INSIEME N

INSIEME N
L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi.
N = {0;1;2;3....................................
Su tale insieme sono definite le 4 operazioni di base: l'addizione (o somma), la sottrazione, la
moltiplicazione (o prodotto) e la divisione.
A parte il funzionamento di queste operazioni, noto già dalle scuole elementari e medie, è
importante conoscere una particolare classificazione che suddivide le quattro operazioni in due
gruppi. L'addizione e la moltiplicazione vengono definite OPERAZIONI CHIUSE sull'insieme N,
mentre la divisione e la sottrazione sono definite OPERAZIONI APERTE sull'insieme N.
Un'operazione è detta CHIUSA sull'insieme N se scegliendo a piacere due numeri in esso, il
risultato dell'operazione continua ad essere un numero N.
In base a tale definizione è semplice verificare che sia l'addizione che la moltiplicazione sono
operazioni chiuse su N: se sommo o moltiplico due numeri naturali, infatti, il risultato è certamente
un numero naturale.
Ciò non accade invece per le altre due operazioni: non è detto che se sottraggo o divido due numeri
naturali, il risultato è certamente un numero naturale.
Possiamo verificare questa affermazione con alcuni “controesempi”:
3 – 2 = 1 In tal caso la sottrazione tra due numeri naturali è ancora un numero naturale
2 – 3 = ? In questo caso invece il risultato non è certamente un numero naturale, ma un numero al
momento ignoto che scopriremo essere un numero negativo con lo studio dell'insieme Z dei numeri
interi.
4 : 2 = 2 In tal caso la divisione tra due numeri naturali è ancora un numero naturale
3 : 4 = ? In questo caso invece il risultato non è certamente un numero naturale, ma un numero al
momento ignoto che scopriremo essere un numero frazionario con lo studio dell'insieme Q dei
numeri razionali.
Lo 0 e l'operazione di divisione
Qualche spiegazione è necessaria per ricordare cosa accade nell'esecuzione dell'operazione di
divisione se è presente il numero 0.
Va ricordato che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione per cui:
se 10 : 5 = 2 allora 2 * 5 = 10.
Tale proprietà può essere sfruttata per scoprire cosa accade con lo 0.
Caso 1
• 0:2=0
• 0:3=0
vero perchè 0 * 2 = 0
vero perchè 0 * 3 = 0
In generale possiamo affermare che 0 : a = 0 dove a rappresenta un qualsiasi numero naturale.
Caso 2
• 3 : 0 = Impossibile visto che non esiste nessun numero che moltiplicato per zero restituisce 3
come risultato.
• 4 : 0 = Impossibile visto che non esiste nessun numero che moltiplicato per zero restituisce 4
come risultato.
In generale possiamo affermare che a : 0 = Impossibile dove a rappresenta un qualsiasi numero
naturale.
Caso 3
• 0:0=1
• 0:0=2
vero perchè 1 * 0 = 0
vero perchè 2 * 0 = 0
Da questi esempi possiamo verificare che l'operazione 0 : 0 può avere più di un risultato. In
matematica, quando ciò si accade, si definisce l'operazione Indeterminata.
Quindi 0 : 0 = Indeterminata.
Regole di precedenza nelle operazioni
La risoluzione di espressioni con i numeri N segue alcune regole di precedenza che indicano quali
operazioni devono essere obbligatoriamente eseguite per prime, e quali, invece, possono essere
eseguite in un secondo momento.
•
•
•
Le parentesi vanno risolte dall'interno verso l'esterno indipendentemente dalla
loro forma.
Le operazioni del primo gruppo (* e :) hanno precedenza sulle operazioni del
secondo gruppo (+ e -).
Le operazioni dello stesso gruppo vanno eseguite da sinistra verso destra.
Esempi:
•
7 * [2 + 4] = 7 * 6 = 42
•
7 * 2 + 4 = 14 + 4 = 18
•
8 * 2 : 4 = 16 : 4 = 4
Regola generale ed esempio
Uno dei processi più importanti da apprendere per comprendere al meglio il simbolismo
matematico è, senz'altro, l'astrazione. Saper “astrarre” significa essere capaci di uscire da contesti
pratici fatti di numeri e situazioni reali, ed entrare in formule e regole generali, fatte di lettere e
simboli, che generalizzano le situazioni esemplificative.
Bisogna, quindi, saper distinguere tra “regola generale” ed “esempio”, saper fare esempi in base a
regole generali, saper ricavare regole generali partendo da esempi.
L'area di un rettangolo si calcola in base alla formula A = b*h. Tale formula, utilizzando delle
lettere, dice che per calcolare l'area di un rettangolo devo moltiplicare la base per l'altezza. Questa
regola generale vale per qualsiasi rettangolo, ma non dice quanto vale l'area di un rettangolo in
termini numerici.
Per fare un esempio di applicazione di questa formula ho bisogno di una situazione pratica, di un
caso reale, definendo quanto valgono la base e l'altezza di un ben preciso rettangolo di cui voglio
calcolare l'area.
Esempio: un campo ha forma rettangolare; la sua base misura 30 metri e la sua altezza misura 20
metri. Calcolare la sua area.
E' evidente che per calcolare l'area del campo è necessario applicare la formula generale utilizzando
come base ed altezza le misure del rettangolo fornite dal problema.
A = 30 * 20
A = 600.
La potenza
Oltre le quattro operazioni elementari sui numeri N esiste un'altra operazione che prende il nome di
potenza. Una potenza viene espressa attraverso due numeri che prendono il nome di base ed
esponente.
Esponente
23
Base
La definizione di una potenza prevede di moltiplicare la base per se stessa tante volte quante indica
la quantità espressa dall'esponente.
Quindi, ad esempio: 23 = 2*2*2 = 8
42 = 4*4 = 16
e
Possiamo scrivere la regola generale utilizzando la lettera “a” come base e la lettera “n” come
esponente.
a n=a∗a∗a..........∗a

n volte
Ricorda che stiamo lavorando nell'insieme N e quindi sia la base “a” che l'esponente “n” sono
numeri interi e positivi.
Lo 0 e l'operazione di potenza
Come per la divisione, anche per l'operazione di potenza è necessario specificare cosa accade se la
base e l'esponente assumono il valore 0. Anche in questo caso dobbiamo distinguere 3 casi diversi:
•
•
•
0n = 0
a0 = 1
00 = IND
zero elevato ad un qualsiasi esponente dà come risultato sempre 0.
un qualsiasi numero elevato a zero dà come risultato sempre 1.
zero elevato a zero ha più risultati ed è quindi una forma indeterminata.
Proprietà delle potenze
Per il calcolo con le potenze esistono 5 proprietà che consentono, talvolta, di semplificare i
procedimenti nella risoluzione di espressioni.
an * am = an+m
Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la somma degli esponenti.
Esempio: 23 * 24 = 23+4 = 27
an : am = an-m
Il quoziente di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la differenza degli esponenti.
Esempio: 56 : 54 = 56-4 = 52
(an)m = an*m
La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto
degli esponenti.
Esempio: (34)3 = 54*3 = 512
an * bn = (a * b)n
Il prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso
esponente e per base il prodotto delle basi.
Esempio: 43 * 23 = (4 * 2)3 = 83
an : bn = (a : b)n
Il quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso
esponente e per base il quoziente delle basi. Esempio: 103 : 23 = (10 : 2)3 = 53
Osservazione1: ricordiamo ancora una volta che stiamo lavorando nell'insieme N in cui le
operazioni di sottrazione e divisione non sono chiuse. Ciò significa che non è detto che tali
operazioni diano un risultato. Osservando le proprietà possiamo notare che alcune di esse
contengono operazioni di sottrazione e divisione, di conseguenza anche tali proprietà potrebbero
rimanere senza risultato
Esempio1: 53 : 54 = 53-4 = ?
L'operazione 3 – 4 non ha alcun risultato nell'insieme N!!!
Esempio2: 73 : 23 = (7 : 2)3 = ? L'operazione 7 : 2 non ha alcun risultato nell'insieme N!!!
Osservazione2: E' molto importante saper riconoscere le situazioni in cui una certa proprietà è
applicabile, ma è altrettanto importante saper riconoscere il motivo per cui una certa proprietà non è
applicabile. Ricordiamo che, a parte la potenza di potenza che è facilmente riconoscibile, le altre
proprietà richiedono la presenza della stessa base o dello stesso esponente e lavorano solo sulle
operazioni di moltiplicazione e divisione.
Esempio: per calcolare il risultato di 22 + 23 non posso applicare nessuna delle proprietà studiate
perchè la somma tra potenze non compare in nessuna delle proprietà. Per calcolare tale risultato non
mi resta che applicare la definizione di potenza, e quindi 22 + 23 = 4 + 8 = 12
Osservazione3: Per affrontare espressioni contenenti potenze è necessario verificare la possibilità di
applicare le proprietà e, solo quando ciò non è possibile, passare al calcolo usando la definizione.
Talvolta è possibile evitare il calcolo tramite definizione anche se nessuna proprietà sembra
applicabile.
Esempio: per calcolare 22 * 43 non è possibile applicare alcuna proprietà in quanto le due potenze
non hanno stessa base e nemmeno stesso esponente. Tuttavia possiamo osservare che 4 = 22 quindi
l'espressione da calcolare diventa 22 * (22)3 A questo punto possiamo applicare la potenza di
potenza 22 * 26 e poi la prima proprietà studiata 22 * 26 = 28
Scomposizione e fattorizzazione
Scomporre un numero in fattori vuol dire scriverlo sotto forma di moltiplicazione di due o più
numeri, ognuno dei quali viene definito “fattore”. Dato un numero è possibile che esistano più
scomposizioni diverse.
Esempio: 12 = 1 * 12
12 = 2 * 6
12 = 3 * 22
Di queste tre scomposizioni diverse del numero 12 solo l'ultima viene definita “fattorizzazione” in
quanto è l'unica che, nella scomposizione, prevede solo fattori primi.
In definitiva possiamo, quindi, affermare che possono esistere più di una scomposizione di un
qualsiasi numero, ma un'unica fattorizzazione.
Esempio: 18 = 1 * 18
18 = 2 * 32
18 = 3 * 6
Ancora una volta osserviamo che la prima e la terza scomposizione non sono fattorizzazioni in
quanto in esse compaiono numeri “non primi” (18 nella prima e 6 nella terza). La seconda, invece, è
una fattorizzazione visto che tutti i fattori che compaiono in essa sono numeri primi eventualmente
elevati ad un certo esponente ( 2 e 3).
Osservazione: la correttezza della scomposizione di un numero può essere verificata semplicemente
moltiplicando di nuovo i fattori ottenuti.
Esempio: 60 = 22 * 3 * 5 è una scomposizione corretta perchè è vero che 22 * 3 * 5 = 60
Per scrivere la fattorizzazione di un numero è necessario applicare il metodo delle divisioni
successive.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
Il metodo consiste nel dividere il numero da fattorizzare per i numeri primi partendo dai più piccoli.
Nell'esempio iniziamo a dividere il 60 per 2 ottenendo 30, il 30 è divisibile per 2 ed ottengo 15, il
15 non è divisibile per 2 allora provo il successivo numero primo che è il 3, e così via. Il
procedimento termina quando ottengo 1. Leggendo la colonna di destra dello schema precedente
possiamo osservare i fattori primi che compongono la fattorizzazione.
60 = 2 * 2 * 3 * 5
scrivendo poi 2 * 2 come 22 avremo
60 = 22 * 3 * 5
Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo
Le scomposizioni servono, tra le altre cose, a calcolare il MCD ed il mcm tra due o più numeri.
Vediamo quali sono i passaggi da seguire per effettuare questo calcolo.
MCD (è il più grande tra i divisori comuni a tutti i numeri)
1.
Scomporre tutti i numeri in fattori primi (Fattorizzare)
2.
Selezionare solo i fattori comuni
3.
4.
Prenderli una sola volta
Con il minimo esponente
Esempio: Calcolare MCD (12; 18; 60)
Sarà il più grande divisore comune a 12, 18 e 60.
Iniziamo con le scomposizioni in fattori primi
12
6
3
1
2
2
3
18
9
3
1
2
3
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
Quindi
12 = 22 * 3
18 = 2 * 32
60 = 22 * 3 * 5
I fattori da selezionare sono solo quelli comuni, quelli, cioè, che compaiono in tutte le
scomposizioni. In questo caso dobbiamo selezionare il 2 ed il 3 visto che il fattore 5 compare solo
nella scomposizione del 60 e non in quelle del 12 e del 18.
L'esponente da scegliere è il più piccolo, quindi l'1 sia per il due 2 per il 3.
Avremo perciò che: MCD (12; 18; 60) = 2 * 3
mcm (è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i numeri)
1.
Scomporre tutti i numeri in fattori primi (Fattorizzare)
2.
Selezionare i fattori comuni ed anche quelli non comuni
3.
Prenderli una sola volta
4.
Con il massimo esponente
Esempio: Calcolare mcm (12; 18; 60)
Sarà il più piccolo multiplo comune a 12, 18 e 60.
Iniziamo con le scomposizioni in fattori primi
12
6
3
1
2
2
3
Quindi
12 = 22 * 3
18 = 2 * 32
60 = 22 * 3 * 5
18
9
3
1
2
3
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
I fattori da selezionare sono solo quelli comuni e quelli non comuni. In questo caso dobbiamo
selezionare il 2, il 3 ed il 5.
L'esponente da scegliere è il più grande, quindi l'1 per il 5 ed il 2 sia per il due 2 per il 3.
Avremo perciò che: mcm (12; 18; 60) = 22 * 32 * 5