
che, fissato ε > 0, esiste un n̄ tale che
n > m ≥ n̄
0
0
0 n
0
0 /
0
0
0
b
k0 < ε .
0
0k=m+1 0
⇒
Essendo la serie a termini positivi, possiamo togliere il simbolo di valore
assoluto. Sia n̂ = max{n̄, k̄}. Allora
n > m ≥ n̂
⇒
0≤
n
/
k=m+1
ak ≤
n
/
bk < ε
k=m+1
e quindi, sempre per il criterio di Cauchy, anche la serie
47
.∞
k=0
ak converge.
Corollario 1. Siano
tali che esista il limite
.∞
k=0
ak e
.∞
k=0 bk
' = lim
k
due serie a termini reali e positivi
ak
.
bk
Si possono verificare tre casi:
1. ' ∈ ]0, +∞[ ; allora le due serie convergono o divergono contemporaneamente.
.
.
2. ' = 0; se la serie ∞
bk converge, allora converge anche la serie ∞
ak .
k=0
.∞
.k=0
∞
3. ' = +∞; se la serie k=0 bk diverge, allora diverge anche la serie k=0 ak .
Dimostrazione. 1. Se ' ∈ ]0, +∞[ , esiste un k̄ tale che
'
ak
3'
k ≥ k̄ ⇒
≤
,
≤
2
bk
2
ossia
3'
2
k ≥ k̄ ⇒ ak ≤
b k e b k ≤ ak .
2
'
La conclusione segue allora dal criterio di confronto.
2. Se ' = 0, allora esiste un k̄ tale che, se k ≥ k̄, allora ak ≤ bk . Si applica
quindi direttamente il criterio di confronto.
3. È analogo al caso 2, con i ruoli di ak e bk scambiati.
Il seguente corollario ci fornisce il cosiddetto criterio del rapporto.
Corollario 2. Sia
il limite
.∞
k=0
ak una serie a termini reali e positivi per cui esista
L = lim
k
ak+1
.
ak
Se L < 1, allora la serie converge.
Dimostrazione. Fissiamo un α ∈ ]L, 1[ . Allora esiste un k̄ tale che
ak+1
k ≥ k̄ ⇒
≤ α.
ak
Pertanto, si ha
ak̄+1 ≤ αak̄
ak̄+2 ≤ αak̄+1 ≤ α2 ak̄
ak̄+3 ≤ αak̄+2 ≤ α3 ak̄
...
ak̄+m ≤ αak̄+m−1 ≤ αm ak̄
... ,
48
ossia, con un cambio di indici,
ak̄ k
α .
αk̄
La conclusione segue per confronto con la serie geometrica di base α, che
converge, essendo 0 < α < 1.
k ≥ k̄
⇒
ak ≤ αk−k̄ ak̄ =
Abbiamo infine il seguente criterio dell’integrale.
Teorema. Sia f : [1, +∞[ → IR una funzione continua, positiva e decre.
scente. Allora la serie ∞
k=1 f (k) converge se e solo se f è integrabile su
[1, +∞[ . In tal caso, si ha
1
∞
/
+∞
f ≤
1
k=1
f (k) ≤ f (1) +
1
+∞
1
f.
Dimostrazione. Per x ∈ [k, k + 1], si ha f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k). Quindi
f (k + 1) ≤
1
f (k + 1) ≤
1
k+1
f ≤ f (k) .
k
Sommando, si ha
n
/
k=1
ossia, ponendo sn =
.n
k=1
n+1
f≤
1
n
/
f (k) ,
k=1
f (k),
sn+1 − f (1) ≤
1
1
n+1
f ≤ sn .
2
Essendo f positiva, la successione (sn )n e la funzione c ,→ 1c f sono entrambe
crescenti e perciò hanno limite. Dalle disuguaglianze trovate, i due limiti sono
entrambi finiti o entrambi +∞.
Esempio. La funzione f : [1, +∞[ → IR definita da f (x) = x−α è integrabile
su [1, +∞[ se e solo se α > 1, nel qual caso si ha
1
+∞
1
Ne segue che:
∞
/
1
k=0
kα
dx
1
=
.
xα
α−1
converge
49
⇔
α > 1.
23
Il prodotto alla Cauchy
.∞
Date due serie
in questo modo:
k=0
ak e
.∞
k=0 bk
∞
/
k=0
, si definisce la serie “prodotto alla Cauchy”


k
/
j=0

ak−j bj  .
.
Teorema (di Mertens). Se la serie ∞
k=0 ak converge e ha somma A, la
.∞
serie k=0 bk converge e ha somma B e almeno una delle due converge assolutamente, allora la serie prodotto alla Cauchy converge e ha somma AB.
.
Dimostrazione. Supponiamo, per fissare le idee, che sia la serie ∞
k=0 ak a con.
vergere assolutamente. Indichiamo con ck = kj=0 ak−j bj , il termine k−esimo
.
.
.
della serie prodotto. Siano sn = nk=0 ak , s!n = nk=0 bk e s!!n = nk=0 ck . Sia
inoltre rn! = B − s!n . Allora
s!!n = a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 ) + ... + (an b0 + an−1 b1 + ... + a1 bn−1 + a0 bn )
= a0 s!n + a1 s!n−1 + ... + an−1 s!1 + an s!0
!
= a0 (B − rn! ) + a1 (B − rn−1
) + ... + an−1 (B − r1! ) + an (B − r0! )
!
= sn B − (a0 rn! + a1 rn−1
+ ... + an−1 r1! + an r0! ) .
Siccome lim
sn B = AB, la tesi sarà dimostrata se
n
!
lim
(a0 rn! + a1 rn−1
+ ... + an−1 r1! + an r0! ) = 0 .
n
Fissiamo ε > 0. Essendo lim
rn! = 0, esiste un n̄1 tale che
n
n ≥ n̄1
⇒
|rn! | < ε .
.
Poniamo inoltre R̄ = max{|rn! | : n ∈ IN }. Per ipotesi, la serie ∞
k=0 |ak |
converge: sia Ā la sua somma. Per il criterio di Cauchy esiste un n̄2 tale che
n̄2 ≥ n̄1 e
n ≥ n̄2
Allora, se n ≥ n̄2 ,
⇒
|an−n̄1 +1 | + |an−n̄1 +2 | + ... + |an | < ε .
!
|a0 rn! + a1 rn−1
+ ... + an−1 r1! + an r0! | ≤
≤ |a0 | |rn! | + ... + |an−n̄1 | |rn̄! 1 | + |an−n̄1 +1 | |rn̄! 1 −1 | + ... + |an | |r0! |
≤ ε(|a0 | + ... + |an−n̄1 |) + R̄(|an−n̄1 +1 | + ... + |an |)
≤ εĀ + R̄ε
= (Ā + R̄)ε ,
50
il che completa la dimostrazione.
24
La funzione esponenziale complessa
Si definisce la funzione esponenziale complessa ponendo, per ogni z ∈ C
C,
ez =
∞
/
zk
k=0
k!
(si ricordi che la serie a secondo membro è assolutamente convergente).
Teorema. Per ogni z1 , z2 si ha
ez1 +z2 = ez1 ez2 .
.
zk
.
zk
∞
1
2
Dimostrazione. Le serie ∞
k=0 k! e
k=0 k! convergono assolutamente e hanno
z2
z1
per somma e e e , rispettivamente. Pertanto, la serie prodotto alla Cauchy
converge e ha per somma ez1 ez2 . Ma il prodotto alla Cauchy è la serie



! "

∞
k
∞
z1k−j z2j  /
1 /
k k−j j  /
(z1 + z2 )k

=
,
z1 z2 =
k!
k=0 j=0 (k − j)! j!
k=0 k! j=0 j
k=0
∞
/
k
/
che ha per somma ez1 +z2 . Da qui la tesi.
Sia ora z = a + ib. Allora
ez = ea+ib = ea eib ;
vediamo quest’ultimo:
(ib)2 (ib)3 (ib)4 (ib)5
+
+
+
+ ...
2!
3!
4!
5!
b2
b3 b4
b5
= 1 + ib − − i + + i − ...
2!
3! 4!
5!
2
4
b
b
b3 b5
= (1 − + − ...) + i(b − + − ...)
2! 4!
3! 5!
= cos b + i sin b .
eib = 1 + ib +
Abbiamo cosı̀ la formula di Eulero
ez = ea+ib = ea (cos b + i sin b) .
51
Si possono allora verificare le seguenti uguaglianze: per ogni t ∈ IR,
cos t =
eit + e−it
,
2
sin t =
eit − e−it
.
2i
Queste formule possono essere utilizzate, ad esempio, per estendere anche le
funzioni trigonometriche al campo complesso.
Il fatto che, per ogni z ∈ C
C,
ez+2πi = ez e2πi = ez ,
si può interpretare dicendo che la funzione esponenziale complessa è periodica di periodo 2πi. Questo fatto compromette la possibile definizione di
una funzione “logaritmo” nel campo complesso: dato z ∈ C
C, con z #= 0,
l’equazione
eu = z ,
vista la periodicità della funzione esponenziale, presenta molteplici soluzioni.
Precisamente, se scriviamo z = ρ(cos θ + i sin θ), il numero complesso u =
x + iy ne è soluzione se e solo se
ex (cos y + i sin y) = ρ(cos θ + i sin θ) ,
ossia
x = ln ρ ,
y = θ + 2πk ,
con k ∈ ZZ. Pertanto,
eu = z
⇔
u ∈ {ln |z| + i(Arg(z) + 2πk) : k ∈ ZZ} .
Talvolta si interpreta il “logaritmo complesso” come una “funzione multivoca” che assume in questo caso infiniti valori, riservando il nome di “logaritmo principale” al particolare valore ottenuto scegliendo k = 0.
Ad esempio, il logaritmo complesso del numero i assume tutti i valori
dell’insieme
+
8
7 *
π
+ 2πk : k ∈ ZZ .
i
2
Il logaritmo principale di i vale pertanto π2 i.
52