4cls matematica andreini - IIS Severi

Programma di matematica - Classe IV C
Anno scolastico 2015/2016
Logaritmi ed esponenziali
I tre problemi storici. Numeri costruibili. Numeri algebrici e trascendenti. La potenza con
esponente reale. La funzione potenza. Le curve esponenziali, grafici, equazioni e
disequazioni esponenziali. La definizione di logaritmo e le sue proprietà fondamentali; le
curve logaritmiche, grafici; equazioni e disequazioni logaritmiche.
Elementi di goniometria
La soluzione di equazioni e disequazioni elementari e di secondo grado in seno, coseno,
tangente. Definizione delle funzioni inverse e relativi grafici.
Proprietà delle funzioni trigonometriche
Formule di somma e sottrazione del seno, del coseno e della tangente. Formule di
duplicazione. Angolo tra due rette. Formule di bisezione. Formule di prostaferesi. Equazioni
omogenee, equazioni lineari e di vario tipo; disequazioni. Grafici di funzioni lineari e di
funzioni omogenee di secondo grado.
Risoluzione di triangoli
Teoremi sui triangoli rettangoli; teorema della corda, teorema dei seni, teorema di Carnot.
Problemi di trigonometria piana con rappresentazione grafica della funzione ottenuta.
I numeri complessi
La formula di Cardano per la soluzione di equazioni di terzo grado. L’unità immaginaria.
Rappresentazione algebrica di un numero complesso. Addizione, moltiplicazione e divisione
tra due numeri complessi. Il complesso coniugato di un numero complesso. Forma
trigonometrica di un numero complesso: modulo e argomento. Formula di De Moivre.
Soluzione di equazioni di secondo grado in C.
Geometria solida
Postulati della geometria euclidea dello spazio. Rette sghembe. Perpendicolarità retta piano; il teorema delle tre perpendicolari. Diedri: definizione e classificazione.
Perpendicolarità tra piani. Angolo tra una retta e un piano, angolo tra piani. I triedri e le loro
proprietà. Definizione di angoloide. Definizione di piramide retta e sue proprietà.
Parallelismo retta – piano. Parallelismo tra piani. Sezioni parallele di un angoloide. Prismi.
Parallelepipedi. Proprietà delle diagonali di un parallelepipedo. I poliedri regolari, definizione
e classificazione. Il cilindro, il cilindro equilatero. Il cono, le sezioni del cono indefinito. Lo
sviluppo della superficie laterale del cono. Il cono equilatero. La sfera. L’equivalenza nello
spazio. Il principio di Cavalieri. Il volume della piramide. Il volume del cono. Il volume della
sfera.
Probabilità
Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. Il coefficiente binomiale. Il
binomio di Newton. Definizione di probabilità classica. Eventi compatibili e eventi
incompatibili. Probabilità dell’evento contrario. Probabilità totale. La probabilità delle cause,
il teorema di Bayes.
Numerabilità
Definizioni ricorsive. Progressioni aritmetiche e geometriche. Definizione di insieme infinito
e esempi. Numerabilità degli insiemi Z, Q. Progressioni aritmetiche e geometriche. Somma
di una progressione geometrica. Definizione di successione. Successioni convergenti e
divergenti: definizione di limite e sua verifica. Successioni irregolari.
Per riprendere le lezioni preparati si consiglia di risolvere qualche problema per ciascuna sezione delle
verifiche di terza e quarta dell’anno scolastico 2015 – 2016
Geometria analitica
1
1) Data la retta r di equazione 𝑦 = − 2 𝑥, indicare con A il punto di r di ordinata 3
1. Ricavare le coordinate del terzo vertice B del triangolo OAB rettangolo in A, sapendo che uno
dei suoi vertici è l’origine degli assi O e che l’ipotenusa OB è sull’asse delle ordinate.
Rappresentare il triangolo ottenuto e calcolare la sua area.
2. Un triangolo isoscele ADC ha la base sulla retta r, un estremo della base è in A e l’altro
estremo D è nel punto di r di ascissa - 2. Calcola le coordinate del vertice C del triangolo
isoscele, sapendo che C appartiene alla retta s di equazione x – 8y – 40 = 0.
[ 1. B(0; 15) area = 45 ; 2. C( - 8; - 6) ]
5
2) Sono assegnati i punti E(𝑎2 − 3𝑎; 3)
5
F(3𝑎; 3)
1. Ricavare per quali valori di a il segmento EF ha misura 8
2. Tra i punti F assegnati determinare quelli che hanno distanza
12
5
dalla retta di equazione 4x -
3y + 7 = 0.
5
7
[ 3 ± √17 , 4, 2 ; i punti si ottengono per a = 6  a = − 6 ]
3) I punti A(0; 1) B(0; 7) C(8; 1) sono i vertici di un triangolo.
1. Preso un punto P sul lato BC indicare con H, K le sue proiezioni sui lati AB e AC. Determinare
32
per quali posizioni di P l’area del rettangolo HAKP vale 3 .
2. Determinare il punto dell’asse di BC che ha ascissa doppia dell’ordinata.
16
8
8 4
[ 1. ( 3 ; 3) (3 ; 5) ; 2. (5 ; 5) ]
4) Sono assegnati i punti A(−3√3; 0) B(0; −3) C(−3√3; −6)
a) Verificare che il triangolo ABC è equilatero. Ricavare l’equazione della circonferenza 
circoscritta al triangolo ABC. Scrivere le equazioni delle rette tangenti a  nei punti A e B.
b) Ricavare l’equazione della circonferenza che ha centro in B, ed è tangente alla retta di
equazione 3𝑥 + 4𝑦 + 2 = 0.
[ a) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4√3𝑥 + 6𝑦 + 9 = 0, tangente in A 𝑦 =
1
√3
𝑥 + 3 , tangente in B x = 0;
b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 5 = 0 ]
5) È assegnata l’equazione
𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑘𝑥 + (𝑘 − 4)𝑦 − 𝑘 − 5 = 0
a) Ricavare per quali valori di k rappresenta una circonferenza
b) Ricavare, tra quelle assegnate, l’equazione della circonferenza che ha il centro sulla bisettrice
del secondo e quarto quadrante
c) Posto k = 4 scrivere l’equazione della circonferenza che si ottiene e disegnarla dopo averne
ricavato il centro e il raggio. Ricavare le equazioni delle tangenti a tale circonferenza condotte
3
dal punto P(− 2 ; 5)
d) Posto k = 0 scrivere l’equazione della circonferenza che si ottiene e disegnarla dopo averne
determinato il centro e il raggio. Ricavare le equazioni delle rette parallele alla bisettrice del
primo e terzo quadrante che staccano sulla circonferenza una corda di misura 2√7.
[ a) per ogni valore di k ; b) 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 8𝑥 − 8𝑦 − 19 = 0 ; c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 9 = 0 le rette
4
tangenti hanno equazione y = 5, 𝑦 = − 3 𝑥 + 3; d) 𝑦 = 𝑥 , y = x+ 4 ]
6) Risolvere per via grafica la disequazione:
√−𝑥 2 − 4𝑥 + 1 > −𝑥 − 1
7) Rappresentare la funzione di equazione 𝑦 = 1 − √−𝑥 2 + 16 a partire dal grafico ottenuto
rappresentare 𝑦 = |1 − √−𝑥 2 + 16|. Scrivere il dominio e il codominio di ciascuna delle
due funzioni rappresentate.
8) Rappresenta la funzione
𝑦 = 6 − |2𝑥 − 4|. A partire dal grafico ottenuto rappresenta
𝑦 = |6 − |2𝑥 − 4|| .
9) Ricavare l’equazione della parabola p che ha asse parallelo all’asse y, vertice V(2; 4) e passa
per A(- 2; 0). Rappresentarla.
a) Scrivere l’equazione della parabola p’ simmetrica di p rispetto alla retta x + 2 = 0 e
rappresentarla, indicare con V’ il suo vertice. Dimostrare che il triangolo VV’A è un
triangolo rettangolo.
b) Una retta r di equazione x = k interseca l’arco AV di p in un punto E e il segmento AV
8
in un punto F, ricavare per quali valori di k il segmento EF ha misura 9 .
c) Scrivere l’equazione della retta r che passa per i punti A, V assegnati. Scrivere l’equazione
della trasformazione composta 𝜎𝑥𝑦 ° 𝛿 , essendo 𝜎𝑥𝑦 la simmetria rispetto alla bisettrice
3
del primo e terzo quadrante, 𝛿 la dilatazione di rapporti( 2 , 4) applicare la trasformazione
ottenuta alla retta r.
1
1
2
[ p: 𝑦 = − 4 𝑥 2 + 𝑥 + 3; a) p’: 𝑦 = − 4 𝑥 2 − 3𝑥 − 5; b) 𝑥 = ± 3 ]
10) Ricavare l’equazione della parabola p che ha direttrice d di equazione x + 4 = 0 e fuoco F(4;
0).
a) Indicato con A un punto della parabola situato nel primo quadrante, sia B il suo simmetrico
rispetto all’asse di simmetria. Proiettati i punti A, B sulla direttrice d e indicate con C, D
le proiezioni, determinare per quale posizione di A il rettangolo ACDB ha perimetro
122
9
.
9
b) Indicati con L, N i punti della parabola di ascissa 4, verificare che il triangolo FLN (F
fuoco della parabola) è isoscele sulla base LN. Ricavare l’equazione di una dilatazione di
7
centro O che trasforma FLN in un triangolo che ha altezza di misura 2 e base di misura 8.
[𝑥=
1
16
1 4
𝑦 2 a) A(9 ; 3) ; b) 𝑥 ′ = 2𝑥
𝑦′ =
2
3
𝑦 ]
11) Riconoscere e rappresentare la funzione di equazione 𝑦 = −1 + √− 4𝑥 2 + 16𝑥 . A partire
dal grafico ottenuto rappresentare la funzione 𝑦 = |−1 + √− 4𝑥 2 + 16𝑥|
12) Sono assegnate le parabole di equazione 𝑦 =
1
4
𝑥 2 + 𝑘(𝑥 − 2). Ricavare l’equazione del
luogo descritto dai vertici delle parabole del fascio. Rappresentare nello stesso sistema di
riferimento cartesiano tre parabole e il luogo descritto dai vertici. Il luogo ottenuto interseca
l’asse delle ascisse in due punti A, B, ricavare l’equazione dell’ellisse che ha i fuochi in A, B
1
ed eccentricità uguale a 3 . Rappresentare la curva ottenuta.
1
[ 𝑦 = − 4 𝑥 2 − 𝑥,
(𝑥+2)2
36
+
𝑦2
32
= 1]
13) Sono assegnati i punti A(- 6; 0) B(0; - 2) C(6; 0) D(0; 2).
Ricavare l’equazione dell’ellisse che ha vertici nei punti assegnati, rappresentarla e calcolare le
coordinate dei fuochi F1, F2 . Condotta una retta s di equazione y = k, ricavare per quali valori di k la
retta s interseca la curva in due punti distinti L, N. In particolare ricavare per quali valori di k il
quadrilatero LNF1F2 è un rettangolo, e per quali valori di k è un trapezio. Dimostrare che la somma
delle diagonali e dei lati obliqui del trapezio LNF1F2 è indipendente da k e scriverne il valore.
[
𝑥2
+
36
𝑦2
4
= 1; il quadrilatero è un rettangolo se L, N hanno ascisse uguali a quelle dei fuochi;
la somma delle diagonali e dei lati obliqui dei trapezi è il doppio dell’asse maggiore
dell’ellisse ]
1
14) È assegnata la parabola di equazione 𝑦 = − 8 𝑥 2 + 2, rappresentarla e indicare con A, B i
suoi punti d’intersezione con l’asse delle ascisse. Le rette tangenti alla parabola nei punti A,
B sono gli asintoti di un’iperbole che ha un vertice nell’origine degli assi. Ricavare
l’equazione dell’iperbole e rappresentarla. Ricavare le equazioni delle rette parallele all’asse
delle ascisse che staccano sull’iperbole una corda che ha misura 4√5.
È possibile scrivere l’equazione di questa iperbole in un sistema di riferimento coincidente
con gli asintoti dell’iperbole? Motivare la risposta data e in caso di risposta affermativa
scriverne l’equazione.
[ - x2 + (y – 4)2 = 16, y = - 2, y = 10]
15) Rappresentare la curva di equazione 𝑥(𝑦 − 2) = 4.
a) Indicato con P un generico punto della curva, siano H, K le sue proiezioni sugli asintoti.
Calcolare l’area del rettangolo che ha vertici PHCK, essendo C il centro della curva.
b) Ricavare l’equazione della circonferenza che è tangente all’asse focale della curva
assegnata nel suo punto d’intersezione con l’asse x e che passa per l’origine degli assi.
[ b) x2 + y2 + 2x + 2y = 0 ]
Equazioni e disequazioni
1) √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
1
2
3√ 3
3
7
[ 𝜋 + 2𝑘𝜋  2arctg(−
2
3)
4)
3
3
4
[ 𝑥 = 𝑘  𝑥 = ± 𝜋 + 2𝑘𝜋 ]
2) √2𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0
𝑥
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
2
𝑡𝑔2 − 2
+ =0
2
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
3
𝑥
3
𝑠𝑒𝑛2 + 3𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 > [ −𝜋
2
2
2
𝜋
) + 2𝑘𝜋 ]
𝜋
1
[ 𝑥 = ± + 2𝑘𝜋  𝑥 = ±𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (− ) + 2𝑘𝜋 ]
3
3
2
2
3
3
+ 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 < − 𝜋 + 2𝑘𝜋  𝜋 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 ≤
2
𝜋 + 2𝑘𝜋  −𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 + 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 + 2𝑘𝜋 ]
5)
6𝑡𝑔𝑥
2𝑡𝑔2 𝑥+1
3
>2
3
1
𝜋
2
4
𝜋
[arctg + 𝑘𝜋 < 𝑥 <
+ 𝑘𝜋 ]
6) 5𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − √3 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 ≤ 0 [ − + 𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
6
7) Ricavare il dominio della funzione 𝑦 = √
4−3𝑐𝑜𝑠𝑥
2√3
3
+ 𝑘𝜋 ]
𝜋
[ 𝑥 ≠ − + 2𝑘𝜋 ]
1+𝑠𝑒𝑛𝑥
2
8) È assegnata una circonferenza  di centro O e raggio r. Sia AB una corda tale che l’angolo al
4
centro α=𝐴𝑂̂𝐵 che la sottende è un angolo ottuso tale che cosα= − 5. Tracciata la retta t
tangente a  in A, indicare con H la proiezione di B su t. Calcolare l’area del quadrilatero
21
AOBH. [25 𝑟 2 ]
9) È assegnato un quadrante di cerchio AOB di centro O e raggio r ; indicato con P un punto
sull’arco AB sia Q la sua proiezione sul raggio OA. Determinare per quali posizioni di P la
somma delle aree del triangolo POB e del quadrato di lato OQ è maggiore dell’area del
𝜋
𝜋
triangolo AO.
[ 𝑃𝑂̂𝐵 = 𝑥, 2𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 1 > 0; 6 < 𝑥 ≤ 2 ]
10) Dato un quadrato ABCD di lato a, sia O il suo centro. Costruire esternamente al quadrato la
semicirconferenza di diametro AB e indicare con P un suo punto. Esprimere in funzione
dell’angolo 𝑃𝐴̂𝐵 la somma dei quadrati dei lati del triangolo OPB, rappresentare in [0, 2π] la
funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema.
[ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 , limiti geometrici 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
]
Esponenziali e logaritmi
1) Risolvi la disequazione:
2) Risolvi la disequazione:
3) Risolvi la disequazione:
4) Risolvi la disequazione:
1
2𝑥 + 5 ∙ 21−𝑥 < 21+𝑥 [ 𝑥 >
9𝑥
3𝑥 − 9
2
<2
2
log 2 10 ]
[x<2]
𝑙𝑛 𝑥 + ln(𝑥 3 ) − 4 ≥ 0 [ 0 < x ≤ e – 4  x ≥ e ]
log1/2 𝑥
1− log1/4 𝑥
1
≥1 [ <𝑥 ≤
4
1
3
√4
]
5) Per ciascuna delle due funzioni che seguono ricava gli intervalli in cui la
funzione è positiva:
A) 𝑦 = log1/4 ln(𝑥 2 − 8)
B) 𝑦 = 𝑙𝑛 log1/4 (𝑥 2 − 8)
[ A) −√𝑒 + 8 < 𝑥 < − 3 ∪ 3 < 𝑥 < √𝑒 + 8 ; B) −
2√2 < 𝑥 <
√33
2
1
2
< 𝑥 < −2√2 ∪
]
𝑦=
6) Ricava il dominio della funzione:
−
√33
2
ln(9− 𝑥 2 )
1+ log2 (−𝑥)
[ −3 < 𝑥 < −
1
2
∪
<𝑥<0]
7) Ricava il dominio della funzione e ricava per quali valori di x è positiva:
𝑒 −𝑥
1
𝑒 𝑥+4
[ dominio x  - 4  x  - 2; la funzione è positiva se - 4 < x < - 2 ]
− √𝑒
8) Rappresenta la funzione 𝑦 = − 4 + log 3 (𝑥 + 4) ( asintoto, intersezione con
gli assi cartesiani). A partire dal grafico ottenuto rappresenta la funzione: 𝑦 =
|− 4 + log 3 (𝑥 + 4)|
9) Rappresenta la funzione 𝑦 = −1 + log 2 |𝑥 − 8|
Numeri complessi
1) Risolvere l’equazione z2 + (2i – 1) z = 6i + 6 . Rappresentare le soluzioni ottenute e scriverle
in forma trigonometrica.
[ 3, - 2 – i ]
1
2) È assegnato il numero complesso z1 = − 2 +
√3
𝑖
2
, e del numero complesso z2 si sa che ha
modulo 2 e argomento . Ricavare per quali valori di  il prodotto z1  (z2)2 è un numero reale.
𝜋
In corrispondenza dei valori di  trovati calcolare il valore del prodotto. [  = 6 , 𝑧2 = √3 + 𝑖
𝜋
  = − 3 , 𝑧2′ = 1 − √3 𝑖 ]
3) Un polinomio di quarto grado a coefficienti in R
a) È riducibile in R
b) Se ha una radice di molteplicità 1 ne ha almeno un’altra di molteplicità 1.
Per ciascuna delle due affermazioni a), b) decidi se è vera o falsa e motiva adeguatamente la
tua risposta.
[ V, F ]
Geometria dello spazio
1) Sono assegnati un piano  e su esso due punti A, B tali che AB = 4𝑎. Siano C, D due punti
così fatti: C è sulla perpendicolare in A al piano  e AC = 12𝑎, mentre D è sulla
perpendicolare in B al piano  e BD = 15𝑎. Calcolare l’angolo che la retta CD forma con il
piano  sia nel caso in cui C, D siano nello stesso semispazio di origine  sia nel caso in cui
sono in semispazi opposti. (Spiega perché l’angolo individuato è quello che la retta forma con
il piano ).
3
[ se C, D sono nello stesso semispazio  = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4, se C, D sono in semispazi
opposti  = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
27
4
]
2) È assegnato un triangolo rettangolo isoscele ABC di ipotenusa BC = 4√2 𝑎
a) Tracciata la retta perpendicolare in A al piano del triangolo e considerato su essa un punto
P tale che AP = 4𝑎, calcolare l’angolo che il piano PBC forma con il piano del triangolo.
(Spiegare chiaramente perché l’angolo individuato è quello formato dai due piani).
b) Indicato con M il punto medio dell’ipotenusa BC, tracciare la retta perpendicolare in M al
piano del triangolo e considerare su essa il punto Q per il quale MQ = 2√2𝑎 . Calcolare
l’angolo che ciascuno degli spigoli AQ, BQ, CQ forma con il piano del triangolo
assegnato. Calcolare l’angolo che ciascuno dei piani ABQ, ACQ forma con il piano del
triangolo assegnato.
𝜋
[ a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√2 ; tutti gli spigoli formano un angolo di 4 con il piano del triangolo, l’angolo che
la faccia ABQ forma con il piano vale 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√2 ]
3) Dato un segmento AB tracciare il piano  perpendicolare al segmento nel suo punto medio.
Dimostrare che tutti i punti di  sono equidistanti dagli estremi del segmento. Ci sono punti
che non appartengono al piano  e sono equidistanti dai punti A, B? Giustificare
adeguatamente la risposta data.
4) Una piramide retta a base quadrata è inscritta in una sfera di raggio r. Sapendo che l’altezza
8
della piramide è 5 𝑟 ricavare la lunghezza degli spigoli della piramide. Calcolare:
a) il volume della piramide
b) l’angolo che le facce laterali formano con la base della piramide
c) l’angolo che gli spigoli laterali formano con il piano di base.
256
[ a) 375 𝑟 3 ; b) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2√2) ; c) arctg2 ]
5) Una piramide ha per base un rettangolo ABCD che ha i lati AB = 6𝑎 e BC = 8𝑎, il vertice
della piramide è situato sulla retta perpendicolare al piano del rettangolo condotta per il punto
medio del lato AB e dista 4𝑎 dal piano di base. Considerati i prismi inscritti nella piramide:
a) Ricavare le dimensioni di quelli che hanno volume 9𝑎3
b) Ricavare l’equazione della funzione che esprime la superficie laterale del generico prisma
inscritto nella piramide e rappresentarla mettendo in evidenza il tratto di grafico relativo
al problema.
[ x = distanza della faccia superiore del prisma dal vertice della piramide, a) equazione
3+ √21
risolvente 𝑥 3 − 4𝑎𝑥 2 + 3𝑎3 = 0, soluzioni accettabili x1 = a  𝑥2 = 2 𝑎; b) 𝑦 =
−7𝑥 2 + 8𝑎𝑥 ]
6) È assegnato un rettangolo ABCD di lati AB =6cm, BC = 10cm. Siano H, K due punti, il primo
sul lato AD e il secondo sul lato CD tali che AH = DK. Determinare le posizioni dei punti H,
K in modo che valga 328 cm3 il volume del solido che si ottiene dalla rotazione della figura
ABCKH attorno alla retta AD.
[ AH = DK = x equazione risolvente x3 – 10x2 + 96 = 0, x = 4cm ]
3
7) È assegnato un cono che ha raggio r e angolo di apertura  = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 5.
a) Ricavare l’angolo al centro del settore circolare che è lo sviluppo della superficie laterale
del cono e rappresentare in modo qualitativamente corretto lo sviluppo della superficie
laterale del cono.
b) Calcolare l’altezza e il raggio del cilindro equilatero inscritto nel cono assegnato
3
6
[ a) 4 𝑟 ; b) altezza del cilindro equilatero h = 11 𝑟 ]
8) A un cilindro equilatero che ha raggio 1 è circoscritto un cono. Ricavare quanto vale il
raggio dei coni che hanno volume
16
3
𝜋.
9) Dato un triangolo rettangolo isoscele ABC di vertice A e cateti AB = AC = 8𝑎, sia V il punto
della perpendicolare al piano del triangolo condotta per A tale che AV = 4𝑎. Tra i prismi
inscritti nella piramide che ha vertice V e base ABC determinare quali hanno volume 18𝑎3 .
Progressioni e successioni
1) In figura sono rappresentati i primi passi di una
costruzione. È assegnato un triangolo rettangolo
isoscele i cui cateti AB, BC hanno misura 4cm. A partire
dal vertice B si proietta il vertice B sull’ipotenusa AC in D
e poi si proietta D su AB in E, si ottiene così il triangolo
BDE. Si proietta E su AC in F e poi si proietta F su AB in G,
si ottiene così il triangolo EFG. Con lo stesso
procedimento si ottiene il triangolo GHI.
a) Verifica che le aree dei triangoli costruiti sono in
progressione geometrica e trova la ragione
b) Nel caso in cui la costruzione procedesse
indefinitamente calcola la somma delle aree degli
infiniti triangoli che si possono costruire.
2) Applicando la definizione di limite stabilire se ciascuno dei limiti che seguono è esatto.
(Scrivere chiaramente la definizione di limite e motivare le conclusioni)
𝑎) lim
8𝑛
= +∞
1
𝑏) lim (− 2 + 2 ) = −2
𝑛→+∞
𝑛
𝑛→+∞ 𝑛+1
c) lim (1 − 42𝑛+1 ) = − ∞
𝑛→+∞
Calcolo combinatorio e probabilità
1) Calcola il quarto termine dello sviluppo del binomio (− 2𝑥 + 𝑦)8
2) Risolvi la disequazione
24
3) Risolvi l’equazione 𝐷𝑛,3
𝐶𝑛,6
> 9𝑛
𝐶𝑛−2,3
= 𝑛3 − 13𝑛 + 2
4) Una squadra è formata da 10 maschi e 6 femmine, deve formare una delegazione composta
da quattro persone. Calcolare la probabilità che scegliendo a caso i membri della delegazione
siano:
a) 4 femmine
b) 3 maschi e 1 femmina.
5) Un farmaco viene testato in due laboratori differenti che nel seguito saranno indicati con A,
B. I test vengono seguiti per un anno e si osserva che risponde positivamente al farmaco il
65% delle cavie del laboratorio A e il 75% delle cavie del laboratorio B. Calcola la probabilità
che:
a) Una cavia scelta a caso non risponda positivamente al farmaco
b) Se una cavia risponde positivamente al farmaco proviene dal laboratorio A.
6) In un grosso punto di vendita è posto un cesto che contiene succhi di frutta in offerta, alcuni
sono alla pesca altri all’arancia. A fine giornata termina la promozione e un commesso deve
riporre i prodotti negli scaffali. Sapendo che sono rimasti 8 succhi alla pesca e dieci all’arancia
calcola la probabilità che nelle prime cinque confezioni prese dal commesso ci siano
a) Esattamente tre succhi alla pesca
b) Quattro succhi dello stesso gusto
c) Almeno due succhi all’arancia
7) Calcolare la probabilità che nel lancio di due dadi si presenti come somma un numero dispari.
Lanciando 5 volte due dadi, qual è la probabilità di ottenere come somma un numero dispari
almeno due volte?
8) Tra 20 videogiochi di cui 6 sono difettosi se ne estraggono a caso 5. Calcolare la probabilità
che:
a) Nessuno dei cinque sia difettoso
b) Almeno due siano difettosi
9) Un grosso punto vendita di magliette acquista magliette dal fornitore di fiducia, durante il
trasporto però avviene un incidente e uno scatolone che contiene 120 magliette è sbalzato
fuori dal furgone e rimane esposto alla pioggia, accade così che alcune magliette si macchiano.
Lo scatolone contiene 40 magliette rosse, 30 verdi e 50 blu, si macchia il 10% delle magliette
rosse, il 20% delle verdi e il 6% delle blu. Calcola la probabilità che una maglietta presa a
caso dallo scatolone:
a) Sia macchiata
b) Se è macchiata sia di colore verde
10) Il pilota di formula 1 Niki partecipa a una gara. Secondo gli esperti, la probabilità che Niki
vinca la gara è dell’80% in caso di pioggia e del 60% nel caso che non piova. Il servizio
meteorologico prevede che, sul circuito, per il periodo della corsa, la probabilità di pioggia
sia del 65%. Calcola la probabilità che ha Niki di vincere la gara.
Indicazioni di lavoro estivo per gli studenti con sospensione del giudizio
INDICAZIONI DI LAVORO E DI METODO:
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Individuare gli argomenti nei quali la preparazione è insufficiente o lacunosa
Formulare un programma di ripasso, distribuendo uniformemente il lavoro nell'arco dei mesi estivi
Rivedere la teoria relativa agli argomenti poco conosciuti, prima di eseguire gli esercizi
Studiare le definizioni, gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi
Rivedere gli esercizi già svolti su tali argomenti
Rifare le verifiche assegnate durante l'anno
Analizzare attentamente, sul libro di testo, gli esercizi svolti, eventualmente ripetendoli
autonomamente, prima di affrontare gli esercizi proposti.
Durante l'esecuzione degli esercizi
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leggere attentamente il testo dell'esercizio, per comprendere gli argomenti teorici a cui si
riferisce e le richieste
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avvalersi di figure e grafici come strumenti di lavoro
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motivare razionalmente ogni passaggio
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curare le rappresentazioni grafiche
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tenere conto delle limitazioni del problema
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controllare la congruità del risultato
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quando il risultato dell'esercizio è diverso da quello del libro o comunque incongruo:
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ricontrollare il testo
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controllare l'impostazione della risoluzione
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controllare i singoli passaggi
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rivedere la teoria
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rivedere analoghi esercizi già svolti
Argomenti che saranno oggetto di verifica
Trigonometria (Cap 3)
Dal n. 351 al n. 361; dal n. 375 al n. 385; dal n. 389 al n. 396; dal n. 407 al n. 411; dal n. 445 al n. 450; dal
n. 507 al n. 511; dal n. 514 al n. 517; dal n. 567 al n. 590; dal n. 597 al n. 602;
Geometria dello spazio
Cap 7 :Dal n. 31 al n. 36; dal n. 40 al n. 46; n. 69, 77, 78, 80
Cap 8: n. 10, 11, 12; dal n. 38 al n. 50; dal n. 53 al n. 59; dal n. 60 al n. 69
Cap 9: dal n. 4 al n. 19; n. 43, 44, 61, 64, 67, 69, 75, 7981, 82, 84
Cap 10: dal n. 3 al n. 10 (eccetto il n. 9); 19,21, dal n. 26 al n.40 ; dal n. 47 al n. 51; 53
Numerabilità
Cap 11: pag 446 n. 225,226,227,228,229, 232, 233, 234
Successioni
Cap 14: pag 554 n. 72,73,74; pag 555 n. 81,82,83,84 ; pag 556 n. 87,88,89, 90,91,93,94